【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量与平行关系

空间向量与平行关系

(45分钟100分)

一、选择题(每小题6分，共30分)

1.直线I的一个方向向量为n=(l,3,a),平面a的一个法向量为k=(b,2,3),若

/〃a,则a,b应满足的关系式为()

A.3a+b+6=0B.a=3bC.3a-b+6=0D.a=-3b

2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(l,2,4),b=(T,-2,m),若a/7b,则m

的值为()

A.4B.-4C.-2D.2

3.设a,b分别是不重合的直线h,〃的一个方向向量,则根据下列条件能判断IJ/

4的是()

①a=&l,0),b=(-2,-4,0);

②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);

③a=(5,0,2),b=(0,1,0);

@a=(-2,-l,l),b=(4,-2,-8).

A.①②B.②③C.③④D.①④

4.在正方体ABCD-ABCD中，若E1为AC的中点,E是AC的中点,则与CEi平行的

直线为()

A.ADB.ACC.EB)D.EA,

5.在正方体ABCD-ABCD中，棱长为a,M,N分别为

ABAC的中点,则MN与平面B.BCC.的位置关系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.不能确定

二、填空题（每小题8分，共24分）

6.（2013•济南高二检测）设平面a的一个法向量为⑶2,-1）,平面B的一个法向

量为（-2,-±,1＜）,若。〃6,则女等于

3-------------------

7.若直线I的一个方向向量为a=（3,2,-1）,直线m//1,则直线m的单位方向向量

为.

8.正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E为BBi的中点,F为AD的中点，以DA,DC,DD,

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面DEF的法向量是.

三、解答题（9题,10题14分,11题18分）

9.在正方体ABCD-ABCD中,AJ）的中点为E,BD的中点为F,证明：CD1〃EF.

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱AD,AB,DC,

BC的中点.

求证:平面AMN〃平面EFBD.

IL（能力挑战题）已知：四棱锥P-ABCD中,PAJ_平面ABCD,

底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,NABC=60°,BC,PD的中点

分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF〃平面

PCG?若存在，指出G在AB上的位置并给出证明；若不存在,

请说明理由.

答案解析

1.【解析】选A.a,.\n_Lk,即n•k=b+解3a=0,

3a+b+6=0.

2.【解析】选B.・.・a〃b,・・・a〃b，故m二一4.

3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件，可逐一验证，因此适用排除法.

【解析】选A.①a==b,二人〃/2,排除B,C,(Da=-2b,：.U//l,故选A.

4.2

【变式备选】设u,v分别是不同的平面a,B的一个法向量，根据下列条件能判

断a〃B的是.

①u二(-1,1,-2),v=(3,2,--)；

7

②u二(0,0,3),v=(0,0,-2);

③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).

【解析】判断两个法向量是否平行即可.

①•.•u=kv的k值不存在，...u与v不平行；

②11=一与，u〃v,a〃B;

③・「u=kv的k值不存在，...u与v不平行.

答案:②

4.【解析】选D.如图所示，建立直角坐标系Axyz,

设AB=1，则C(1,1,0),Ei(-,-,1),ACE=1).

77t77

又A(0,0,1),E(ii0),

EAi=D,故CE]〃EA],又CEi与EA,不重合，故选D.

77

5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系，可选Bi或

G为原点，求M,N的坐标是解题关键.

【解析】选B.以G为原点，以C]Bi，CiDi，gC所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

•e•N(-,a),

22

M(a,

22

而平面BBCG的一个法向量为n=(0,1,0),

AMN•n=0.又MN「平面BBCG,

，MN与平面BBCG平行.

6.【解析】：a〃B,•・.(3,2,-1)=入(-2,-士,k),

3

入入k=T,k=-.

73

答案

3

7.【解析】•*〃/,.■=(3,2,7)也是直线m的方向向量，又|a|二«ll,

所求的向量为土卫(3,2,7),即m的单位方向向量为(型，士，-任)或

1414714

(_314_V^4VI4)

14’7'14'

答案：(迎,包，3V14

~11±)或(->_迎,

1471414’7’14

8.【解析】根据题意得》(0,0,1),E(1,1「)产&0,0),

77

产e,0,-1),D7E=(1,1,--).

设平面D,EF的法向量是n=(x,y,z),则：

f---1

n*/9iF=-J.—N=0,=

一解得=_芭

n•I)\E=j.--\-y----2=0,2

取z=2k(kHO),贝Mx=4k,y=-3k,

An=(4k,-3k,2k)(kHO).

答案：(4k,一3k,2k)(kHO)

9.【证明】如图所示，建立直角坐标系Dxyz,设

AB=1,则C(0,1,0),^(0,0,1),

，(0,—1,1),又A】(1,0,1),D(0,0,0),

/.E(i0,-),又Fd；,O),

7777

.*.EF=(O,i-i).

-,.CD^EF,ACDi/ZEF,又TCJEF,故CD/EF.

10.【证明】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，分

别取MN,DB及EF的中点R,T,S,连结AR,ST,

则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,-,4),D(0,0,0),B(2,3,0),

E(0,4),F(1,3,4),R(-,-,4),S(-,4),T(1,-,0).

274.74.7

.*.MN=(1,-,0),EF=(1,-,0),

AR=(--,4),TS=(--,4).

74.74.

.••MN=EF,AR=TS,

又MN与EF,AR与TS不共线,

...MN〃EF,AR〃TS.

，MN〃平面EFBD,AR〃平面EFBD,

又MNu平面AMN,ARu平面AMN,MNAAR=R,

，平面AMN〃平面EFBD.

方法二：建系同方法一，

由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,-,4),

7

D(0,0,0),E(0,4),F(1,3,4),

贝|局=(-1,0,4),东(0,三,4),DE=(0,-,4),DF=(1,3,4).

7?

设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为

ni-(Xi,yi,Zi),112=(X2,N2,Z2),

(ni-AM=O,,-^+4^=0,

则―.即3

(/?i-AN=0,1丁丁1+44=0,

令Xi=1，得Zi-yi—~

43

ni—(1,,

34

广,艺=0，即金2+*=0,

1〃2•DF=0,［彳2+3W+4之2=0，

令丫2二一1，得Z2二一，X2-

112—(-,—1,—),

78

nF-n2,即m〃n2,...平面AMN〃平面EFBD.

3

11.【解题指南】逆向推理是解决证明问题的关键，在证明中结合目标逆向寻求

解题思路，充分利用棱柱、棱锥中的三角形、四边形(正方形、长方形、菱形)的

性质特征找到垂直关系与平行关系，可以有效地对问题进行转化，忽视平面图形

的性质，会使解题无从入手.

【解析】由题意知PA_L平面ABCD,又因为底面ABCD是菱形，得AB=BC且NABC二

60°，所以4ABC是正三角形，连接AE,又E是BC的中点，.'.BCLAE,故AE,AD,AP

彼此两两垂直，以AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

PA二