2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习10（含答案）

2024年中考数学二轮专题压轴题培优练习10LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP.(1)填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；(2)点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小；(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2(a＞0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；(3)在(2)的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为eq\f(1,2)．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c与x轴、y轴分别交于点B(6，0)和点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为eq\f(15,2)时，求m值；(3)如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A(﹣3，0)和B，将抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；(2)求证A，M，A1三点在同一直线上；(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P的线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴与点D，若△PCD的面积为S，试判断S有无最大值？若有，求出这个最大值；(3)在(2)的条件下，线段MB上是否存在点P，△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2eq\r(3)，直线y=eq\r(3)x﹣2eq\r(3)经过点C，交y轴于点G．(1)点C、D的坐标；(2)求顶点在直线y=eq\r(3)x﹣2eq\r(3)上且经过点C、D的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线沿直线y=eq\r(3)x﹣2eq\r(3)平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tan∠OAB＝3，抛物线y＝x2＋mx＋3经过A、B两点，顶点为D．(1)求抛物线的表达式；(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积；(3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足∠ACP＝∠ABO，求点P的坐标．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把A(0，4)，B(4，0)分别代入y＝﹣x2＋bx＋c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋3x＋4，当y＝0时，﹣x2＋3x＋4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C(﹣1，0)；故答案为y＝﹣x2＋3x＋4；(﹣1，0)；(2)∵△AQP∽△AOC，∴＝，∴＝＝＝4，即AQ＝4PQ，设P(m，﹣m2＋3m＋4)，∴m＝4|4﹣(﹣m2＋3m＋4|，即4|m2﹣3m|＝m，解方程4(m2﹣3m)＝m得m1＝0(舍去)，m2＝，此时P点坐标为(，)；解方程4(m2﹣3m)＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝，此时P点坐标为(，)；综上所述，点P的坐标为(，)或(，)；(3)设P(m，﹣m2＋3m＋4)(m＞eq\f(3,2))，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ＝4﹣(﹣m2＋3m＋4)＝m2﹣3m，∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m，∵∠AQ′O＝∠Q′PH，∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，∴＝，即＝，解得Q′B＝4m﹣12，∴OQ′＝m﹣(4m﹣12)＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，42＋(12﹣3m)2＝m2，整理得m2﹣9m＋20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为(4，0)或(5，﹣6)；当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，∴PQ＝AQ′，即|m2﹣3m|＝