人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第13讲 7.4.1 二项分布 （教师版）

第06讲7.4.1二项分布课程标准学习目标①理解相互独立事件的概念，理解独立重复试验的概念，理解二项分布的概率模型。②理解相互独立事件的概率模型.伯努利试验的特点。③掌握二项分布的特点，会求二项分布列，期望与方差。通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差知识点1：SKIPIF1<0重伯努利试验(SKIPIF1<0次独立重复试验)（1）SKIPIF1<0重伯努利试验的定义①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.②将一个伯努利试验独立地重复进行SKIPIF1<0次所组成的随机试验称为SKIPIF1<0重伯努利试验.（2）SKIPIF1<0重伯努利试验的特征①每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；②各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的（3）SKIPIF1<0重伯努利试验的概率公式一般地，如果在一次试验中事件SKIPIF1<0发生的概率是SKIPIF1<0,事件SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次试验中发生SKIPIF1<0次，共有SKIPIF1<0种情形，由试验的独立性知，每种情形下，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次试验中发生，而在其余SKIPIF1<0次试验中不发生的概率都是SKIPIF1<0,所以由概率加法公式知，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，事件SKIPIF1<0恰好发生次的概率为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).知识点2：二项分布（1）二项分布一般地，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，设每次试验中事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0发生的次数，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果随机变量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，则称随机变量SKIPIF1<0服从二项分布，记作SKIPIF1<0．【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从SKIPIF1<0道备选题中一次性随机抽取SKIPIF1<0道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中SKIPIF1<0道题便可通过．已知SKIPIF1<0道备选题中应聘者甲有SKIPIF1<0道题能正确完成，SKIPIF1<0道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是SKIPIF1<0，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数SKIPIF1<0的分布列及其期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）解：由题意得：设甲正确完成面试的题数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；（2）设乙正确完成面试的题数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取值范围是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．应聘者乙正确完成题数SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）明确二项分布中的各量表示的意义SKIPIF1<0：伯努利试验的次数SKIPIF1<0：事件SKIPIF1<0发生的次数SKIPIF1<0：每次试验中事件SKIPIF1<0发生的概率分布列：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0结论：随机变量SKIPIF1<0服从参数为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二项分布记法：记作SKIPIF1<0,并称SKIPIF1<0为成功概率（3）二项分布的均值与方差若随机变量SKIPIF1<0服从参数为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二项分布，即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【即学即练2】（2023上·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【详解】由二项分布的期望、方差公式可得：SKIPIF1<0.题型01SKIPIF1<0重伯努利试验的判断【典例1】（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的打写错误）（1）有放回地抽样试验是SKIPIF1<0重伯努利试验．()（2）在SKIPIF1<0重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．()（3）在SKIPIF1<0重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．()（4）如果在1次试验中某事件发生的概率是SKIPIF1<0，那么在SKIPIF1<0重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率SKIPIF1<0.()【答案】正确正确错误正确【详解】（1）中，在有放回地抽样试验中，其中每次抽取之间是相互独立的，所以是SKIPIF1<0重伯努利试验，所以（1）正确；（2）中，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，每次的试验结果之间世相互独立的，所以各次试验的结果相互没有影响，所以（2）正确；（3）中，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率是相同的，所以（3）错误；（4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，根据独立重复试验的概率公式，可得在SKIPIF1<0重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率SKIPIF1<0，所以（4）正确.故答案为：（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）正确.【典例2】（2022·高二课时练习）SKIPIF1<0重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行SKIPIF1<0次所组成的随机试验称为SKIPIF1<0重伯努利试验，故SKIPIF1<0重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；故选：C【典例3】（2022·高二课时练习）以下真命题共有个．①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响；②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同；③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率SKIPIF1<0．【答案】2【详解】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题.②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题.③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为SKIPIF1<0，所以③是真命题.综上所述，真命题共有SKIPIF1<0个.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2022·高二课时练习）判断正误（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．()（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．()（3）将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于SKIPIF1<0．()【答案】正确正确错误【详解】（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．故正确；（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．故正确；（3）将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于SKIPIF1<0．故错误.【变式2】（多选）（2022·高二课时练习）（多选）下列试验不是SKIPIF1<0重伯努利试验的是（

