因子设计简介

PAGE第第5章因子设计简介Chap5.IntroductiontoFactorialDesign5-1基本定义与原理(BasicDefinitionsandPrinciples) 实验牵涉2个或更多因子欲研究其效果时，一般而言，因子设计(FactorialDesign)是最有效率的方法，『因子设计』意指每一次完整的试验或反复，当中所有可能的因子水准组合都被测试过。如，因子A有a个水准、因子B有b个水准、则每次反复有ab种处理，(A1,A2,A3;B1,B2,AB=A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2)，当因子以因子设计方式安排，则称之为『交叉的』(Crossed)。-(低)40B因子A因子2030-(低)+(高)+(高)52-(低)40B因子A因子2030-(低)+(高)+(高)52图5-1一个2因子之因子实验(角上数字为反应值y) 其中假设因子均有2水准，称为”低”与”高”，分别以”-”与”+”表示之。在这2水准中，因子A的主效果可视成A的低水准的平均反应与A的高水平的平均反应之差，A=(40+52)/2-(20+30)/2=21即，增加因子A从低水准到高水平造成『平均反应增加』(AverageResponseIncrease)21个单位，同理，因子B的主效果为，B=(30+52)/2-(20+40)/2=11倘因子水准超过2个，上述程序须修正之，后续详述。 某实验中，可能发现某因子水准间反应的差异在其它因子的各水准下是不同的，此称之为因子间有交互作用(Interaction)，如图5-2所示，--(低)50B因子A因子2040-(低)+(高)+(高)12图5-2一个2因子有交互作用之因子实验 在因子B低水准(B－)下，因子A的效果，A=50-20=30在因子B高水平(B＋)下，因子A的效果，A=12-40=-28因子A的效果与所选的因子B的水准有关，故称A与B之间有交互作用，而交互作用大小即两个A的效果差之平均，AB=(-28–30)/2=-29此实验交互作用很大。 上述概念可以图示之，--(低)B＋反應A因子+(高)B＋B－B－图5-3无交互作用之因子实验--(低)B＋反應A因子+(高)B＋B－B－图5-4有交互作用之因子实验 另一种交互作用的概念，一因子实验为2因子之回归模式(RegressionModelRepresentation)为，y=0+1x1+2x2+12x1x2+ 式中，y是反应值、’s是待估计之参数、x1是代表因子A的变量、x2是代表因子B的变量、与是随机误差。另变量x1与x2是定义由-1至+1(A与B的低与高水平)的编码尺度(CodedScale)、与x1x2代表x1与x2间之交互作用。 此回归模式的参数估计值与效果估计值有关，如图5-1所示的实验，A与B的主效果为A=21与B=11，而1与2的估计值为其所对应主效果的一半，即=21/2=10.5、=11/2=5.5，交互作用效果AB=1，故=1/2=0.5，0以全部(4个)反应值平均估计之，即=(20+40+30+52)/4=35.5，则配适后之回归模式为，=35.5+10.5x1+5.5x2+0.5x1x2对于所有因子都是2水准(-与+)之因子设计，此种方式得到的参数估计值事实上是最小平方法(后详述之)。交互作用系数(=0.5)相对于效果系数与是小的，即意交互作用很小而可忽略，所以，回归模式为，=35.5+10.5x1+5.5x2(a)反应曲线(ResponseSurface)图5-5反应曲线与等高线(=35.5+10.5x1+5.5x2)等高线(Contour)是x1与x2为常数时对应反应值y之曲线，反应曲面图(ResponseSurfacePlot)系y曲面是由x1与x2值之组合所产生，『既然反应曲面是一个平面，所以等高线是一平行直线』。兹假设交互作用对此实验的贡献是不可忽略的，即系数12不能算是小的，如，回归模式为，=35.5+10.5x1+5.5x2+8x1x2图5-6反应曲线与等高线(=35.5+10.5x1+5.5x2+8x1x2)(上述系令交互作用效果为两个主要效果的平均)，明显的交互作用效果”扭曲”(Twist)了反应曲线，如此造成x1,x2平面之等高线弯曲，因此，『交互作用是实验的基本反应曲面模式中一种曲率的形式』(Interactionisaformofcurvatureintheunderlyingresponsesurfacemodelfortheexperiment.) 