2024年中考考前押题数学必刷卷（盐城卷）（含答案解析）

2024年中考考前押题必刷（盐城卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．我国的珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m，可记为+8848.86m，吐鲁番盆地大部分地面低于海平面500m，应记为（）A．500mB．﹣500mC．8348.86mD．﹣8348.86m2．已知点A在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（）A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处4．《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为进制，则九十合等于（）A．9×102圭 B．9×103圭 C．9×104圭 D．9×105圭5．如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（）A． B． C． D．6．现有3cm，6cm，9cm，10cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（）A．62° B．48° C．58° D．72°8．由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（）A．B． C．D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．因式分解：2mn2﹣4m2n＝_________．10．小明抛掷一枚硬币20次，正面朝上的频率是0.4，则正面朝上的频数是_________．11．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是_________．12．如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为_________．13．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝16cm，AC＝10cm，则DF＝_________cm．14．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为_________．15．如图，把一个含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，已知BC＝2，则在旋转过程中点A经过的路径长为_________．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB，∠B＝90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与AB交于点C，连接OC，若BC＝2AC，△OBC的面积为6三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（2）﹣1-918．（6分）解不等式x219．（8分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．20．（8分）某中学在“世界读书日”开展“爱读书，会读书，读好书”知识竞赛，300名七年级学生全部参赛，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：已知C组的全部数据如下：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79．请根据以上信息，完成下列问题．（1）n＝_________，若将抽取的n名学生竞赛成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为°；（2）抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是_________；（3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．21．（8分）先阅读材料：已知不论x取什么值，等式a（x﹣2）﹣2x+5＝1都成立，求a的值．解：因为不论x取什么值，等式a（x﹣2）﹣2x+5＝1都成立，所以不妨取x＝0，得a（0﹣2）﹣2×0+5＝1．所以a＝2．根据上述提供的方法，解决下列问题：（1）已知不论x取什么值，等式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0都成立．求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值：（2）已知不论x取什么值（1、﹣2除外），等式4x+5(x-1)(x+2)=Ax-1+22．（10分）四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：（1）求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率；（2）在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率．23．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上的点，BE＝DF．（1）尺规作图：作∠BFC的平分线FH交BC于点H．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠AEB＝110°，求∠CFH的度数．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．（1）判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ACE=13，OE＝3，求25．（10分）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．（1）求7、8月各购进口罩多少盒？（2）已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b＞0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①若a+b＝30，求a、b的值．②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．26．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是_________；（2）如图②，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．27．（14分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．【问题引入】（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；【探索发现】（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．B【分析】正数和负数是一对具有相反意义的量，据此即可求得答案．【解答】解：∵高于海平面8848.86m，可记为+8848.86m，∴低于海平面500m，应记为﹣500m，故选：B．【点评】本题考查正数和负数的意义，充分理解其意义是解题的关键．2．B【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点A在第二象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，∴点A的横坐标是﹣2，纵坐标是3，∴点A的坐标为（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键。3．A【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：当放入白子的位置在点M处时，是中心对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．4．D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：九十合＝90×10×10×10×10圭＝900000圭＝9×105圭．故选：D．【点评】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．5．C【分析】从左侧看几何体所得到的图形就是该几何体的左视图，从左侧看到的是两列两层，其中左侧的一列是两层，因此选项C符合题意．