异方差和自相关

第五章异方差与自相关问题

除了本章讨论所涉及的同方差性与不自相关性以外，关于线性回归模型的其它假定在本章中都成立。——异方差模型及其估计；——自相关模型及其估计；——广义最小平方估计；——异方差模型、自相关模型的预测。§5.1广义最小平方法

同方差且不自相关异方差或自相关正定（~）——（~）模型满足关于线性回归模型的全部基本假定，（~）模型的普通最小平方估计将给出系数的线性无偏最小方差估计。三个所谓协方差矩阵（ａ）OLS估计的协方差矩阵（ｂ）广义最小平方估计的协方差矩阵（ｃ）伪协方差矩阵§5.2异方差问题

（一）异方差概念不全相同

异方差概念理解（二）异方差的检测1.图示法设变量与有组观测值，2.等级相关检验等级相关系数

按照某种性能，同方向分别指定各观测值的等级：并由此产生等级变量与。与的线性相关系数，称为与的等级相关系数。

1.若变量与的观测值都没有重复数据，则它们的等级系数可以有如下计算公式若有变量有多个观测值相同，则相同的观测值必须赋以相同的等级，等级数取这些观测值所占等级的平均数。在这种情形下，应由定义直接计算等级相关检验（ｄ）近似服从自由度为的分布。根据显著性水平及自由度，查取分布临界值。如果，则判定模型存在单调形式的异方差，否则拒绝异方差。(ａ)完成模型的OLS估计，获取残差数据；

(ｂ)选择可能与异方差有关的解释变量，计算变量与变量的等级相关系数；(ｃ)计算统计量；3.检验

（ａ）选择可能与异方差有关的解释变量。先将的样本观测值由小到大进行排列，然后从这一排列的中心删去大约的观测值，并注意使剩余的两个子列具有相同数目（）的观测值。再对模型中的其余变量，以的观测值序号为准，进行相应的删与留，形成Ａ、Ｂ两个子样本；（ｂ）两个子样本分别进行OLS估计，获取两个残差平方和：（ｃ）构造统计量或（d）根据显著性水平，以及双自由度，查取分布临界值。若经比较，则接受模型存在单调形式的异方差，否则拒绝异方差。§5.3异方差模型的估计

（一）广义最小平方估计对于异方差模型的意义

对于与具有较小方差相应的残差，给以较大的权数，使其在确定回归函数时，起较为重要的作用。或者说使回归函数主要参照那些对应较小方差的样本点而被决定。（二）参数的估计散点图（）

取为函数中的可变部分：几种常见的可供参考的函数形式：（三）异方差模型的广义最小平方估计（四）异方差模型示例5.1

设Y表示商场利润总额，X表示商场销售收入。北京市20家最大的百货商店的销售资料,商场按照销售收入规模从大到小排序。残差图提示递增形式的异方差。商店名称利润总额（千万元）销售收入（千万元）OLS残差1.百货大楼12.8160.02.6352.城乡贸易中心8.9151.8-0.7183.西单商场4.1108.1-2.6014.蓝岛大厦2.8102.8-3.5475.燕莎友谊商城8.489.32.9546.东安集团长安商场4.368.70.2307.双安商场4.066.80.0578.赛特购物中心4.556.21.2649.西单购物中心3.155.7-0.10210.复兴商业城2.353.0-0.72211.贵友大厦4.149.31.32512.金伦商场2.043.0-0.35513.隆福大厦1.342.9-1.04814.友谊商业集团1.837.6-0.19415.天桥百货商场1.829.00.38016.百盛轻工发展公司1.427.40.08717.菜市口百货商场2.026.20.76718.地安门商场0.922.4-0.07919.新街口百货商场1.022.20.03420.星座商厦0.520.7-0.366例5.1异方差性的等级相关检验等级相关检验表明模型存在递增形式的异方差。例5.1异方差性的检验按照销售收入水平的排序，从中心删去第９-12号样本点，形成两个子样本A与B：检验表明模型存在递增形式的异方差。例5.1的广义最小平方估计试探性考虑异方差的形式，。经过若干次试验最后选取施实变换（~）模型的OLS估计结果：（-2.087）（6.636）例5.1的广义最小平方估计：

（-2.087）（6.636）广义最小平方估计的残差平方和：OLS估计的残差平方和：

§5.4自相关问题

（一）自相关概念正自相关，倾向于同方向变化；负自相关，倾向于反方向变化。自相关概念理解（二）一阶自回归形式的自相关

一阶自回归式的自相关将具有特点：间距较近的项，具有较强的相关性；相邻的两项正自相关性最强，最倾向于保持相同的符号；相邻的两项负自相关性最强，最倾向于保持相反的符号；（三）自相关检测

1.图示法散点图（）

2.D-W检验

正自相关不自相关负自相关

0dLdU24-dU

4-dL4D-W检验的局限性——样本容量不小于15——存在两个无结论区间３.连贯检验连贯：依次记录的符号，得到一个“+”、“－”的排列。排列中每一个“+”或“－”的连续序列，称之为一个连贯。自相关的连贯检验步骤如下：

（ａ）完成模型的OLS估计，获取残差数据；（ｂ）依次记录的符号。为“+”的个数，为“－”的个数，为连贯数；（ｃ）根据、，查取连贯界值表，得临界值、。若，则接受正自相关判断；若，则接受负自相关判断；若则否定自相关。§5.5自相关模型的估计

（一）广义最小平方法对于自相关模型的意义（二）参数的估计1.公式法：小样本模型大样本模型2.回归法：3.Durbin两步法：（三）自相关模型的广义最小平方估计

（四）自相关模型的广义差分法估计

（a）OLS估计，获取残差；（ｂ）由回归法计算；（ｃ）实施广义差分变换：（ｄ）（*）模型进行OLS估计；

（ｅ）（*）模型的OLS估计残差，返回（b）求得第二轮；以上过程直到D-W通过或呈现出收敛趋势时为止。（五）例5.2（ａ）例5.2的广义最小平方估计公式法求得:（~）模型的OLS估计结果：

例5.2的广义最小平方估计：

拟合程度比较：广义差分变换模型的OLS估计结果：（b）例5.2的广义差分估计例5.2的