第4讲数列极限的收敛准则及其计算

第4讲数列的极限的计算一、数列极限收敛准则二、数列极限的四则运算请点击1一、数列极限的收敛准则1.单调收敛原理2.数列极限的夹逼准则请点击21.单调收敛原理

单调减少有下界的数列必有极限.

单调增加有上界的数列必有极限.

通常说成：单调有界数列必有极限.3由中学的牛顿二项式展开公式例1证4类似地,有56又

等比数列求和

放大不等式每个括号小于1.7

综上所述,数列{xn}是单调增加且有上界的,由单调有界原理可知,该数列的极限存在,通常将它记为e,即e

称为欧拉常数，它是一个无理数.8点击此处可了解欧拉9

欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741－1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。

欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（1738－1772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。10

欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的17年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”

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有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第17项时两人发现在第50位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。欧拉创用a，b，c

表示三角形的三条边，用A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用表示求和符号(1755)；提倡用表示圆周率（1736）；1727年用e表示自然对数的底；还用y表示差分等等。十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，如他在1748年出版的《无穷分析引论》。122.数列极限的夹逼准则设数列{xn},{yn},{zn}满足下列关系:(2)则(1)yn

xn

zn,n

Z+(或从某一项开始);想想：如何证明夹逼定理?1314由于想得通吧？例2解15例3解16

柯西

A.L.Cauchy(1789－1857)业绩永存的数学大师17

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。

1805－1810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。18

由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。1821年柯西提出了极限定义的ε方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或ε－δ定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。

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他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了200年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无误为止。20

柯西一生撰写的数学论著有800多种。他是19个科学院或著名学术团体的成员。1838年他还被授予男爵封号。他在学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几何、光学、天体力学等学科或学科分支。柯西一生最大的错误是“失落”了才华出众的年轻数学家伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半个世纪。

1857年5月23日柯西病逝于巴