）．A．依次投掷四枚质地不同的硬币B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了SKIPIF1<0次C．口袋中装有SKIPIF1<0个白球，SKIPIF1<0个红球，SKIPIF1<0个黑球，依次从中抽取SKIPIF1<0个球D．小明做SKIPIF1<0道难度不同的数学单选题【答案】ACD【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是SKIPIF1<0重伯努利试验．B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是SKIPIF1<0重伯努利试验．C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是SKIPIF1<0重伯努利试验．D．SKIPIF1<0道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是SKIPIF1<0重伯努利试验．故选：ACD．【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列试验是不是n重伯努利试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．【答案】(1)不是n重伯努利试验(2)是n重伯努利试验(3)不是n重伯努利试验【详解】（1）由题意，∵试验的条件不同(质地不同)，∴不是n重伯努利试验（2）由题意，∵某人射击且击中的概率是稳定的，∴是n重伯努利试验．（3）由题意，∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，∴不是n重伯努利试验．题型02SKIPIF1<0重伯努利试验的概率问题【典例1】（2023下·福建南平·高二统考期末）在SKIPIF1<0重伯努利试验中，设每次成功的概率为SKIPIF1<0，则失败的概率为SKIPIF1<0，将试验进行到恰好出现SKIPIF1<0次成功时结束试验，用随机变量SKIPIF1<0表示试验次数，则称SKIPIF1<0服从以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为参数的帕斯卡分布，记为SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2022上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/0.2【详解】依题意得X服从二项分布，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【典例3】（2024·江苏·高二假期作业）将3个不同的小球随机投入编号分别为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数不限），则1号盒子中有2个小球的概率为，2号盒子中小球的个数SKIPIF1<0的数学期望为.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由于每个小球投入每个盒子是可能的，故每个小球放入1号盒子的概率为SKIPIF1<0，不放入1号盒子的概率为SKIPIF1<0，故1号盒子中有2个小球个概率SKIPIF1<0，同理，每个小球放入2号盒子的概率为SKIPIF1<0，不放入2号盒子的概率为SKIPIF1<0，将3个小球投放到4个盒子中，则2号盒子中小球的个数SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【变式1】（2021·高二课时练习）若某一试验中事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0重伯努利试验中，SKIPIF1<0发生SKIPIF1<0次的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0重伯努利试验中，事件SKIPIF1<0发生SKIPIF1<0次的概率为SKIPIF1<0．故选：D．【变式2】（2024·全国·高三专题练习）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为．【答案】SKIPIF1<0【详解】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种，两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，在一次试验中，出现成功试验的概率SKIPIF1<0，设出现成功试验的次数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【变式3】（2023下·广东潮州·高二统考期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为SKIPIF1<0，则事件A在1次试验中出现的概率为．【答案】SKIPIF1<0【详解】记“A至少发生1次”为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示其对立事件“A发生0次”，事件A的发生符合二项分布，设事件A在1次试验中出现的概率为p，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

故答案为：SKIPIF1<0．题型03二项分布及其应用【典例1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.

(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)频率为SKIPIF1<0；中位数为SKIPIF1<0(2)分布列见解析【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间SKIPIF1<0内的频率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以数学成绩落在区间SKIPIF1<0内的频率为SKIPIF1<0，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，数学成绩落在区间[70，100）的频率为SKIPIF1<0，所以中位数落在区间SKIPIF1<0内，设中位数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】（2024上·全国·高三专题练习）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，安装在如图甲所示的电路中，已知元件SKIPIF1<0的合格率都为SKIPIF1<0，元件SKIPIF1<0的合格率都为SKIPIF1<0.