一般而言，当交互作用大时，所对应之主效果就无太多的实质的意义，同时，对AB交互作用的了解(Knowledge)比主效果更有用，且一个显着的交互作用将会遮掩(Mask)主效果的显着性。当显着的交互作用出现时，须将其它因子的水准固定后，再检视欲研究的因子。6-2因子实验的优势(TheAdvantageofFactorials) 假设2因子A与B，各有2水准，A－,A＋与B－,B＋，有关2因子的信息可藉由1次变动1因子来得到，如图5-7所示，(注意，其仍是2因子因子设计)，--(低)B因子A因子A－B＋-(低)+(高)+(高)A－B－A＋B－图5-71次1因子实验(One-Factor-One-Time)◎变动因子A的效果为，A＋B－-A－B＋；◎变动因子B的效果为，A－B＋-A－B－。因为有实验误差，期能取得2个观测值，即是『每种处理组合』与『估计因子效果用的平均反应』，如此，共须6个观测值。兹如执行一个因子实验，则须得另一处理组合A＋B＋，以此4个观测值，可以得到2个A效果估计值：A＋B－-A－B－与A＋B＋-A－B＋，(同理得到2个B效果估计值)，此2个估计值可以平均而得到平均主效果，且其精确度与1(单)因子(Single-Factor)实验一样，如此仅须4个观测值，所以，因子设计对1次1因子实验的相对效率是(6/4)=1.5，如图5-8所示，一般而言，此相对效率会随着因子个数增加而增加。图5-8因子设计对1次1因子实验的相对效率 兹假设有交互作用存在，1次1因子实验显示A－B＋与A＋B－反应结果比A－B－较好，然一个合逻辑的结论是A＋B＋会更好总言之，因子设计有几项优势，比1次1因子实验更有效率，当交互作用时，因子设计是必须的，因子设计允许一个因子效果的估计是在其它因子的数个水准下，使得在实验条件的范围里，其结论都成立。5-32因子之因子设计(TheTwo-FactorFactorialDesign)5-3.1一个例子(AnExample)最简单的因子设计是2因子，因子A有a个水准、因子B有b个水准、则每次反复有ab种处理，而实验可反复n次。 某工程师欲研究一种用于某装置的电池，该装置会受到极端温度的变化，现阶段该工程师能选择的唯一参数是电池极板材料，而有3种可能的选择；而用3个温度水准15、70、125F；且每种极板材料与温度的组合下测试4个电池，同时以随机顺序进行全部36次实验。其寿命(小时)如下表，材料种类温度(F)1570125113015534402070741808075825821501883612225701591261061155845313811074120961041681601501398260 在这实验里欲研究，材料种类与温度对电池的寿命效果?是否有某种材料可以不论温度如何，都能使电池能有长的寿命?(使电池对温度变化是稳健的(Robust)，此乃稳健产品设计(RobustProductDesign))。此设计为2因子因子设计，考虑一般情况，令yijk为因子A在第i个水准(i=1,2,…,a)、因子B在第j个水准(j=1,2,…,b)、在第k次反复(k=1,2,…,n)时所观测到的反应值。如下：B因子12…bA因子1y111,y112,...,y11ny121,y122,..,y12n..y1b1,y1b2,..,y1bn2y211,y212,...,y21ny221,y222,..,y22n..y2b1,y2b2,..,y2bn:::..aya11,ya12,...,ya1nya21,ya22,..,ya2n..yab1,yab2,..,yabn上表所有abn个实验的顺序是以随机方式决定，所以此设计设是『完全随机设计』。 其观测值可以线性统计模式(效果模式EffectsModel)表示之，yijk=+i+j+()ij+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； k=1,2,…,n (5-1)式中，yijk是因子A在第i水准(i=1,2,…,a)与是因子B在第j水准(j=1,2,…,b)、在第k次反复(k=1,2,…,n)时所观测到的反应值，是总平均效果，i是列因子A第i个水准之效果、j是行因子B第j个水准之效果、()ij是i与j之间的交互作用效果、与ijk是随机误差[ijk~N(0,2)]。