【解答】解：从左侧看到的是两列两层，其中左侧的一列是两层，因此选项C的图形符合题意，故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图，明确三种视图的形状和大小是正确判断的前提．6．B【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【解答】解：四条木棒的所有组合：3，6，9和3，6，10和3，9，10和6，9，10；只有3，9，10和6，9，10能组成三角形．故选：B．【点评】考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．7．B【分析】先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．【解答】解：∵DE∥AF，∠CAF＝42°，∴∠CED＝∠CAF＝42°，∵∠DCE＝90°，∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠DCE＝180°﹣42°﹣90°＝48°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．8．B【分析】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．【点评】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．2mn（n﹣2m）【分析】利用提公因式法分解即可．【解答】解：2mn2﹣4m2n＝2mn（n﹣2m），故答案为：2mn（n﹣2m）．【点评】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法，并根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．10．8【分析】频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率＝频数÷总数．据此解答即可．【解答】解：∵抛掷一枚硬币20次，正面朝上的频率是0.4，∴正面朝上的频数是20×0.4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了频数和频率，熟练运用频率公式计算是解题的关键．11．5【分析】设每个小正方形的边长为1，则大正方形的面积为16，计算空白部分的面积，再用大正方形的面积减去空白部分的面积，求出△ABC的面积，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则大正方形的面积为16，△ABC的面积为：16-12故落在△ABC内部的概率是516故答案为：516．【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn且0≤P（A）12．52【分析】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣7×小长方形的面积，即可求出结论．【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，根据题意得：a+3b=16a+b-3b=6解得：a=10b=2∴16（6+3b）﹣7ab＝16×（6+3×2）﹣7×10×2＝52，∴阴影部分面积为52．故答案为：52．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．3【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形即可求出DF．【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=12×16在Rt△AFC中，点E是AC的中点，∴FE=12AC=12×10∴DF＝DE﹣EF＝3（cm），故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解决问题的关键．14．5米【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝30°，再由锐角三角函数定义求出AG＝2米，即可求解．【解答】解：如图，过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，∴OA＝4米，∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°，∴∠AOE＝30°，在Rt△AOG中，AG＝AO•sin30°＝4×12∴点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米），故答案为：5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．15．3π【分析】利用直角三角形30°的性质求出AB＝4，再利用勾股定理求出CA，利用弧长公式求解即可．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴AC=AB2∴点A经过的路径长=90π⋅23故答案为：3π．【点评】本题考查直角三角形30°角的性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是记住弧长l=nπr16．5【分析】分别过B，C两点作BD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E，证明△ACE∽△ABD，可得BD＝3CE，利用等腰直角三角形的性质设OA＝a，则BD＝OD=12a，结合三角形的面积可求得a值，即可求得CE的长及A，B两点坐标，再利用待定系数法可求得直线AB的解析式，即可求出C点坐标，再将C点代入反比例函数关系式可求得【解答】解：分别过B，C两点作BD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD，∴CEBD∵BC＝2AC，∴ACAB∴CEBD即BD＝3CE，在等腰Rt△OAB，∠B＝90°，∴OB＝AB，∴BD＝OD=12设OA＝a，则BD＝OD=12∵BC＝2AC，S△OBC＝6，∴S△OAB=32S△OBC＝∴12解得a＝6，a＝﹣6（舍去），∴OA＝6，BD＝OD＝3，CE＝1，∴A（6，0），B（3，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则6k+b=03k+b=3解得k=-1b=6∴y＝﹣x+6，当y＝1时，﹣x+6＝1，解得x＝5，即OE＝5，∴C（5，1），将C（5，1）代入y=kk＝5×1＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查待定系数法求解反比例函数关系式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求解一次函数关系式等知识的综合运用，求解C点坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．-3【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（2）﹣1-＝﹣1-22+＝﹣3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵x2∴3x+2（x+1）≥12，3x+2x+2≥12，3x+2x≥12﹣2，5x≥10，则x≥2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．16【分析】先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可．【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y）原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy＝4x2+3y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝4×（﹣1）2+3×22＝4+12＝16．【点评】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．20．（1）n＝50，若将抽取的n名学生竞赛成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为108°；（2）抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是77.5；（3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．