m，解方程m2﹣3m＝m得m1＝0(舍去)，m2＝4，此时P点坐标为(4，0)；解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝2，此时P点坐标为(2，6)，综上所述，点P的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6)LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)证明：令y＝0，即a(x﹣1)(x﹣1﹣a)＝0，∵a≠0，∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1＋a，∵1≠1＋a，∴方程有两个不相等的实数根，∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)∵点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，∴y1＝a2＋a，y2＝﹣2a2＋4a．∴y1﹣y2＝a2＋a＋2a2﹣4a＝3a2﹣3a．∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，当a＝1时，y1＝y2，当0＜a＜1时，y1＜y2；(3)∵二次函数v＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)，整理可得：y＝ax2﹣a(a＋2)x＋a(a＋1)，由(1)可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1＋a，∴二次函数的图象交轴于(﹣1，0)和(1＋a，0)两点，对称轴x＝，当x＝时，y＝a(﹣1)(﹣1﹣a)＝a××(﹣)＝﹣∴二次函数图象的顶点坐标为(，﹣)，由(2)可知：当x＝0时，y1＝a2＋a，当t＝3时，y2＝﹣2a2＋4a，当a＞0时，二次函数的图象开口向上，∵0＜x＜3，∴，解得：﹣2≤a≤1，∴0＜a≤I，当a＜0时，二次函数图象开口向下，∵对称轴x＝，当0＜＜3，即_2＜a＜0时，二次函数图象在顶点处取得最大值，∴﹣＜2解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，当≤0，即a≤﹣2，由题意可知，a2＋a≤2，解得：﹣2≤a≤1，即a＝﹣2，综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如图1，作BE⊥x轴，∴△AOB是等腰直角三角形，∴BE=OE=eq\f(1,2)AB=1，∴A(﹣1，1)，B(1，1)，∴A，B两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1，∵抛物线y=ax2(a＞0)过A，B，∴a=1，∴抛物线y=x2，(2)如图2，作BN⊥x轴，作AM⊥x轴，∴∠AOB=AMO=∠BNO=90°，∴∠MAO=∠BON，∴△AMO∽△ONB，∴，∴AM×BN=OM×ON，设A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，∴AM=y1=x12，BN=y2=x22，OM=﹣x1，ON=x2，∴x12×x22=﹣x1×x2，∴x1×x2=﹣1，∴A，B两点横坐标的乘积是一个定值；(3)由(2)得，A，B两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B的横坐标为eq\f(1,2)，∴点A的横坐标为﹣2，∵A，B在抛物线上，∴A(﹣2，4)，B(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))，∴直线AB解析式为y=﹣eq\f(3,2)x﹣1，∴P(eq\f(2,3)，0)，D(0，1)设Q(n，0)，∴DP2=1eq\f(4,9)，PQ2=(n﹣eq\f(2,3))2，DQ2=n2﹣1∵△QDP为等腰三角形，∴①DP=PQ，∴DP2=PQ2，∴1eq\f(4,9)=(n﹣eq\f(2,3))2，∴Q1(eq\f(2,3)+eq\f(1,3)eq\r(13)，0)，Q2(eq\f(2,3)﹣eq\f(1,3)eq\r(13)，0)②DP=DQ，∴DP2=DQ2，∴1eq\f(4,9)=n2﹣1，∴n=eq\f(2,3)(舍)或n=﹣eq\f(2,3)，Q3(﹣eq\f(2,3)，0)③PQ=DQ，∴PQ2=DQ2，∴(n﹣eq\f(2,3))2=n2﹣1∴n=﹣eq\f(5,12)，∴Q4(﹣eq\f(5,12)，0)，∴存在点Q坐标为Q1(eq\f(2,3)+eq\f(1,3)eq\r(13)，0)，Q2(eq\f(2,3)﹣eq\f(1,3)eq\r(13)，0)，Q3(﹣eq\f(2,3)，0)，Q4(﹣eq\f(5,12)，0)，LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把点B(6，0)和点C(0，﹣3)代入y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2﹣eq\f(5,2)x﹣3；(2)设直线BC的解析式为：y＝ax＋n，由点B