另此2因子均假设为『固定的』(Fixed)，且处理效果是定义为自总平均的偏离(Deviation)，所以， 与 同理，交互作用亦是固定的，且定义成，另因实验反复n次，所以总计abn个观测值。因子实验另一模式是『均值模式』(MeansModel)，yijk=ij+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； k=1,2,…,n 其中， ij=+i+j+()ij称此为回归模式(RegressionModel)，在2因子因子实验中，对于列与行因子(或处理)，A与B，是同样受重视的，故对列处理效果相等的统计假设为，H0：1=2=….=a=0，H1：至少有一个i0 (5-2a)对行处理效果相等的统计假设为，H0：1=2=….=b=0，H1：至少有一个j0 (5-2b)对列与行处理是否有交互作用的统计假设为，H0：()ij=0，对所有的i,jH1：至少有一个()ij0 (5-2c)兹讨论2因子ANOVA(Two-FactorANOVA)来检定这些假设。5-3.2固定效果模式之统计分析(StatisticalAnalysisoftheFixedEffectsModel) 令yi是因子A第i个水准下所有观测值的和、yj是因子B第j个水准下所有观测值的和、yij是第ij个格(Cell)里所有观测值的和、y是所有观测值的总和。定义、、、与是所有对应的列、行、格与全部的平均，以数学方式表示为， yi=yijk，=yi/bn，i=1,2,…,ayj=yijk，=yj/an，j=1,2,…,byij=yijk，=yij/n，i=1,2,…,a，j=1,2,..,by=yijk，=y/abn (5-3)则总校正平方和(TotalCorrectedSumofSquares)为，其中： =+ (5-4)(5-4)式以符号表示为，SST=SSA+SSB+SSAB+SSE (5-5)各平方和的自由度为，效果自由度A(a-1)B(b-1)AB(a-1)(b-1)误差ab(n-1)总计abn各平方和除以其自由度即是『均方』(MeanSquare)，而这些均方的期望值为，E[MSA]=E[SSA/(a-1)]=2+[bn]/(a-1)E[MSB]=E[SSB/(b-1)]=2+[an]/(b-1)E[MSAB]=E[SSAB/(a-1)(b-1)]=2+[n]/(a-1)(b-1)与E[MSE]=E[SSE/ab(n-1)]=2注意◎倘事先假设(H0)为真，即无列处理效果、无行处理效果、与无交互作用，则MSA、MSB、MSAB与MSE均可用来估计2，◎但如列处理效果间不相等，即对立假设(H1)为真，则MSA>MSE；同理，如行处理效果间不相等或有交互作用存在，则MSBMSE或MSABMSE。所以，要检定两个主效果与其交互作用有显着性，只将其对应的均方除以误差均方即可，其比例值大意味着数据并不支持事先假设。变异来源平方和自由度均方F0因子ASSAa-1MSA=SSA/(a-1)MSA/MSE因子BSSBb-1MSB=SSB/(b-1)MSB/MSE交互作用SSAB(a-1)(b-1)MSAB=SSAB/[(a-1)(b-1)]MSAB/MSE随机误差SSEab(n-1)MSE=SSE/ab(n-1)总和SSTabn-1(5-5)式简化之：SST= (5-6)SSA= (5-7)SSB= (5-8)另SSSubtotals=SSAB=SSSubtotals–SSA-SSB (5-9)则 SSE=SST–SSAB–SSA-SSB (5-10)或 SSE=SST–SSSubtotals **********************例题5-1电池设计实验材料种类温度(F)1570125113015534402070741808075825821501883612225701591261061155845313811074120961041681601501398260ANOVAforBatteryLifeData变源SSDOFMSFP-值临界值Material10683.7222225341.861117.9113722690.001976083.35413119Temp39118.72222219559.361128.967691951.9086E-073.35413119交互作用9613.77777842403.444443.55953540.018611162.72776645组内18230.7527675.212963总和77646.9722235由ANOVA表示，F0.05,4,27=2.72，则材料种类与温度之间有显着性，再者，F0.05,2,27=3.35，则材料种类与温度之主效果亦有显着性。