第08讲抛物线及其性质（解析卷）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）第08讲抛物线及其性质考试要求掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上.提醒定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.2.抛物线的标准方程和简单几何性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程顶点范围，，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB的倾斜角，则：（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）｜AF｜＝p1−cosα，｜BF｜＝（3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2p（4）1|AF|＋1（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；（6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切；（7）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p（通径）.1、下列结论正确的是()A平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．B方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．C抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．D以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y【答案】D2.抛物线y＝2x2的准线方程为 （）A.y＝－18B.y＝－C.y＝－12 D.y＝－解析：A由y＝2x2，得x2＝12y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－13.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是.

解析：可知双曲线的焦点为（－2，0），（2，0）.设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0），则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x答案：y2＝±42x4.顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程是.

解析：设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，3），解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝答案：y2＝－92x或x2＝4考点一抛物线的定义及应用角度1求轨迹方程例1已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是 （）A.y2＝4x B.y2＝－4xC.y2＝8x D.y2＝－8x解析设P点坐标为（x，y），C（2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，｜PC｜＝1＋r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离d＝x＋1＝r，所以｜PC｜－d＝1，即(x-2)2+y2－（x＋1）＝1，化简得y2答案C求轨迹问题的两种方法（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程；（2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.【对点演练1】已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.故选：A.【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）若点满足方程，则点P的轨迹是．【答案】抛物线【详解】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．【答案】或．【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．∴抛物线的方程为，又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，∴M点的轨迹方程为②．综上，得动点M的轨迹方程为或．角度2焦半径问题例2(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)答案B解析方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设A，则由抛物线的定义可知|AF|＝eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．不妨取A(1,2)，则|AB|＝eq\r(1－32＋2－02)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).方法二由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝eq\r(22＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).【对点演练1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.【对点演练2】（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.【对点演练3】【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.角度3距离问题例3（1）若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为；

（2）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为；

（3）已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为.

解析（1）如图，因为y2＝－4x，所以p＝2，焦点坐标为（－1，0）.依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－14，则点P的坐标为-（2）如图，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（－1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1-(-1)]2+(0−1（3）由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则｜MM1｜＝|AA1|+|BB1|2.因为｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜（F为抛物线的焦点），即｜AF｜＋｜BF｜≥6，所以｜AA1｜＋｜BB1｜≥6，2｜MM1｜≥6，｜MM1｜≥3，故点M到答案（1）-14,1（2）5（与抛物线有关的最值问题的求解策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.【对点演练1】若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是 （）A.2 B.135C.145 D解析：A由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F（1，0）到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3+7|32+【对点演练2】已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则｜AC｜＋｜BD｜的最小值为.