【分析】（1）根据“各组频数之和等于样本容量”即可求出n的值，求出D组人数占抽查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（2）根据中位数的定义进行计算即可；（3）求出样本中获得“小书虫”称号的学生人数占抽查人数的百分比，进而求出总体中获得“小书虫”的学生人数．【解答】解：（1）n＝6+10+11+15+8＝50，360°×1550故答案为：50，108；（2）将这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为77+782=77.5（分），因此中位数是故答案为：77.5；（3）300×15+850答：该校七年级300名被授予“小书虫”称号的学生数大约为138名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数21．【分析】（1）根据材料，取x＝1代入可解答；（2）根据材料，分别取x＝0和2，代入可解答．【解答】解：（1）因为不论x取什么值，等式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0都成立．所以不妨取x＝1，代入原式得：（2×1﹣1）5＝a5+a4+a3+a2+a1+a0，∴a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1；（2）不妨取x＝0和2，分别代入原式得：A+B4=13【点评】此题是材料问题，认真阅读，理解并运用，运用类比的方法解答恒等式问题，根据系数的特点，适当运用x的特殊值可以解决系数前的符号问题．22．【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字同时为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字同时为偶数的结果有4种，∴两次摸到的球上数字同时为偶数的概率为416（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为412【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）得到FH；（2）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，再利用平行线的性质得到∠ABE＝∠CDF，则利用“SAS”可判断△ABE≌△CDF，从而得到∠AEB＝∠CFD＝110°，接着根据邻补角的定义得到∠BFC＝70°，然后根据角平分线的定义求解．【解答】解：（1）如图，FH为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠CFD＝110°，∴∠BFC＝180°﹣∠CFD＝70°，∵FH平分∠BFC，∴∠CFH=12∠BFC＝【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．24．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及等量代换得出∠AED+∠D＝90°，即∠DAE＝90°，也就是AD⊥AE，进而得出结论；（2）根据锐角三角函数设AE＝a，表示AC、BC、AB，在Rt△ABC中由勾股定理列方程求解即可．【解答】解：（1）AD是⊙O的切线，理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACE+∠BCE＝90°，∵AD＝AC，BE＝BC，∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED+∠D＝90°，∴∠DAE＝90°，即AD⊥AE，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）由tan∠ACE=13=tan∠D可设AE＝a，则AD＝3a∵OE＝3，∴OA＝a+3，AB＝2a+6，∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝BC2+AC2，即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，解得a1＝0（舍去），a2＝2，∴BC＝a+6＝8．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是解决问题的前提．25．【分析】（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，利用单价＝总价÷数量，结合7，8月进价相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）①用含a（或b）的代数式表示出原价部分总利润及优惠部分总利润，结合两店的销售利润相同以及a+b＝30，即可得出结论；②利用总利润＝每件的销售利润×销售数量﹣进价×赠送数量，得出关于a，n的二元一次方程，再由至少捐赠50盒口罩，得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，结合a，b，n均为自然数，且n≠0，即可得出结论．【解答】解：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，依题意得：2000x解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴2x+50＝2×100+50＝250．答：7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩．（2）①口罩的进价为2000÷100＝20（元），7月份两店分到的口罩100÷2＝50（盒）．依题意得：乙店原价部分的利润为（30﹣20）a＝10a（元），甲店优惠部分的总利润为（30×0.8﹣20）（50﹣a）＝4（50﹣a）元，乙店优惠部分的总利润为（30×0.9﹣20）b+（30×0.7﹣20）（50﹣a﹣b）＝（50+6b﹣a）（元）．∵两店的利润相同，∴4（50﹣a）＝50+6b﹣a，整理得：a+2b＝50，又∵a+b＝30，∴a＝10，b＝20；②8月乙店分到口罩250÷2＝125（盒）．依题意得：10a+4（50﹣a）+（30﹣20）n﹣20（125﹣n）＝100，∴n＝80-a∵125﹣n≥50，∴n≤75．又∵a，b，n均为自然数，且n≠0，∴a为10的整数倍，∴a=30b=10n=74或答：n的值为74或72．【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含a（b）的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．26．【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；（2）根据“梦之点”的定义可得：A（3，3），B（﹣3，﹣3），利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为C（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，由S△ABC＝S△AMC+S△MBC，即可求得答案；（3）设P（t，-12t2+t+92），由以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），∴矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“梦之点”，故答案为：M1，M2；（2）∵点A，B是抛物线y=-12x2+x+∴点A，B是直线y＝x上的点，∴y=xy=-解得：x1=3y∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），∵y=-12x2+x+92=-∴抛物线的顶点为C（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，设抛物线的对称轴交AB于M，则M（1，1），∴CM＝5﹣1＝4，∴S△ABC＝S△AMC+S△MBC=12•CM•（xA﹣xC）+12•CM•（xC=12•CM•（xA﹣x=12×4×[3﹣（﹣＝12；（3）存在，理由如下：设P（t，-12t2+t∵以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，∴AP＝BP，∴（t﹣3）2+（-12t2+t+92-3）2＝（t+3）2+（-12t2解得：t＝2±13，当t＝2-13时，-12t2+t+92=-12×当t＝2+13时，-12t2+t+92=-12×∴P点坐标为（2-13，13-2）或（2+13，【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．27．【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，进而证得△BEA≌△BEC（SAS），结合旋转的性质即可证得结论；选择图