为解释实验的结果，构建各处理组合下平均反应图，由图5-9所示，结论如下图5-9例题5-1之材料种类-温度之反应图◎由直线缺乏平行性质视出显着的交互作用，◎不论材料种类，低温会得到较长的寿命，如要求温度变化时，其电池有效寿命折损较小，则材料种类3的表现似最佳。 **********************多重比较(MultipleComparison) 当变异数分析指出，列或行的平均有差异时，接着进行个别列或行之间的比较以视出其特殊的差异。在第3章所讨论多重比较方法就很有用矣。 兹以Duncan的多重全距检定应用在例5-1之电池寿命数据上。在此实验中，交互作用是显着的，此时1因子(如A)平均值间之比较可能会因AB交互作用而变得难以解释，处理此情况的方法是固定因子B在一特定水准，续在此特定的水准下对因子A的平均值进行Duncan的多重全距检定。假设在例5-1中，欲视出3种材料种类平均值之间的差异，因交互作用显着，倘于温度水准2(70F)下进行比较，假设误差变异的最佳估计值是由变异数分析得到之MSE，利用实验误差变异在所有的处理组合是一样的假设。 这3种材料种类平均值的递增顺序为 =57.25 (材料种类1) =119.75 (材料种类2) =145.75 (材料种类3)且 T0.05=q0.05(3,27)(MSE/n)1/2=3.50(675.21/4)1/2=45.47比较结果结果为， 3vs.1： 145.75-57.25=88.50>T0.05=45.473vs.2： 145.75–119.75=26.00<T0.05=45.472vs.1： 119.75-57.25=62.50>T0.05=45.47此分析显示，在温度为70F时，材料种类2与3的平均电池寿命是一样的，而材料种类1的平均电池寿命则显着地低许多。倘交互作用显着，则可以比较所有的ab个格平均来决定何者有显着差异，在这分析中，格平均间的差异包括了交互作用效果亦包括了两个主效果。以例5-1而言，将有9个格平均所可能成对的36种(C(9,2))比较。计算机报表(ComputerOutput) SSModel=SSMaterial+SSTemperature+SSInteraction=10683.72+39118.72+9613.78=59416.22与 R2=SSModel/SSTotal=59416.22/77646.97=0.7625亦即，大约有77%的电池寿命的变异(Variability)可以被电池的极板材料、温度及材料种类与温度交互作用所解释。接着如何利用残差进行模式适当性检验。5-3.3模式适当性检验 在变异数分析下结论前，模式适当性应当先检验，同前，其检验的主要诊断工具是『残差分析』，对2因子因子模式之残差为， eijk=yijk- (5-11)因配置值为= (在第ij格中之观测值的平均值)，则eijk=yijk- (5-12)图5-11例题5-1之残差之常态机率图 由图5-11视出，残差之常态机率图所示未透露任何特殊的问题，虽最大负的残差(材料种类1在15F下的-60.75)的确有些突出，此残差于标准化后之值为-60.75/(675.21)0.5=-2.34，而此亦是唯一绝对值大于2的残差。 图5-12例题5-1之残差与配置值散布图由图5-12视出，残差变异有随着电池寿命的增加而稍微增大的现象。5-3.4估计模式参数(EstimatingtheModelParameters) 在2因子因子设计其效果模式中之参数，yijk=+i+j+()ij+ijk可利用最小平方法来估计，因模式里有1+a+b+ab个参数待估计，所以要有1+a+b+ab个常态方程式， ： (5-14a)i：，i=1,2,…,a (5-14b)j：，j=1,2,…,b (5-14c)()ij：，i=1,2,…,a， j=1,2,…,b (5-14d) 上式中，◎式(5-14b)有a个方程式，其和即是式(5-14a)，◎式(5-14c)有b个方程式，其和亦是式(5-14a)，◎式(5-14d)在特定i对j加总即是式(5-14b)，◎式(5-14d)在特定j对i加总即是式(5-14c)，所以，在此方程式系统中有a+b+1个线性相依(LinearDependence)，唯一解是不存在的。