(6，0)和C(0，﹣3)得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝eq\f(1,2)x﹣3，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为(m，eq\f(1,2)m2﹣eq\f(5,2)m﹣3)，PH∥y轴，∴点H的坐标为(m，eq\f(1,2)m﹣3)，∴PH＝yH﹣yP＝eq\f(1,2)m﹣3﹣(eq\f(1,2)m2﹣eq\f(5,2)m﹣3)＝﹣eq\f(1,2)m2＋3m，xB﹣xC＝6﹣0＝6，∵S△PBC＝eq\f(1,2)PH×6＝eq\f(1,2)(﹣eq\f(1,2)m2＋3m)×6＝﹣eq\f(3,2)m2＋9m＝eq\f(15,2)，解得：m1＝1，m2＝5，∴m值为1或5；(3)如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M(x，0)，①当∠CED＝∠BDM＝90°，∴CE∥AB，∵C(0，﹣3)，∴点E的纵坐标为﹣3，∵点E在抛物线上，∴eq\f(1,2)x2﹣eq\f(5,2)x﹣3＝﹣3．∴x＝0(舍)或x＝5，∴M(5，0)；②当∠DCE＝∠DMB＝90°，∵OB＝6，OC＝3，∴BC＝3eq\r(5)，由(2)知直线BC的关系式为y＝eq\f(1,2)x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣eq\f(1,2)x，由(2)同理得ED＝﹣eq\f(1,2)x2＋3x，∵DM∥OC，∴，即，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝eq\r(5)﹣eq\f(\r(5),2)x，∵△ECD∽△BMD，∴，即＝，∴＝x(3﹣x)2，x(6﹣x)(1﹣x)＝0，x1＝0(舍)，x2＝6(舍)，x3＝1，∴M(1，0)；综上所述：点M的坐标为(5，0)或(1，0)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵原抛物线与x轴的交点为A(﹣3，0)和B∴点A、B关于对称轴：直线x＝1对称∴点B坐标(5，0)∴原抛物线解析式为y＝eq\f(1,4)(x＋3)(x﹣5)＝eq\f(1,4)x2﹣eq\f(1,2)x﹣eq\f(15,4)(2)证明：∵y＝eq\f(1,4)x2﹣eq\f(1,2)x﹣eq\f(15,4)＝eq\f(1,4)(x﹣1)2﹣4∴M(1，﹣4)设直线AM解析式为y＝kx＋a∴解得：∴直线AM解析式为y＝﹣x﹣3∵点A绕点B逆时针方向旋转90°得点A1∴A1B＝AB＝5﹣(﹣3)＝8，∠ABA1＝90°∴A1B⊥x轴，即xA1＝xB＝5∴A1(5，﹣8)当x＝5时，y＝﹣x﹣3＝﹣5﹣3＝﹣8∴点A1在直线AM上∴A，M，A1三点在同一直线上(3)设原抛物线上的点E经旋转后为新抛物线上的点P，P在抛物线上DM1之间，如图1，连接BE、BP、DM1，过点E作EG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，交DM1于点Q∴∠EBP＝∠EGB＝∠BHP＝90°，BE＝BP∴∠EBG＋∠HBP＝∠EBG＋∠GEB＝90°∴∠HBP＝∠GEB在△BEG与△PBH中∴△BEG≌△PBH(AAS)∴EG＝BH，BG＝PH设P(s，t)(s≥0，t＜0)∴BG＝PH＝﹣t，EG＝BH＝|s﹣5|∴xE＝5﹣(﹣t)＝5＋t当s≤5时，EG＝BH＝5﹣s，点E在x轴上方∴yE＝5﹣s当s＞5时，EG＝BH＝s﹣5，点E在x轴下方∴yE＝﹣(s﹣5)＝5﹣s∴点E(5＋t，5﹣s)在原抛物线上∴eq\f(1,4)(5＋t)2﹣eq\f(1,2)(5＋t)﹣eq\f(15,4)＝5﹣s，整理得：s＝﹣eq\f(1,4)t2﹣2t＋5当s＝0时，﹣eq\f(1,4)t2﹣2t＋5＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣10∴D(0，﹣10)∵M(1，﹣4)即解得：即点M1(9，﹣4)∴MM1∥x轴，MM1＝8，0≤s≤9，﹣10≤t≤﹣4∴直线DM1解析式为y＝eq\f(2,3)x﹣10∴Q(s，eq\f(2,3)s﹣10)∴PQ＝eq\f(2,3)s﹣10﹣t＝eq\f(2,3)(﹣eq\f(1,4)t2﹣2t＋5)﹣10﹣t＝﹣eq\f(1,6)t2﹣eq\f(7,3)t﹣eq\f(20,3)∴S四边形PM1MD＝S△M1MD＋S△PM1D＝eq\f(1,2)M1M•(yM﹣yD)＋eq\f(1,2)PQ•(xM1﹣xD)＝eq\f(1,2)×8×6＋eq\f(9,2)(﹣eq\f(1,6)t2﹣eq\f(7,3)t﹣eq\f(20,3))＝﹣eq\f(3,4)t2﹣eq\f(21,2)t﹣6＝﹣eq\f(3,4)(t＋7)2＋∴当t＝﹣7时，Smax＝∴s＝﹣eq\f(1,4)t2﹣2t＋5＝﹣eq\f(1,4)×49﹣2×(﹣7)＋5＝eq\f(27,4)∴点P坐标为(eq\f(27,4)，﹣7)使四边形PM1MD的面积最大，最大值为．