第8章《整式乘法和因式分解》（教师版）

2023-2024学年沪科新版数学七年级下册章节拔高检测卷（易错专练）第8章《整式乘法和因式分解》考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.56一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•青县期末）下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（）（1）π0＝1（2）（x+2）2＝x2+4（3）（﹣x+2）（﹣2﹣x）＝x2﹣4（4）﹣8a2b3÷2ab2＝﹣4abA．40分 B．30分 C．20分 D．10分解：（1）π0＝1，正确；（2）（x+2）2＝x2+4x+4，错误；（3）（﹣x+2）（﹣2﹣x）＝（﹣x）2﹣22＝x2﹣4，正确；（4）﹣8a2b3÷2ab2＝﹣4ab，正确；所以他的测试成绩是30分．故选：B．2．（2分）（2023秋•平舆县期末）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a8 B．（3xy）2＝6xy2 C．（b3）2＝b6 D．3a÷2a＝a解：∵a2•a3＝a5，∴选项A不符合题意；∵（3xy）2＝9x2y2，∴选项B不符合题意；∵（b3）2＝b6，∴选项C符合题意；∵3a÷2a＝，∵∴选项D不符合题意，故选：C．3．（2分）（2023秋•城关区校级期末）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（）A．35 B．19 C．12 D．10解：∵2a＝5，4b＝7，∴2a+2b＝2a•22b＝2a•（22）b＝2a•4b＝5×7＝35，故选：A．4．（2分）（2023秋•平山县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2+1＝x（x+）解：A、（x+3）（x﹣3）+6x不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B、x2+3x﹣10不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C、等式右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故本选项正确；D、等式右边是分式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误．故选：C．5．（2分）（2023秋•防城区期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．6．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．7．（2分）（2023秋•滨海新区校级期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2＝1+1+4＝6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；故选：D．8．（2分）（2022秋•湟中区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．9．（2分）（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．10．（2分）（2022春•西湖区校级期中）计算0.752022×（）2023的结果是（）A． B． C．0.75 D．﹣0.75解：0.752022×（）2023＝﹣（）2022×（）2022×＝﹣（×）2022×＝﹣．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•宜阳县期末）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝﹣4．解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy＝（﹣4xy）÷xy＝﹣4，故答案为：﹣4．12．（2分）（2023春•历城区校级月考）如果定义一种新运算，规定＝ad﹣bc，请化简：＝﹣3．解：由题意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2）＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x＝﹣3，故答案为：﹣3．13．（2分）（2022秋•淅川县期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为．解：原式＝2x2+（2m﹣3）x﹣3m，∵多项式展开后不含x项，∴2m﹣3＝0，∴m＝；故答案为：．14．（2分）（2023秋•南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，则（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝4049．解：设2024﹣A＝m，2023﹣A＝n，∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1，∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，∴mn＝2024，∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝12+2×2024＝1+4048＝4049，故答案为：4049．15．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是8．解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴长方形ABCD的面积是8，故答案为：8．16．（2分）（2023秋•二道区校级期末）若am＝2，an＝3，则a2m+n＝12．解：∵am＝2，an＝3，∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12．故答案为：12．17．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝22023．解：∵x2﹣y2＝4，∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①，∴x﹣y＝2②，由①②解得：x＝2，y＝0，∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023．故答案为：22023．18．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣l；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…根据前面的规律，回答问题：当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝．解：根据规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1，∴，∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝．故答案为：．19．（2分）（2023春•正定县期中）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片（a＞b），用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②所示的正方形．（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b；（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．解：（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．20．（2分）（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化简结果是2x2+5x+2；若（a，b）乘以（b，a）的结果为9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，则a+b的值为±2．解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，故答案为：2x2+5x+2．（2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）；∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2，∴a2b2＝9，ab＝±3，2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60，∴ab＝﹣3，∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60，a2+b2＝10，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4，∴a+b＝±2．故答案为：±2．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•监利市期末）计算：（1）（a﹣2）（a+1）；（2）（﹣2ab2）2÷（﹣4a2b）．解：（1）（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2a﹣2＝a2﹣a﹣2；（2）（﹣2ab2）2÷（﹣4a2b）＝4a2b4÷（﹣4a2b）＝﹣b3．22．（6分）（2022秋•兴县期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．（1）填空：﹣6与8是关于2的“平衡数”；（2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．解：（1）由题意得，﹣6+8＝2，∴﹣6与8是关于2的“平衡数”．故答案为：2．（2）a+b＝6x2﹣4kx+8﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣4kx+8﹣6x2+4x﹣2k＝﹣4kx+4x+8﹣2k．即n＝﹣4kx+4x+8﹣2k＝4（1﹣k）x+8﹣2k．∵a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，∴k＝1．∴n＝8﹣2×1＝6．23．（8分）（2022秋•西平县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：解：设x2﹣2x＝y原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为（x﹣1）4；（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，∴该同学因式分解的结果不彻底．故答案为：不彻底，（x﹣1）4．（2）设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．24．（8分）（2023秋•浚县期中）阅读理解：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②，由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21，∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．活学活用：（1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），则mn＝147；（2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式．解：（1）∵x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），∴（x﹣3）（x+n）＝x（x+n）﹣3（x+n）＝x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+（n﹣3）x﹣3n，∴x2+4x﹣m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，∴由等式恒等原理可知：n﹣3＝4①，﹣m＝﹣3n②，由①②解得：n＝7，m＝21，∴mn＝7×21＝147；故答案为：147；（2）设另一个因式为（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b），∵（2x﹣3）（x+b）＝2x（x+b）﹣3（x+b）＝2x2+2bx﹣3x﹣3b＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，∴2x2+ax﹣6＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，∴由等式恒等原理可知：﹣3b＝﹣6①，a＝2b﹣3②，由①②解得：b＝2，a＝1，∴另一个因式为（x+2）．25．（8分）（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，则a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．26．（8分）（2023春•冷水滩区校级期末）若在意一个三位数M，满足各数位上的数字均不为0，百位上的数字与十位上的数字的2倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的2倍之和，则称这个三位数M为“双增数”．对于一个“双增数”M＝，规定：s＝a+c，t＝b+c，F（M）＝3s+2t．例如，M＝243，因为2+2×4＝4+2×3，故M是一个“双增数”，s＝2+3＝5，t＝4+3＝7，则F（M）＝3×5+2×7＝29．（1）请判断365，597是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出F（M）的值；（2）若三位数N为“双增数”，N的百位数字为x﹣1，个位数字为y（其中x，y是正整数，且3≤y≤7），当N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除时，求所有满足条件的“双增数”N的值．解：（1）∵3+6×2＝15，6+2×5＝16，∴365不是“双增数”．∵5+9×2＝9+7×2＝23，∴597是“双增数”．（2）设N的十位数字是a，∵N是“双增数”，∴x﹣1+2a＝a+2y，∴a＝2y﹣x+1，s＝x﹣1+y，t＝a+y＝3y﹣x+1，∴F（N）＝3（x﹣1+y）+2（3y﹣x+1）＝x+9y﹣1，∴N各数位上的数字之和与F（N）的和＝x﹣1+a+y+x+9y﹣1＝x﹣1+2y﹣x+1+y+x+9y﹣1＝12y+x﹣1，∵N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除，3≤y≤7，∴当y＝4，x＝4符合题意，此时N＝354，当y＝5，x＝9合题意，此时N＝825，∴符合条件的N有：354，82527．（8分）（2023春•定边县期末）将两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a﹣b＝4，ab＝1，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18．根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：（1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，则ab＝22；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为35，求图中阴影部分的面