欲得到一个，须加诸限制条件， (5-15a) (5-15b)，j=1,2,…,b (5-15c)与 ，i=1,2,…,a (5-15d)式(5-15a)与(5-15b)构成两个限制式，而式(5-15c)与(5-15d)构成a+b-1个独立限制式，所以有了所需的a+b+1个限制式，利用这些限制式，常态方程式(5-14)得以化简并解出， ，，i=1,2,…,a； ，j=1,2,…,b ； (5-16) ，i=1,2,.,a，j=1,2,.,注意：列处理效果是以列平均值减去总平均值来估计，行处理效果是以行平均值减去总平均值来估计，第ij个交互作用效果是以第ij个格平均值减去总平均值来估计，再减第i列与第j行效果来估计。利用式(6-16)，可得到yijk的配适值为亦即，第ij格中第k个观测值之估测值就是该格里n个观测值的平均值。 因为利用式(5-15)的限制条件来解常态方程式，所以模式参数不是唯一估计解，但模式参数的一些重要函数却是可估计的，且唯一估计的，不论所选的限制为何。如，，可视成”真正的”因子A水准i与水准u之间的差异，注意，『任何主效果水准间之真正的差异都包括”平均的”交互作用效果』，亦即此，交互作用的出现会干扰对主效果的检定。5-3.5样本大小的选择(ChoiceofSampleSize) 附录中图=5\*ROMANV之作业特征曲线(OC)有助于实验者对一个2因子的因子设计决定适当的样本大小(反复数n)，参数2的值与分子及分母的自由度均列于下表，因子2分子自由度分母自由度Aa-1ab(n-1)Bb-1ab(n-1)AB(a-1)(b-1)ab(n-1)使用这些曲线的一有效方法即是对应到一个任何两处理平均间的指定差值，来找出2的最小值，如，◎任何两列平均值之差为D，则最小的2为， 2=(nbD2)/(2a2) (5-17)◎任何两行平均值之差为D，则最小的2为， 2=(naD2)/(2b2) (5-18)◎任何两个交互作用效果之差为D，则最小的2为， 2=(nD2)/{22[(a-1)(b-1)+1]} (5-19) 兹以例题5-1的电池寿命为示范说明，假设执行实验之前决定事先假设以很高的机率被拒绝，且如两种温度下电池平均寿命的差值达40小时，因此，D=40，及假设电池寿命的标准差大约为25，则依式(5-18)， 2=(naD2)/(2b2) =n(3)(40)2/(2)(3)(252)=1.28n作为2的最小值，假定=0.05，利用附录图=5\*ROMANV建构如下的结果：n2v1=分子自由度v2=分母自由度22.561.60290.4533.841.962180.1845.122.262270.06注意，n=4次反复的风险约为0.06或约94%的机率拒绝事先假设在何两种温度水准下电池平均寿命之差值达40小时。因此，结论是反复4次是足够提供要的敏感度，只要电池寿命标准差估计值准确。2因子模式无交互作用之假设(TheAssumptionofInteractioninaTwo-FactorModel) 一个2因子无交互作用之模式为，yijk=+i+j+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； k=1,2,…,n (5-20) 对于舍去交互作用项须谨慎，因显着交互作用的出现对数据的解释有重大影响。 对于一个无交互作用的2因子因子设计模式的统计分析是直截了当的，下表为例5-1电池寿命资料的假定无交互作用下的分析结果ANOVAforBatteryLifeData变源SSDOFMSFMaterial10683.7222225341.861115.95Temp39118.72222219559.361121.78组内27844.5231898.21总和77646.9722235同上述，两个主效果作是显着的。但经进行残差分析即视出无交互作用模式是不恰当的。对于无交互作用的2因子模式，配适值是 任何图标型态(Pattern)均建议交互作用的存在。5-3.7一个观测值/格(OneObservationperCell) 如只反复一次的2因子实验，亦即，每个格只有一个观测值，则其效果模式为，yijk=+i+j+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； (5-21)此情况下的ANOVA如下表所示，并假定2因子均为固定。