人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式（教师版）

第03讲4.2.2等差数列的前SKIPIF1<0项和公式课程标准学习目标①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。③能处理与等差数列相关的综合问题。能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题知识点01：等差数列的前SKIPIF1<0项和公式1、首项为SKIPIF1<0，末项为SKIPIF1<0的等差数列的前SKIPIF1<0项和公式SKIPIF1<02、首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列的前SKIPIF1<0项和公式SKIPIF1<0【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0均为等差数列．(1)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)260(2)21.7(3)49【详解】（1）依题意，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.（3）设公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．知识点02：等差数列前SKIPIF1<0项和公式的函数特征等差数列前SKIPIF1<0项和公式可变形为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，它是关于SKIPIF1<0的二次函数，表示为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数)．知识点03：等差数列前SKIPIF1<0项和性质(1)若数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列,则数列SKIPIF1<0也是等差数列,且公差为SKIPIF1<0(2)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,…组成公差为SKIPIF1<0的等差数列(3)在等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，它们的前SKIPIF1<0项和分别记为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0(4)若等差数列SKIPIF1<0的项数为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。(5)若等差数列SKIPIF1<0的项数为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】15【详解】设SKIPIF1<0，由等差数列的性质可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：15题型01等差数列前SKIPIF1<0项和的基本量计算【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求数列的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求n.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)11【详解】（1）设公差为SKIPIF1<0，则由题意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，前n项和为SKIPIF1<0，求解下列问题：(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)2(2)1596(3)11【详解】（1）由题意知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公差为d，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公差为d，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）由题意知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公差为d，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．(1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？(2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列，设该等差数列为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故这山的高度是SKIPIF1<0.（2）由（1）可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），所以要经过SKIPIF1<0落地.【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列SKIPIF1<0是等差数列．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)2700(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．根据公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（3）把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）．所以SKIPIF1<0．题型02利用等差数列前SKIPIF1<0项和公式判断【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0均在函数SKIPIF1<0的图象上，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：依题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设其公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求证：该数列SKIPIF1<0是等差数列；(2)若数列SKIPIF1<0是等差数列，求SKIPIF1<0满足条件．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列.（2）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，若数列SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0是等差数列；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1）由题意得①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，经检验满足上式.故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，数列SKIPIF1<0是首项为23，公差为SKIPIF1<0的等差数列.【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求证：数列SKIPIF1<0是等差数列．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）见解析【详解】SKIPIF1<0解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为常数，则数列SKIPIF1<0是等差数列．题型03等差数列片段和性质【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为等差数列，其公差为SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【详解】由等差数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0成等差数列，设为d，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．90 B．40 C．50 D．60【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0为等差数列，所以SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由等差数列的性质可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，且该数列的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：D.【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型04比值问题（含同角标和不同角标）【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式，得SKIPIF1<0，又由等差数列的性质，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由已知得SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】空1：由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式，可得SKIPIF1<0，又由等差数列的性质，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.空2：设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.题型05等差数列前SKIPIF1<0项和的最值问题【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小时n的值为（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或13【答案】C【详解】根据题意由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；由二次函数性质可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小时.故选：C【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）记等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求等差数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0的最小值及对应的n值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，对应SKIPIF1<0.【详解】（1）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0.（2）由（1）知，等差数列SKIPIF1<0单调递增，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0前15项均为负数，从第16项起均为正数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.【变式1】（多选）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列SKIPIF1<0是公差为d的等差数列，SKIPIF1<0是其前n项和，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最大值 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】根据题意可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以可得公差SKIPIF1<0；所以A错误，B正确；易知SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一元二次函数，且二次函数图象的对称轴为直线SKIPIF1<0，开口向下，又因为SKIPIF1<0为整数，所以当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是单调递增的，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是单调递减的；又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于对称轴对称，所以可得SKIPIF1<0，且为SKIPIF1<0的最大值，即C正确；根据二次函数性质可知，距离对称轴越近SKIPIF1<0的值越大，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0距离对称轴比SKIPIF1<0距离对称轴远，所以可得SKIPIF1<0，即D正确.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，开口向下，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)78【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.由二次函数的性质知，对称轴方程为SKIPIF1<0，开口向下，所以，当SKIPIF1<0取与SKIPIF1<0最近的整数即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大值，最大值为SKIPIF1<0.题型06符合条件的最值问题【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0是递增数列 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】ABC选项，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B正确；∴公差SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0是递减数列，A错误；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，C错误；D选项，SKIPIF1<0，D错误.故选：B．【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0有最小值，且SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0成立的正整数n的最小值为（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】D【详解】由题意可知：等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0有最小值，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是递增数列，可得SKIPIF1<0是过原点的二次函数式，且开口向上，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以使SKIPIF1<0成立的正整数n的最小值为18.故选：D.【典例3】（多选）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0是递增数列 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0中最大项为第6项【答案】BCD【详解】对于选项A、C：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以等差数列SKIPIF1<0是递减数列，故A错误，C正确；对于选项B：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于选项D：因为等差数列SKIPIF1<0是递减数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0中最大项为第6项，故D正确；故选：BCD.【变式1】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）设等差数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】在等差数列{SKIPIF1<0}中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0．故选：C【变式2】（多选）（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）设SKIPIF1<0是公差为d的等差数列，SKIPIF1<0是其前n项的和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是递增数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中，只有SKIPIF1<0最小，故D错误.故选：AC．【变式3】（多选）（2023秋·高二课时练习）设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是其前n项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最大值【答案】BD【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A错误；可知数列SKIPIF1<0为递减数列，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0为最后一项正数，根据加法的性质可知：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最大值，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最大值，故D正确；故选：BD.题型07求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和问题【典例1】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得等差数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，适合上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）从①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且__________，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】若选条件①，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若选条件②，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若选条件③，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）在公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；(2)65【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.【变式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0题型08等差数列奇数项偶数项和【典例1】（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设等差数列的公差为SKIPIF1<0，则由条件可知：数列的奇数项之和为SKIPIF1<0，①偶数项之和为SKIPIF1<0，②由②-①，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即该数列的公差为SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，若数列SKIPIF1<0中奇数项的和为SKIPIF1<0，偶数项的和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列SKIPIF1<0中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且SKIPIF1<0，求通项公式．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵等差数列SKIPIF1<0中，前m（m为奇数）项的和为77，∴SKIPIF1<0，①∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有SKIPIF1<0项，公差等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0×SKIPIF1<0=33，②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，③由①②③，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前30项中奇数项的和为SKIPIF1<0，偶数项的和为SKIPIF1<0，且