8.2幂的乘方与积的乘方(讲+练)（原卷版）

8.2幂的乘方与积的乘方幂的乘方(am)n=amn(m，n是正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数)积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘题型1：幂的乘方法则1．（x2）2的计算结果是x4．【分析】利用幂的乘方的法则进行计算，即可得出答案．【解答】解：（x2）2＝x4，故答案为：x4．【变式1-1】若am＝2，则a3m的值为8．【分析】根据幂的乘方运算法则求解即可．【解答】解：∵a3m＝（am）3，∵am＝2，∴a3m＝23＝8．故答案为：8．【变式1-2】已知10x＝20，100y＝50，则x+2y＝3．【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵10x＝20，100y＝50，∴102y＝50，∴10x•102y＝20×50＝1000，∴10x+2y＝103，∴x+2y＝3．故答案为：3．【变式1-3】已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝18【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的计算公式即可得结果．【解答】解：∵2x+3y+3＝0，∴2x+3y＝﹣3，4x•8y＝22x•23y＝2（2x+3y）＝2﹣3=1故答案为：18题型2：积的乘方法则2.计算（﹣3ab3）2＝9a2b6．【分析】根据积的乘方运算法则可得答案．【解答】解：（﹣3ab3）2＝9a2b6．故答案为：9a2b6．【变式2-1】计算：（﹣0.25）2021×42020＝﹣0.25．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则化简得出答案．【解答】解：（﹣0.25）2021×42020＝（﹣0.25）2020×42020×（﹣0.25）＝（﹣0.25×4）2020×（﹣0.25）＝1×（﹣0.25）＝﹣0.25．故答案为：﹣0.25．【变式2-2】若x3n＝3，则（2x3n）3+（﹣3x2n）3＝﹣27．【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，把（2x3n）3与（﹣3x2n）3化为还有x3n的形式，再把x3n＝3代入计算即可．【解答】解：∵x3n＝3，∴（2x3n）3+（﹣3x2n）3＝8（x3n）3﹣27（x3n）2＝8×33﹣27×32＝8×27﹣27×9＝（8﹣9）×27＝﹣27．故答案为：﹣27．题型3：高次幂比较大小3.比较2100与375的大小．【分析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小．【解答】解：2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，∵1625＜2725，∴2100＜375．【变式3-1】比较大小：2100与375【分析】根据幂的乘方，可化成指数相同的幂，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案．【解答】解：2100＜375，理由：2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，27＞16，2725＞1625，∴2100＜375．【变式3-2】用幂的运算知识，你能比较出3555与4444和5333的大小吗？请给出科学详细的证明过程．【分析】此题根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，把3555、4444和5333变形为指数相同的三个数，再比较它们的底数即可求出答案．【解答】解：因为它们的指数为555，444，333，具有公因式111，所以3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，5333＝（53）111＝125111，而256111＞243111＞125111，所以4444＞3555＞5333题型4：综合运用4.若x＝2m，y＝3+4m，用含x的代数式表示y，则y＝3+x2．【分析】直接利用幂的乘方运算法则表示出y与x之间的关系即可．【解答】解：∵x＝2m，∴y＝3+4m＝3+22m＝3+（2m）2＝3+x2．故答案为：3+x2．【变式4-1】（1）若x＝2m+1，y＝3+4m．请用含x的代数式表示y；如果x＝4，求此时y的值；（2）已知2a＝5b＝10，判断a+b和ab的大小．【分析】（1）利用幂的乘方的法则进行整理，再代入相应的值运算即可；（2）利用积的乘方的法则进行求解即可．【解答】解：（1）∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1，∴y＝3+4m．＝3+（22）m＝3+（2m）2＝3+（x﹣1）2＝3+x2﹣2x+1＝x2﹣2x+4，即y＝x2﹣2x+4，当x＝4时，y＝42﹣2×4+4＝12；（2）∵2a＝5b＝10，∴2a×5b＝10×10，2a×5b＝102，则当a＝b＝2时，式子成立．∴ab＝4，a+b＝4．即a+b＝ab．【变式4-2】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（4，16）＝2，（﹣3，81）＝4；②若（x，116）＝﹣4，则x＝±2（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．①计算（9，100）﹣（81，10000）②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．【分析】（1）①根据所给的新定义进行运算即可；②根据所给的新定义进行运算即可；（2）①结合所给的特征进行求解即可；②结合所给的特征进行求解即可．【解答】解：（1）①∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵（﹣3）4＝81，∴（﹣3，81）＝4，故答案为：2，4；②由题意得：x-4∴1x∴x＝±2，故答案为：±2；（2）①（9，100）﹣（81，10000）＝（32，102）﹣（34，104）＝（3，10）﹣（3，10）＝0；②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，∵4c＝3×7＝4a×4b，∴c＝a+b．一．选择题（共7小题）1．下列结果正确的是（）A．（﹣2x）3＝2x3 B．（﹣2x）3＝﹣2x3 C．（﹣2x）2＝4x2 D．（﹣2x）2＝﹣4x2【分析】利用积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、（﹣2x）3＝﹣8x3，故A不符合题意；B、（﹣2x）3＝﹣8x3，故B不符合题意；C、（﹣2x）2＝4x2，故C符合题意；D、（﹣2x）2＝4x2，故D不符合题意；故选：C．2．下列计算正确的是（）A．（xy2）2＝xy4 B．（3xy）3＝9x3y C．（﹣2a2）2＝﹣4a4 D．（﹣3ab2）2＝9a2b4【分析】利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断．【解答】解：（xy2）2＝x2y4，A选项错误；（3xy）3＝27x3y3，B选项错误；（﹣2a2）2＝4a4，C选项错误；（﹣3ab2）2＝9a2b4，D选项正确．故选：D．3．已知am＝2，an＝3，则am+2n的值是（）A．6 B．18 C．36 D．