人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用（教师版）

第05讲拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用知识点01：二项式系数的性质①各二项式系数和：SKIPIF1<0；②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：SKIPIF1<0知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：①每一行都是对称的，且两端的数都是1②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．③当SKIPIF1<0时，二项式系数是逐渐变大的；当SKIPIF1<0时，二项式系数是逐渐变小的．(4)当SKIPIF1<0是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当SKIPIF1<0是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．题型01二项展开式的系数问题【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0与xy两项的系数相等，则n的值为.【答案】51【详解】解：由题意得：SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0项，仅出现在求和指标r=4时的展开式SKIPIF1<0中，其SKIPIF1<0项系数为SKIPIF1<0；而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式SKIPIF1<0中，其xy项系数为SKIPIF1<0.因此有SKIPIF1<0.注意到n>4，化简得SKIPIF1<0，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，故答案为：51.【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数为.【答案】SKIPIF1<0【详解】要得到SKIPIF1<0的展开式中含有SKIPIF1<0的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“SKIPIF1<0”，然后在后面四个括号中选取3个“SKIPIF1<0”和1个“SKIPIF1<0”，由分步乘法计数原理可知此时“SKIPIF1<0”的系数为SKIPIF1<0；情形二：先在第一个括号中选取“SKIPIF1<0”，然后在后面四个括号中选取2个“SKIPIF1<0”和2个“SKIPIF1<0”，由分步乘法计数原理可知此时“SKIPIF1<0”的系数为SKIPIF1<0.综上所述：由分类加法计数原理可知SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2017·高二课时练习）已知SKIPIF1<0(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含SKIPIF1<0的项．【答案】T2＝－16SKIPIF1<0【详解】试题分析：根据展开式中第五项的系数与第三项的系数比求项数n,然后利用通项公式求特定项即可.试题解析：由题意知第五项的系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝，解得n＝8(n＝－3舍去)．所以通项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C(－2)r·SKIPIF1<0.令＝，得r＝1.

∴展开式中含SKIPIF1<0的项为T2＝－16SKIPIF1<0.【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式SKIPIF1<0的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，常数项为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的系数为.【答案】9SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由二项展开式的通项公式可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由9个SKIPIF1<0连乘得到，要得到含SKIPIF1<0的项，有两种情形：①这9个式子中：8个式子中取SKIPIF1<0，剩下的1个式子中取SKIPIF1<0；②这9个式子中：7个式子中取SKIPIF1<0，剩下的2个式子中取1.故含SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：9，-18.【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在SKIPIF1<0的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】二项式SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以第3项的二项式系数SKIPIF1<0，第4项的二项式系数为SKIPIF1<0，因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型02杨辉三角的有关问题【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（

）

A．第SKIPIF1<0行的第SKIPIF1<0个位置的数是SKIPIF1<0B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列C．70在杨辉三角中共出现了3次D．210在杨辉三角中共出现了6次【答案】BCD【详解】对于A选项：第SKIPIF1<0行的第SKIPIF1<0个位置的数是SKIPIF1<0，故A错误；对于B选项：由题SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0是奇数项且为奇数，这与SKIPIF1<0情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；由于SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，无正整数解，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0递增，从而无解；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0共出现3次，C正确；类似于前SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为顶点的下方三角形区域中的数都大于SKIPIF1<0,D正确.故选：BCD【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，SKIPIF1<0）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（

）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形”每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为SKIPIF1<0，第10行的第二个数为SKIPIF1<0，于是得第10行的第三个数为SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正确.故选：BCD【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第SKIPIF1<0行的各数就是SKIPIF1<0的展开式的二项式系数.则第10行共有个奇数；第100行共有个奇数.【答案】48【详解】由杨辉三角可得如下表：第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个；第4行，2个；第5行，4个；第6行，4个；第7行，8个；第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个；第11行，8个；第12行，4个；第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个；第19行，8个；第20行，4个；第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；SKIPIF1<0第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个；第99行，16个；第100行，8个；故答案为：4；8.【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；（2）已知n，r为正整数，且SKIPIF1<0，求证：任何四个相邻的组合数SKIPIF1<0不能构成等差数列.【答案】（1）存在，是第SKIPIF1<0行；（2）证明见解析.【详解】（1）假设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故在杨辉三角形中的第SKIPIF1<0行的第SKIPIF1<0个数之比为SKIPIF1<0.（2）假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0够成等差数列，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，由组合数的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据等差数列的性质得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然不成立，所以假设不成立，即任何四个相邻的组合数SKIPIF1<0不能构成等差数列.【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉SKIPIF1<0年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是SKIPIF1<0外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+