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把B(3，0)，C(0，3)代入y=﹣x2+bx+c，得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；(2)S有最大值.理由如下：∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴M(1，4)，设直线BM的解析式为y=kx+n，把B(3，0)，M(1，4)代入得，解得，∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6，设OD=m，∴P(m，﹣2m+6)(1≤m＜3)，∴S=eq\f(1,2)•m•(﹣2m+6)=﹣m2+3m=﹣(m﹣eq\f(3,2))2+eq\f(9,4)，∵1≤m＜3，∴当m=eq\f(3,2)时，S有最大值，最大值为eq\f(9,4)；(3)存在.∠PDC不可能为90°；当∠DPC=90°时，则PD=OC=3，即﹣2m+6=3，解得m=eq\f(3,2)，此时P点坐标为(eq\f(3,2)，3)，当∠PCD=90°时，则PC2+CD2=PD2，即m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2，整理得m2+6m﹣9=0，解得m1=﹣3﹣3eq\r(2)(舍去)，m2=﹣3+3eq\r(2)，当m=﹣3+3eq\r(2)时，y=﹣2m+6=6﹣6eq\r(2)+6=12﹣6eq\r(2)，此时P点坐标为(﹣3+3eq\r(2)，12﹣6eq\r(2))，综上所述，当P点坐标为(eq\f(3,2)，3)或(﹣3+3eq\r(2)，12﹣6eq\r(2))时，△PCD为直角三角形.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)令y=2eq\r(3)，2eq\r(3)=eq\r(3)x﹣2eq\r(3)，解得x=4，则OA=4﹣3=1，∴C(4，2eq\r(3))，D(1，2eq\r(3))；(2)由二次函数对称性得，顶点横坐标为eq\f(5,2)，令x=eq\f(5,2)，则y=eq\r(3)×eq\f(5,2)﹣2eq\r(3)=eq\f(\r(3),2)，∴顶点坐标为(eq\f(5,2)，eq\f(\r(3),2))，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣eq\f(5,2))2＋eq\f(\r(3),2)，把点D(1，2eq\r(3))代入得，a=eq\f(2\r(3),3)，∴解析式为y=eq\f(2\r(3),3)(x﹣eq\f(5,2))2＋eq\f(\r(3),2)；(3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E(m，eq\r(3)m﹣2eq\r(3))(m＞0)∴可设解析式为y=eq\f(2\r(3),3)(x﹣m)2＋eq\r(3)m﹣2eq\r(3)，当FG=EG时，FG=EG=2m，则F(0，2m﹣2eq\r(3))，代入解析式得：eq\f(2\r(3),3)m2＋eq\r(3)m﹣2eq\r(3)=2m﹣2eq\r(3)，得m=0(舍去)，m=eq\r(3)﹣eq\f(3,2)，此时所求的解析式为：y=eq\f(2\r(3),3)(x﹣eq\r(3)＋eq\f(3,2))2＋3﹣eq\f(7,2)eq\r(3)；当GE=EF时，FG=2eq\r(3)m，则F(0，2eq\r(3)m﹣2eq\r(3))，代入解析式得：eq\f(2\r(3),3)m2＋eq\r(3)m﹣2eq\r(3)=2eq\r(3)m﹣2eq\r(3)，解得m=0(舍去)，m=eq\f(3,2)，此时所求的解析式为：y=eq\f(2\r(3),3)(x﹣eq\f(3,2))2﹣eq\f(\r(3),2)；③当FG=FE时，不存在．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线的表达式为SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0后，得到△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0的面积为7．(3)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将原抛物线沿SKIPIF1<0轴向下平移2个单位过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平移后得抛物线解析式为：SKIPIF1<0；①若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方时，作SKIPIF1<0轴，交抛物线于SKIPIF1<0点，易证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于抛物线SKIPIF1<0的对称轴直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0；②若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴下方时，