变异来源平方和SS自由度均方均方期望值列(A)a-1MSA行(B)b-1MSB残差或ABSubtraction(a-1)(b-1)MSResidual总和ab-1 由均方的期望值知，误差变异数2是无法估计出的，亦即，2因子交互作用效果()ij与实验误差无明显的分开，因此，无法检定主效果，除非交互作用效果为0。如无交互作用，则()ij=0，对所有的i与j，而模式变为，yijk=+i+j+ijk, i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； (5-22)倘式(5-22)的模式是适当的，则上表的残差均方是2的一不偏估计式，与主效果可由MSA、MSA与MSResidual的比较来检定。 Tukey(1949)发展出一检定方法，可用来决定是否有无交互作用，即 ()ij=ij其中是一未知常数。对于此定义的交互作用，可以用回归方法来检定交互作用项之显着性。作法是将残差平方和分割成来自不可加性(交互作用)(Non-additivity)的部分(自由度为1)与误差部分(自由度为(a-1)(b-1)-1)，计算上，SSN= (5-23)自由度为1，与 SSError=SSResidual-SSN (5-24)自由度为(a-1)(b-1)-1，要检定是否有交互作用，只须计算， F0=SSN/{SSError/[(a-1)(b-1)-1]} (5-25) 如果F0>F,1,(a-1)(b-1)-1 ，则无交互作用的假设即须拒绝。例5-2某化学产品的不纯度，受压力和温度两个因子的影响，一个反复一次的因子实验的资料如下表所示，温度F压力2530354045yi10054635231253142313150113128yj961361044=y则各个平方和为 SSA==(232+132+182)/5-442/(3)(5)=23.33SSB==(92+62+132+62+102)/3-442/(3)(5)=11.60SST==166-129.07=36.93与 SSResidual=SST-SSA-SSB=36.93-23.33-11.60=2.00 由式(5-23)计算不可加性平方和如下，=(5)(23)(9)+(4)(23)(6)+…+(2)(8)(10)=7236SSN==[7236-(44)(23.33+11.60+129.07)]2/(3)(5)(23.33)(11.60)=0.0985由式(5-24)计算误差平方和如下，SSError=SSResidual-SSN=2.00-0.0985=1.9015例题5-2ANOVA变异来源平方和自由度均方F0P-值温度23.33211.6742.970.0001压力11.6042.9010.680.0042不可加性0.098510.09850.360.5674误差1.901570.2716总和36.9314 由上表ANOVA知，对于不可加性的检定统计量是F0=0.0985/0.2716=0.36，所以，结论为此数据中无交互作用。 一个观测值/格的2因子因子模式(式(5-22))看似正好是随机化完全集区模式(式(4-1))，事实上，Tukey的单一自由度不可加性检定是可以直接应用来检定随机化完全集区模式的交互作用的。但二者的实验状况是截然不同的，因子模式中，所有的ab个实验是一随机顺序进行；而在随机化完全集区模式中，随机化只在集区内发生，集区本身是一个随机化限制。因此，此二模式在实验的进行方式及解释上有很大的不同。5-4一般的因子设计(TheGeneralFactorialDesign)2因子因子设计的结果可以扩展至一般的情况，即因子A有a个水准、因子B有b个水准、因子C有c个水准，依此类推，一般而言，总共会有abc…n个观测值，如完整实验反复n次。再次说明，如果所有可能的交互作用都要包括在模式中，则必须至少反复2次(n2)才能决定误差平方和。 倘所有的因子都是固定时，可写出并检定有关主效果与交互作用的假设，对于一个固定效果模式，每一个主效果和交互作用的检定统计量就是将主效果与交互作用的均方除以误差均方即可。所有这些F检定都是右边、单边检定。 例如，考虑3因子ANOVA模式，yijk=+i+j+k+()ij+()ik+()jk+()ijk+ijkl,i=1,2,.,a ；j=1,2,.,b；k=1,2,.,c；l=1,2,.,n (5-26)假设A,B,和C固定的，则ANOVA表如下，主效果和交互作用的F检定可以从期望的均方直接写下。