72【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：当am＝2，an＝3时，am+2n＝am×a2n＝am×（an）2＝2×32＝2×9＝18．故选：B．4．下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6 B．（2xy）2＝2xy2 C．（ab3）2＝a2b6 D．5a﹣3a＝2【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方进行判断．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故选项错误，不符合题意；B、（2xy）2＝4x2y2，故选项错误，不符合题意；C、（ab3）2＝a2b6，故选项正确，符合题意；D、5a﹣3a＝2a，故选项错误，不符合题意；故选：C．5．已知2x＝6，4y＝5，那么2x+2y的值是（）A．11 B．30 C．150 D．15【分析】先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则，把代数式变形后代入求值．【解答】解：2x+2y＝2x×22y＝2x×4y＝6×5＝30．故选：B．6．若（﹣ab）2019＞0，则下列正确的是（）A．ba＜0 B．ba＞0 C．a＞0，b＜0 D．a【分析】根据（﹣ab）2019＞0，可得﹣ab＞0，所以a与b异号，据此判断即可．【解答】解：∵（﹣ab）2019＞0，∴﹣ab＞0，∴ab＜0，∴ba＜故选：A．7．若A为一数，且A＝25×76×114，则下列选项中所表示的数，何者是A的因子？（）A．24×5 B．77×113 C．24×74×114 D．26×76×116【分析】直接将原式提取因式进而得出A的因子．【解答】解：∵A＝25×76×114＝24×74×114（2×72），∴24×74×114，是原式的因子．故选：C．二．填空题（共6小题）8．已知2m＝a，16n＝b，m、n为正整数，则24m+8n＝a4b2．【分析】对已知条件进行整理，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．【解答】解：∵2m＝a，16n＝b，∴24n＝b，∴24m+8n＝（2m）4•28n＝（2m）4•（24n）2＝a4b2．故答案为：a4b2．9．若单项式﹣3（x2）my6与单项式xy2n是同类项，则mn的值是18【分析】根据幂的乘方以及同类项的定义求出m、n的值，代入求解即可；【解答】解：﹣3（x2）my6＝﹣3x2my6，∵单项式﹣3（x2）my6与单项式xy2n是同类项，∴2m＝1，2n＝6，解得：m=12，n＝∴mn故答案为：110．若（a+3）2+（3b﹣1）2＝0，则a2020×b2021＝13【分析】根据两个非负数的和为零则它们均为零，可求得a与b的值，把a与b的值代入代数式中即可求得结果．【解答】解：∵（a+3）2≥0，（3b﹣1）2≥0，且（a+3）2+（3b﹣1）2＝0，∴（a+3）2＝0，（3b﹣1）2＝0，即a+3＝0，3b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b=1当a＝﹣3，b=1∴a2020b2021＝（﹣3）2020（13）＝（﹣3）2020（13）2020•=1故答案为：1311．下列几个数字244、333、422中数值最大的一个是333．【分析】把各数的指数转为相同，再比较底数即可．【解答】解：∵244＝（24）11＝1611；333＝（33）11＝2711；422＝（42）11＝1611；27＞16，∴最大的是2711，即333．故答案为：333．12．若k为正整数，则(k+k+⋯+k︸k个k)【分析】直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：(k+k+⋯+k︸k个k)k=（k故答案为：k2k．13．已知3x＝m，3y＝n，用m、n表示33x+4y﹣5×81x+2y为m3•n4﹣5m4n8．【分析】逆向运算同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵3x＝m，3y＝n，∴33x+4y﹣5×81x+2y＝33x•34y﹣5×（34）x+2y＝（3x）3•（3y）4﹣5×34x+8y＝（3x）3•（3y）4﹣5×（3x）4×（3y）8＝m3n4﹣5m4n8．故答案为：m3n4﹣5m4n8．三．解答题（共6小题）14．计算：（1）-(（2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．【分析】（1）逆用积的乘方和同底数幂的乘法，进行计算；（2）先算同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类型即可．【解答】解：（1）原式=＝﹣（1）6×（﹣1）5×0.25＝﹣1×（﹣1）×0.25＝0.25；（2）原式＝﹣a8+24a8＝15a8．15．已知：am＝3，an＝5，求：（1）am+n的值．（2）a3m+2n的值．【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算即可；（2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝am•an＝3×5＝15．（2）原式＝a3m•a2n＝（am）3•（an）2＝33×52＝675．16．若am＝an（a＞0且a≠l，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果8x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x化为底数为2的幂，解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【解答】解：（1）8x＝（23）x＝23x＝25，∴3x＝5，解得x=5（2）∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．17．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：（1）求22⊕23的值；（2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p⊕2q的值；（3）若运算9⊕32t的结果为810，则t的值是多少？【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；（2）结合幂的乘方的法则进行运算即可；（3）根据新定义的运算，结合幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：（1）22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝64+32＝96；（2）当2p＝3，2q＝5，3q＝7时，2p⊕2q＝2pq+2p+q＝（2p）q+2p×2q＝3q+3×5＝7+15＝22；（3）9⊕32t＝810，9⊕9t＝810，9t+91+t＝810，9t+9×9t＝810，10×9t＝10×81，9t＝81，9t＝92，则t＝2．18．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．（1）根据上述规定，填空：2※16＝4，±16※36＝﹣2（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]（结果化成最简形式）．【分析】（1）利用新定义