(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；(2)经反复测验，质检员把一些电子元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析【详解】（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件SKIPIF1<0是合格的，前面的AB至少有一个是合格的，概率SKIPIF1<0，小灯泡亮了，并且质检员犯错误的情况，对于前面的元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分为两大类：第一类：元件SKIPIF1<0合格，元件SKIPIF1<0不合格，故SKIPIF1<0，第二类：元件SKIPIF1<0合格，元件SKIPIF1<0不合格，故SKIPIF1<0，所以在发现小灯泡亮了的前提下，该质检员犯错误的概率为：SKIPIF1<0.（2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0服从二项分布：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的分布列为：0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例3】（2024·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为SKIPIF1<0，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求SKIPIF1<0的最小值；(2)当SKIPIF1<0时，求能使系统正常工作的设备数SKIPIF1<0的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．【答案】(1)0.8(2)答案见解析(3)决策部门应选择方案2，理由见解析【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为0.8．（2）设SKIPIF1<0为正常工作的设备数，由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.0270.1890.4410.343（3）设方案1､方案2的总损失分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，可知计算机网络断掉的概率为：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0万元．采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，计算机网络断掉的概率为：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0万元．因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．【变式1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为SKIPIF1<0．从中取3次，SKIPIF1<0为取得次品的次数，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,选择D答案．【变式2】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是SKIPIF1<0，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15(1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；(2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列见解析，24.【详解】（1）记事件SKIPIF1<0表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件SKIPIF1<0表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所求的概率SKIPIF1<0.（2）由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，期望为SKIPIF1<0.【变式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为SKIPIF1<0，乙击中8环､9环､10环的概率分别为SKIPIF1<0，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望.【答案】(1)0.2(2)分布列见解析，数学期望为0.6【详解】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件SKIPIF1<0，则事件SKIPIF1<0包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则SKIPIF1<0.（2）由题可知SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.5120.3840.0960.008所以SKIPIF1<0.题型04二项分布的均值与方差【典例1】（2024上·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取SKIPIF1<0份作为样本，将SKIPIF1<0个样本数据按SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这SKIPIF1<0份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于SKIPIF1<0分，则被认定为成绩合格，低于SKIPIF1<0分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取SKIPIF1<0人，用SKIPIF1<0表示成绩合格的人数，求SKIPIF1<0的分布列及数学期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，SKIPIF1<0份样本数据的平均值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：竞赛成绩不低于SKIPIF1<0分的频率为SKIPIF1<0，低于SKIPIF1<0分的频率为SKIPIF1<0.由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.【典例2】（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(1)求SKIPIF1<0的值以及这批产品的优质率；(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出SKIPIF1<0件，记这SKIPIF1<0件中优质产品的件数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，优质率为25%(2)分布列见解析，1【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，产品质量指标超过130的频率为SKIPIF1<0，所以这批产品的优质率为SKIPIF1<0；（2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为SKIPIF1<0，所以4件产品中优质产品的件数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<001234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）为庆祝中国共产党成立SKIPIF1<0周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了SKIPIF1<0名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．成绩区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的SKIPIF1<0，试估计获奖分数线；(2)该市决定从全市成绩不低于SKIPIF1<0分的学生中随机抽取SKIPIF1<0人参加省级党史知识竞赛，成绩在SKIPIF1<0的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）解：由表格知，成绩在SKIPIF1<0的频率为SKIPIF1<0，成绩在SKIPIF1<0的频率为SKIPIF1<0，成绩在SKIPIF1<0的频率为SKIPIF1<0，设获奖分数线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）解：从全市成绩不低于SKIPIF1<0分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛，成绩在SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．【变式1】（2024上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：等级12345678910频数10901001501502001001005050(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列、期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，期望SKIPIF1<0.【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为A，B互斥，所以可以估计这件产品评分为良好或优秀的概率为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，评分为优秀的概率为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的分布列为X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式2】（2024·河南郑州·统考一模）某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标SKIPIF1<0的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的SKIPIF1<0值，并计算得到其平均数SKIPIF1<0，中位数SKIPIF1<0，随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的SKIPIF1<0值，并绘制成如下的频率分布直方图．(1)求乙生产线的产品指标SKIPIF1<0值的平均数SKIPIF1<0与中位数SKIPIF1<0（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生产线较甲生产线的产品指标SKIPIF1<0值是否更好（如果SKIPIF1<0，则认为乙生产线的产品指标SKIPIF1<0值较甲生产线的产品指标SKIPIF1<0值更好，否则不认为更好）．(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标SKIPIF1<0值不小于70的产品个数用SKIPIF1<0表示，求SKIPIF1<0的数学期望与方差．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙生产线较甲生产线的产品指标SKIPIF1<0值更好(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以中位数在区间SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即中位数SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以乙生产线较甲生产线的产品指标SKIPIF1<0值更好；（2）指标SKIPIF1<0值不小于70的概率为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式3】6（2024·全国·高二假期作业）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)求SKIPIF1<0的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(2)若按照分层的方法从质量指标值在SKIPIF1<0的产品中随机抽取SKIPIF1<0件，再从这SKIPIF1<0件中随机抽取SKIPIF1<0件，求至少有一件的指标值在SKIPIF1<0的概率；(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出SKIPIF1<0件，记这SKIPIF1<0件中优质产品的件数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，优质率为25%(2)SKIPIF1<0(3)分布列见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，产品质量指标超过130的频率为SKIPIF1<0，所以这批产品的优质率为25%.（2）因为质量指标在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的频率分别为0.4和0.3.所以质量指标在SKIPIF1<0产品中抽取7件，则质量指标在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0件，质量指标在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0件.所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0.（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为SKIPIF1<0.所以4件产品中优质产品的件数SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<001234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型05服从二项分布的概率最值问题【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？【答案】(1)分布列见解析，数学期望为SKIPIF1<0(2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大.【详解】（1）由题知：SKIPIF1<0可取2，4，6，8，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<02468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<0.（2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为SKIPIF1<0，则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0假设当SKIPIF1<0时，概率最大，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为SKIPIF1<0，则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以Y的分布列为：SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0从分布列中可以看出，概率最大为SKIPIF1<0，所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．【典例3】（2024·全国·高二假期作业）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分SKIPIF1<0的分布列和期望；(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？【答案】(1)分布列见解析，SKIPIF1<0(2)3次或4次【详解】（1）由题知：SKIPIF1<0可取0，1，2，3，则:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的期望为：SKIPIF1<0.（2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为SKIPIF1<0若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为SKIPIF1<0若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0∴假设当SKIPIF1<0时，对应概率取值最大，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.【变式1】（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的概率为SKIPIF1<0，求当SKIPIF1<0最大时SKIPIF1<0的值.【答案】(1)0.75(2)6【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件SKIPIF1<0，“一次应答被采纳”为事件SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最大时，有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0.【变式2】（2024上·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中SKIPIF1<0），记第i次试验中的A种数目为随机变量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；③记随机变量SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)该小组完成所有试验后，得到SKIPIF1<0的实际取值分别为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），并计算了数据SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据SKIPIF1<0．（ⅰ）请用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别代替SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，估算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求SKIPIF1<0的分布列中概率值最大的随机事件SKIPIF1<0对应的随机变量的取值．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）15【详解】（1）由题可知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布，