解析：由题意知F（1，0），｜AC｜＋｜BD｜＝｜AF｜＋｜FB｜－2＝｜AB｜－2，即｜AC｜＋｜BD｜取得最小值时当且仅当｜AB｜取得最小值.依抛物线定义知，当｜AB｜为通径，即｜AB｜＝2p＝4时为最小值，所以｜AC｜＋｜BD｜的最小值为2.答案：2【对点演练3】已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.【对点演练4】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为．【答案】2【解析】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以，，当且仅当三点共线时等号成立，且点在线段上，所以，又，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，又，所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为2，故答案为：2考点二抛物线的方程及几何性质例4（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是________________________．【答案】y2＝－x或x2＝－8y【解析】若焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx，将点P(－4，－2)代入，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny，将点P(－4，－2)代入，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－8y.（2）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1【答案】A【解析】直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.（3）(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝eq\r(2)|PF|，则y0＝________，p＝________.【答案】24【解析】作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝eq\r(2)|PF|，∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝eq\f(|PM|,|PK|)＝eq\f(|PF|,|PK|)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(py0＝8，,y0＋\f(p,2)＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝4，,y0＝2.))【对点演练1】（多选）（2023春·广东湛江·高二统考期末）对于抛物线上，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为【答案】AC【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．故选：AC【对点演练2】抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该三角形的边长为______．【答案】4EQ\R(,3)【解析】由题意可知，点A，B关于x轴对称，且满足∠AOx＝30°，假设点A在第一象限，且设等边三角形的边长为m，则点A(EQ\F(\R(,3),2)m，EQ\F(1,2)m)，代入到抛物线的方程，可解得m＝4EQ\R(,3)，即等边三角形的边长为4EQ\R(,3)．【对点演练3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为．【答案】【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，所以设抛物线方程为，将点代入可得，所以此抛物线的标准方程为．故答案为：．考点三直线与抛物线的位置关系例5（1）（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于9，则．【答案】【详解】因为抛物线M：，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线准线方程为，设，，，则，所以点P到M的准线的距离为，所以，由抛物线定义知：，，则故答案为：．（2）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求l的方程；（2）若AP＝3PB，求｜AB｜.解设直线l：y＝32x＋t，A（x1，y1），B（x2，y2（1）由题设得F34,0，故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋又｜AF｜＋｜BF｜＝4，所以x1＋x2＝52由y=32x+t,y2=3x,可得9x2＋12（则x1＋x2＝－12(t从而－12(t-1)9＝52，得所以l的方程为y＝32x－7（2）由AP＝3PB可得y1＝－3y2.由y=32x+t,y2=3x,所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13即A（3，3），B13,-1.故｜AB｜＝求解直线与抛物线综合问题的方法（1）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p（焦点在x轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式.【对点演练1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为3，则.【答案】10【详解】根据抛物线的定义可得，又，所以.故答案为：10.【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为．【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则，故的面积.【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C【对点演练4】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【解析】(1)由已知，得抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2.因为yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)(x1＋x2)＋\f(p2,4)).因为x1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝AB－p，所以eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)＝eq\f(AB,\f(p2,4)＋\f(p,2)(AB－p)＋\f(p2,4))＝eq\f(2,p)(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D，过点M作准线l的垂线，垂足为N，则MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)＝eq\f(1,2)(AF＋BF)＝eq\f(1,2)AB，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．1.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点P（－1，－2），则该抛物线的焦点坐标为 （）A.（1，0）B.（2，0）C.（0，1） D.（0，2）解析：A因为抛物线的准线经过点P（－1，－2），则p2＝1，即p＝2，则该抛物线的焦点坐标为（1，0）.故选A2.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点.若｜AB｜＝9，则抛物线C的方程为 （）A.x2＝3y B.x2＝12yC.x2＝92y D.x2＝1解析：C由已知得直线AB的方程为y＝x＋p2，联立方程组y=x+p2,x2=2py消去x得y2－3py＋p24＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系知y1＋y2＝3p.因为｜AB｜＝9，所以y1＋y2＋p＝9，所以4p＝9，即p＝93.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若｜MF｜＋｜NF｜＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为 （）A.3 B.3C.5 D.5解析：B由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M'，N'，根据抛物线的定义得｜MF｜＝｜MM'｜，｜NF｜＝｜NN'｜，所以｜MF｜＋｜NF｜＝｜MM'｜＋｜NN'｜，所以线段MN的中点到准线的距离为12（｜MF｜＋｜NF｜）＝52，所以线段MN的中点到y轴的距离为52－14.已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q（－3，3），则｜PQ｜＋d的最小值为 （）A.5 B.30＋1C.30－1 D.4解析：D∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F（1，0）.P到直线x＝－1的距离等于｜PF｜，∴P到y轴的距离d＝｜PF｜－1，∴d＋｜PQ｜＝｜PF｜＋｜PQ｜－1.∴当F，P，Q三点共线时，｜PF｜＋｜PQ｜取得最小值｜QF｜.∵Q（－3，3），F（1，0），∴｜QF｜＝5，∴d＋｜PQ｜的最小值为5－1＝4.故选D.5.（多选）已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则 （）A.｜AB｜＝8B.OA⊥OBC.△AOB的面积为22D.线段AB的中点到直线x＝0的距离为2解析：AC设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点坐标为（1，0），则直线y＝x－1过焦点.联立方程y=x-1,y2=4x,消去y得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确；y1y2＝（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝－4，由OA·OB＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线y＝x－1的距离为d＝|1|2＝12，所以△AOB的面积为S＝12×d×｜AB｜＝12×12×8＝22，故C正确；因为线段AB的中点到直线x6.（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是 （）A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.｜AB｜＝10解析：ACD由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；