例如第SKIPIF1<0行的SKIPIF1<0为第SKIPIF1<0行中两个SKIPIF1<0的和．则下列命题中正确的是(

)A．在“杨辉三角”第SKIPIF1<0行中，从左到右第SKIPIF1<0个数是SKIPIF1<0B．在“杨辉三角”中，当SKIPIF1<0时，从第SKIPIF1<0行起，每一行的第SKIPIF1<0列的数字之和为SKIPIF1<0C．在“杨辉三角”中，第SKIPIF1<0行所有数字的平方和恰好是第SKIPIF1<0行的中间一项的数字D．记“杨辉三角”第SKIPIF1<0行的第SKIPIF1<0个数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是SKIPIF1<0，故A正确；对于B，当SKIPIF1<0时，从第SKIPIF1<0行起，每一行的第SKIPIF1<0列的数字之和为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，在“杨辉三角”中，第SKIPIF1<0行所有数字的平方和恰好是第SKIPIF1<0行的中间一项的数字，即SKIPIF1<0，证明如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0项相乘即可得到SKIPIF1<0这一项的系数为：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是二项式SKIPIF1<0的展开式中第SKIPIF1<0项的二项式系数(即SKIPIF1<0的系数)，故SKIPIF1<0，故C正确；对于D，第SKIPIF1<0行的第SKIPIF1<0个数为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D错误．故选：ABC．【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线SKIPIF1<0的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：SKIPIF1<0，记此数列的前SKIPIF1<0项之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【答案】452【详解】设数列为{SKIPIF1<0}，当SKIPIF1<0为偶数时，易知SKIPIF1<0；前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且SKIPIF1<0，所以偶数项之和为：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以前23项里面奇数项和为：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=364，所以SKIPIF1<0.故答案为：452.【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在SKIPIF1<0的展开式中（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0叫做项式系数），当SKIPIF1<0，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为75，则实数SKIPIF1<0的值为；（2）SKIPIF1<0（可用组合数作答）.【答案】2SKIPIF1<0【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）由题意可知，SKIPIF1<0，根据二项式定理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0可视为二项式SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数，而二项式SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．故答案为：2；SKIPIF1<0．【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在SKIPIF1<0三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是.SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】将数阵倒置，计第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0个数为SKIPIF1<0，则倒置后的数阵为：SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.依此类推SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0.题型03求二项展开式中的系数最大项问题【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若SKIPIF1<0的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第6项的系数最大，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.【典例2】（2022·上海·统考一模）已知SKIPIF1<0展开式的二项式系数的最大值为SKIPIF1<0，系数的最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】12【详解】由题意可知SKIPIF1<0展开式的二项式系数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，取得最大值SKIPIF1<0SKIPIF1<0展开式的系数为SKIPIF1<0，当满足SKIPIF1<0时，系数最大.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，系数的最大值为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故答案为：12【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0展开式的中间项；（2）求SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）7．【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0展开式的中间项是SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0最大，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或6所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式SKIPIF1<0．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；（2）若SKIPIF1<0，求二项式的值被7除的余数．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）2.【详解】（1）SKIPIF1<0二项式SKIPIF1<0的二项式系数之和为512，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，展开式中系数最大的项为第8项，为SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0问题转化为SKIPIF1<0被7除的余数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即余数为2．【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在SKIPIF1<0的展开式中（

）A．常数项为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项【答案】BCD【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项公式SKIPIF1<0，对于A：令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即常数项为SKIPIF1<0，故A错误；对于B：令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，故B正确；对于C：由通项公式可得：第SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0为偶数，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以系数最大项为第3项，故C正确；对于D：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以有理项共有5项，故D正确；故选：BCD.【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知SKIPIF1<0为正整数，在二项式SKIPIF1<0的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则SKIPIF1<0的值为，展开式中第项的系数最大.【答案】1211【详解】（1）根据题意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0.（2）二项式SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设二项式的展开式中第SKIPIF1<0的系数最大，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴展开式中第11项的系数最大.【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知SKIPIF1<0展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含SKIPIF1<0的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)第3项或第4项.【详解】（1）依题意，SKIPIF1<0，由组合数的性质得SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0展开式的通项SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0；（2）令Tr＋1项的系数最大，由(1)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.（2）已知SKIPIF1<0的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.【答案】（1）-13；（2）SKIPIF1<0【详解】解：（1）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式相减可得，SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0可得各项系数和为SKIPIF1<0，二项式系数和为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0（舍去），解得SKIPIF1<0．设第SKIPIF1<0项的系数最大，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．再由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故系数最大的项为SKIPIF1<0．题型04二项式定理的应用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从SKIPIF1<0这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为SKIPIF1<0,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的后两位数字为（

）A．89 B．51 C．49 D．13【答案】C【详解】解:由题知,当抽取三个不同的数,成等差数列时,记公差为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计98个,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计96个,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计94个,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计4个,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计2个,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当抽取四个不同的数,成等差数列时,记公差为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计97个,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计94个,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计91个,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计4个,当SKIPIF1<0时,数列可为:SKIPIF1<0共计1个,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的后两位与SKIPIF1<0的后两位一致,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0的后两位一定是00,故SKIPIF1<0的后两位数与SKIPIF1<0的后两位一致,因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的后两位数为49,即SKIPIF1<0的后两位数为49.故选:C【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于SKIPIF1<0，将n表示为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为0或1.记SKIPIF1<0为上述表示中SKIPIF1<0为0的个数，（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为整数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有SKIPIF1<0种情况，即有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0；其中有一个为1时，有SKIPIF1<0种情况，即有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0；其中有2个为1时，有SKIPIF1<0种情况，即有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0；…故SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，…SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0．【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列SKIPIF1<0.对于任意的SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立,则称数列SKIPIF1<0是互斥数列.(1)若数列SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是否是互斥数列，说明理由；(2)若数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立；(3)若SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是正整数)，试确定SKIPIF1<0满足的条件，使SKIPIF1<0是互斥数列.【答案】(1)是互斥数列，理由见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【详解】（1）解：SKIPIF1<0中只有首项为1，其余均为偶数，SKIPIF1<0均为大于1的奇数，故对任意的SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0是互斥数列；（2）证明：若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是互斥数列，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的公差分别为SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，所以SKIPIF1<0都为正整数，取SKIPIF1<0，所以,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，存在无穷多组正整数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，证毕.（3）解：由于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0除以SKIPIF1<0的余数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是互斥数列，所以SKIPIF1<0除以SKIPIF1<0的余数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，（i）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对SKIPIF1<0成立即可，（ii）若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0都为SKIPIF1<0的倍数，此时SKIPIF1<0是互斥数列，满足题意，（iii）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0