2011年高考试题-数学理(山东卷)解析版

PAGE2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。（1）设集合，，则A.B.C.D.解析：，，答案应选A。（2）复数为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：对应的点为在第四象限，答案应选D.（3）若点在函数的图象上，则的值为A.B.C.D.解析：，，，答案应选D.（4）不等式的解集是A.B.C.D.解析：当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，不成立；当时，原不等式可化为，解得.综上可知，或，答案应选D。另解1：可以作出函数的图象，令可得或，观察图像可得，或可使成立，答案应选D。另解2：利用绝对值的几何意义，表示实数轴上的点到点与的距离之和，要使点到点与的距离之和等于10，只需或，于是当，或可使成立，答案应选D。（5）对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件解析：若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。（6）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则A.B.C.D.解析：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，即，答案应选C。另解1：令得函数在为增函数，同理可得函数在为减函数，则当时符合题意，即，答案应选C。另解2：由题意可知当时，函数取得极大值，则，即，即，结合选择项即可得答案应选C。另解3：由题意可知当时，函数取得最大值，则，，结合选择项即可得答案应选C。（7）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.6.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元解析：由题意可知，则，答案应选B。（8）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A.B.C.D.解析：圆，而，则，答案应选A。D.C.B.A.D.C.B.A.解析：函数为奇函数，且，令得，由于函数为周期函数，而当时，，当时，，则答案应选C。（10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为A.6B.7C.8D.9正（主）视图俯视图解析：当时，则，而是上最小正周期为2的周期函数，则，，答案应选B。正（主）视图俯视图(11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真，命题的个数是A.3B.2C解析：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，答案选A。（12）设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若,,且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法正确的是A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上解析：根据题意可知，若C或D是线段AB的中点，则，或，矛盾；开始输入非负整数l，m，n输出y结束若C,D可能同时在线段AB上，则则矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则，，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。开始输入非负整数l，m，n输出y结束二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分。（13）执行右图所示的程序框图，输入，则输出的y的值是。解析：。答案应填：68.（14）若展开式的常数项为60，则常数的值为。解析：的展开式，令，答案应填：4.（15）设函数，观察：，，，，……根据上述事实，由归纳推理可得：当，且时，。解析：，，，以此类推可得。答案应填：。16.已知函数且。当时函数的零点为，则。解析：根据，，而函数在上连续，单调递增，故函数的零点在区间内，故。答案应填：2.三、解答题：本大题共6小题，共74分。17.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积S。解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得，即则，而，则，即。另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论.由可得即，则，由正弦定理可得。（Ⅱ）由及可得则，，S，即。（18）（本题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望。解析：（Ⅰ）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为.（Ⅱ）依题意可知，；;;.故的分布列为故.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，．（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小．几何法：证明：（Ⅰ），可知延长交于点，而，，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，，若是线段的中点，而,则，四边形为平行四边形，则，又平面，所以平面；（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。若，设，则，，为的中点，，，，在中,则，即二面角的大小为。坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形，，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.由可得，由可得,，则，，而平面，所以平面；（Ⅱ）（Ⅱ）若，设，则，,则,,,设分别为平面与平面的法向量。则，令，则，；，令，则，。于是，则，即二面角的大小为。20.（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．解析：（Ⅰ）由题意可知，公比，通项公式为；（Ⅱ）当时，当时故另解：令，即则故.21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元．（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．解析：（Ⅰ）由题意可知，即，则.容器的建造费用为，即，定义域为.（Ⅱ），令，得.令即，（1）当时，当，，函数为减函数，当时有最小值；（2）当时，当，；当时，此时当时有最小值。22.（本小题满分12分）已知动直线与椭圆：交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点．（Ⅰ）证明：和均为定值；（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．解析：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则于是，.当直线的斜率存在，设直