变异来源平方和自由度均方F0ASSAa-1MSAMSA/MSEBSSBb-1MSBMSB/MSECSSCc-1MSCMSC/MSEABSSAB(a-1)(b-1)MSABMSAB/MSEACSSAC(a-1)(c-1)MSACMSAC/MSEBCSSBC(b-1)(c-1)MSBCMSBC/MSEABCSSABC(a-1)(b-1)(c-1)MSABCMSABC/MSE误差SSEabc(n-1)MSE总和SSTabcn-1均方的期望值为，E[MSA]=E[SSA/(a-1)]=2+[bcn]/(a-1)E[MSB]=E[SSB/(b-1)]=2+[acn]/(b-1)E[MSC]=E[SSC/(c-1)]=2+[abn]/(c-1)E[MSAB]=E[SSAB/(a-1)(b-1)]=2+[cn]/(a-1)(b-1)E[MSAC]=E[SSAC/(a-1)(c-1)]=2+[bn]/(a-1)(c-1)E[MSBC]=E[SSBC/(b-1)(c-1)]=2+[an]/(b-1)(c-1)E[MSAB]=E[SSAB/(a-1)(b-1)]=2+[cn]/(a-1)(b-1)E[MSABC]=E[SSABC/(a-1)(b-1)(c-1)]=2+[n]/(a-1)(b-1)(c-1)与 E[MSE]=E[SSE/abc(n-1)]=2总平方和为，SST= (5-27)SSA= (5-28)SSB= (5-29)SSC= (5-29)要计算2因子交互作用平方和，需要AB,AC,与BC的双向格总和。则2因子交互作用平方和的计算是，SSAB=SSSubtotals(AB)–SSA-SSB (5-31)其中，SSSubtotals(AB)=SSAC=SSSubtotals(AC)–SSA–SSC (5-32)其中，SSSubtotals(AC)=SSBC=SSSubtotals(BC)–SSB–SSC (5-33)其中，SSSubtotals(BC)=要计算三因子交互作用平方和，需要ABC三向的格总和。则三因子交互作用平方和的计算是，SSABC=SSSubtotals(ABC)-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC(5-34)其中，SSSubtotals(ABC)=则 SSE=SST-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC-SSABC (5-10)或 SSE=SST–SSSubtotals(ABC) 5-5配适反应曲线与曲面(FittingResponseCurvesandSurfaces) 一个定量的(Quantitative)因子配适一个反应曲线(ResponseCurve)通常是很有用的，此曲线具有一条结合因子与反应的方程式，其可用来进行内插法(Interpolation)，亦即，对介于实验因子水准间之值进行预测反应。当至少有2个因子是定量的，则可配适一个反应曲面(ResponseSurface)，使能在各种设计因子的水准组合下预测反应。一般，线性回归法(LinearRegressionMethods)可用配适这些实验的模式，另此法于3-5.1节已述用在单一因子，第10章将续详述之。5-6集区在因子设计(BlockinginaFactorialDesign) 上述所讨论的因子设计都是在完全随机的范畴，然有时，完全随机的方式进行因子实验的所有组合是不可行的或不切实际的，例如，一个干扰因子的出现可能使得必须以集区(Blocks)方式进行实验。在第4章已讨论过1因子实验之集区划分的基本概念。兹将讨论因子实验中如何进行集区划分，更深入的讨论亦将在第7,8,9与13章续述。 考虑一个2因子(A与B)反复n次的因子实验，此设计的线性统计模式为，yijk=+i+j+()ij+ijk i=1,2,…,a， j=1,2,…,b，k=1,2,…,n (5-36) 式中， i,j与()ij分别代表因子A与B及交互作用AB的效果。另假设不同的反复使用不同的原料批，则原料批代表一个随机化限制或一个区集，在每一个集区里进行完整的因子实验，此新设计之模式为，yijk=+i+j+()ij+k+ijk i=1,2,…,a， j=1,2,…,b，k=1,2,…,n (5-37) 其中为第k个集区的效果，同时，在集区内处理组合的实验顺序是完全随机的。 式(5-37)的模型假设集区与处理间之交互作用是可忽略的，同样的假设亦出现在先前之随机化集区设计分析中。如这些交互作用的确存在，其无法从误差成份中分离出来，即模式的误差项为()ik,()jk与(