不等式的性质讲义-高一上学期数学人教A版

不等式的性质一、考点梳理1、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正2、倒数和分数的性质（1）倒数的性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).（2）有关分数的性质若a>b>0，m>0，则：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3、作差法比较大小作差法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－b<0⇔a<ba，b∈R.))二、例题讲解考点一：不等式的性质判断命题的真假例1.（2023春•朝阳区校级期中）若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣b＞b﹣c B．a+b＞2c C．ac＞bc D．a2＞b2＞c2【答案】B【解答】解：对于A，当a＝1，b＝0，c＝﹣1时，a﹣b＝b﹣c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c，∴a＞c，b＞c，∴由不等式的可加性可得，a+b＞2c，故B正确，对于C，当c＝0时，ac＝bc，故C错误，对于D，当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，满足a＞b＞c，但a2＜b2＜c2，故B错误．故选：B．变式练习：1.（2023秋•广东期中）（多选题）对于实数，b，c，下列命题是真命题的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值c=0即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，所以.故A正确；对于B：因为，所以，所以.对两边同乘以得到：.故B正确.对于C：因为，所以，对两边同乘以得到：，所以.同理可证：.所以.故C正确.对于D：取c=0，则.故D错误.故选：ABC2.（2023春•秦皇岛期末）已知a＞b＞0，c＞0，则（）A． B． C．a2c＞ac2 D．b2c＞bc2【答案】B【解答】解：对于A，若a＝2，b＝1，c＝1，则，因为，所以，所以A错误，对于B，因为a＞b＞0，所以a﹣b＞0，因为c＞0，所以，所以B正确．对于C，若a＝2，c＝5，则a2c＝20＜ac2＝50，所以C错误，对于D，若b＝1，c＝2，则b2c＝2＜bc2＝4，所以D错误．故选：B．3.（2023春•广西月考）下列命题为真命题的是（）A．若a＜b＜0，则ac2＜bc2 B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b＞c＞0，则【答案】D【解答】解：对于A：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；对于B：当a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，B错误；对于C：取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3满足a＞b，c＞d，而ac＝﹣4，bd＝﹣3，此时ac＜bd，C错误；对于D：当a＞b＞0时，则ab＞0，所以，即，又c＞0，所以，D正确．故选：D．考点二：比较两个数的大小例1.（2023秋•深圳月考）设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.【详解】，，，，.又，故.则.故选：C.例2.已知M＝（a+2）（a+3），N＝a2+5a+4，则（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定【答案】A【解答】解：∵M﹣N＝（a+2）（a+3）﹣（a2+5a+4）＝a2+5a+6﹣（a2+5a+4）＝2＞0，∴M＞N，故选：A．变式练习：1.（2023春•大通县期末）已知a＝+2，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定【答案】A【解答】解：因为60＞48，即，所以，所以，所以a＞b．故选：A．2.（2023春•香坊区校级月考）已知t＝a+4b，s＝a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t≤s B．t≥s C．t＜s D．t＞s【答案】A【解答】解：因为t＝a+4b，s＝a+b2+4，所以s﹣t＝b2+4﹣4b＝（b﹣2）2≥0，所以s≥t．故选：A．考点三：由不等式的性质求代数式的范围例1.（2023春•雁塔区校级月考）若﹣1≤x≤y≤1，则x﹣y的取值范围为（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．（0，2] D．（﹣2，2）【答案】B【解答】解：根据题意，若﹣1≤x≤y≤1，即，则有﹣2≤x﹣y≤0，即x﹣y的取值范围为[﹣2，0]．故选：B．例2.（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意可得，因为，所以，故，即的取值范围是变式练习：1.（2023秋·河北张家口月考）已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以又，所以，所以的取值范围是，故选：A.2.（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，且，所以，所以，所以的取值范围是3.（2023春•雁塔区校级月考）若﹣1≤x≤y≤1，则x﹣y的取值范围为（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．（0，2] D．（﹣2，2）【答案】B【解答】解：根据题意，若﹣1≤x≤y≤1，即，则有﹣2≤x﹣y≤0，即x﹣y的取值范围为[﹣2，0]．故选：B．4.（2023秋•惠州月考）已知1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，则5a+b的取值范围为（）A．[15，31] B．[14，35] C．[12，30] D．[11，27]【答案】D【解答】解：1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，所以2≤2（a﹣b）≤6，9≤3（a+b）≤21，则5a+b＝2（a﹣b）+3（a+b）∈[11，27]．故选：D．5.（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意可得，因为，所以，故，即的取值范围是巩固练习1.（2023秋·河北衡水·高一月考）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则．【答案】C【分析】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分三种情况讨论即可判断大小.【详解】A选项，，故A错误；B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误；C选项，当时，；当时，，当时，，综上，故C正确；D选项，，故D错误.故选：C2.（2022秋·福建·高一统考期末）下列说法中，错误的是（

）A．若，则一定有 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.【详解】对于A，若，则，故A错误.对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.对于C，，因为，所以，所以.故C正确.对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.故选：A.3.（2023秋·云南红河·高一期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误；对于B，取，则，故错误；对于C，由，得，所以，故错误；对于D，由，得，所以，故正确.故选：D.4.（2023秋·云南红河·高一统考期末）（多选）下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【解析】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；对于C选项，当时，，所以C错误；对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.故选：AD．5.（2022秋·广东东莞·高一期中）比较两个数﹣与2﹣大小：_____﹣＜2﹣．【答案】见试题解答内容【解答】证明：要证明：﹣＜2﹣．只需证明+＜2+，只需证明（+）2＜（2+）2，只需证明3+2+7＜4+4+6，只需证明＜2，只需证明21＜24，这是显然成立的，得证，﹣＜2﹣．6.（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，M=2a(a−2)，N=(a+1)(a−3)，则M，N的大小关系是（

）A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N【答案】A【分析】用作差法结合配方法比较大小．【详解】M−N=2aa−2−a+1故选：A．7.（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【分析】应用作商法比较xy【详解】由题设，易知x，y＞0，又xy∴x＜y.故选：C.8.（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知、，比较与的大小.【答案】答案见解析【解析】当时，，，则；当时，，则当时，，，则.综上所述，当时，；当时，；当时，.9.（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知−1<a<1，2<b<3，则2a−3b的取值范围是．【答案】−11<2a−3b<−4【分析】由不等式的基本性质求解即可【详解】解：−1<a<1，2<b<3，则−2<2a<2，−9<−3b<−6，故由不等式的可加性可知，−11<2a−3b<