2023年山西省晋城市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年山西省晋城市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.已知直线m在平面a内，1为该平面外一条直线，设甲：l〃a；乙.1

//m,贝（］（）

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

2.在aABC中，ZC=30°,贝（JcosAcosB-sinAsinB值等于（）

A.A.1/2B.A/3/2C.-1/2D.-V3/2

3.下列成立的式子是（）

A.0.801<logsO.8

01

B.0.8>08。2

C.log30.8<log40.8

D.3°1<3°

4.下列四个命题中为真命题的一个是()

A.A.如果两个不重合的平面有两个不同的公共点A,B,那么这两个平

面有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上

B.如果一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行

C.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个

平面

D.过平面外一点，有无数条直线与这个平面垂直

5.A=20°,B=25。则(l+tanA)(l+tanB)的值为()

A.'Q

B.2

C.1+&

D.2(tanA+tanB)

6.若函数f(x)=ax2+2ax(a>；0),则下列式子正确的是

A.f(-2)>f(1)

B.f(-2)<f(1)

C.f(-2)=f(1)

D.不能确定f(-2)和f(1)的大小

7函毂'的定义域为()

A.A.{zIx#0,xGR)

B.{x|x^±l,x£R)

C.{x|x，O,x#±l,x£R)

D.{x|x£R)

设函数=1+〃+)•lofcx,则{2)=

)

(A)l(B)-1

。⑹2(D)!

O./

9已知桶圜M匕+5=।的焦点在，轴上.则m的取值范附是（）

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.r〃>3"'<><"i<2.

10.由5个1、2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是

A.21B.25C.32D.42

11.设集合乂={-2,-1,0,1,2},N={x|x<2},则MCIN=（）

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{x|0<x<2}D.{x|l<x<2}

设行，吊分别是桶KI1”为参数）的焦点，并且B是该椭圆短轴的一个端

1y=3sin/?

12.点.则的面积等于

A.A.A.2"

B.B.377

IS

C.rcT

D.A/7

13.、()

A.A.l

B.2

C.4

D.

14.已知向量国万・（-u）充・（aa,则｛=（）

A.-lB.2C.-2D.1

函数〃*)=匚£梨的定义域是

15.Xd)

A.(1,3]

C.(2,3]D.(l,2)u(2,3]

16.函数y=2sin(兀/4-x)sinQ/4+x)的最大值是()

A.l

B.2

c/

D.2

(6为参数)

17.直线3x-4y-9=0与圆”=2sinG的位置关系是

A.相交但直线不过圆心B.相交但直线通过圆心C.相切D.相离

18.设f(x)=ax(a>0,且a#l),则x〉0时，0<f(x)<l成立的充分必要条件

是()

A.A.a>1

B.O<a<1

C.2<n<，

D.l<a<2

+加一02

19.在AABC中，已知AABC的面积=4,则NC=

A.TI/3B.K/4C.K/6D.2K/3

20.设集合M={XWR|XW1},集合N={£R|ZN-3},则集合MnN=()

A.{X£RB—3<X<-1}C.{ZeRD.Z<-l}E.{XeRF.X>—3}G.(p

21.下列()成立.

A.0.76012<1

BD.，)

C.loga(a+1)<loga+ia

D.2"32<2031

(10)设ac(o.yj.cota-y.JKtin2a■

(B堤<C)§(D说

23.已知向量a=(l,2),b=(-2,3),则(a—b>(a+b)等于()

A.A.-16B.-8C.16D.8

24.

复川昌广的值等于()

A.lB.iC.-lD.-i

25.函数y=/I*一】的定义城是

A.{x|x>l)B.{x|x<l)C.{x|x>l)D.{x|x<-1或x>l)

过两点(-4,1)和(3,0)的直线的倾角为)

(A)arctan(-—)(B)IT-arctan—

cz(C)arctan；

(D)TT-arctan(--)

26.

27.Y=xex,则N'=()

A.A.xexB.xex+xC.xex+exD.ex+x

28有不等式(l[seca留tana|(2)|sina凶tanaK3)|csca凶cota|(4)|cosa凶cota|其

中必定成立的是()

A42)(4)B.⑴⑶C.⑴⑵(3)⑷D.都不一定成立

29.命题甲:x2=y2,命题乙:x=y甲是乙的0

A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.即非充分又

非必要条件

在等比数列I%I中，巳知对任意正整数八%+…+%=2*-1,则a：+

a；+…+a：=()

(A)(2*-I)2(B)j(2*-I)2

30(C)4"-1(D)

二、填空题(20题)

己知球的一个小圆的面枳为w,球心到小圈所在平面的即曲为G,则这个球的

31.表面枳为.

32.已知A(2,l),B(3,-9)直线L:5x+y-7=0与直线AB交于P点，点P分

AB所成的比为

♦＜明(1+2)

33.函数—-左’3的定义域是___________.

34.

I.4―1

蚓--------------

35.已知直线3x+4y-5=0,彳,+旷的最小值是.

以椭圆（+《=1的焦点为顶点,而以椭网的顶点为焦点的双曲线的标准方程为

O□

36.

X-T

巳知双曲线1-%=I的离心率为2.则它的两条渐近线所夹的钱例

ab

38.为

39.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点，则AOAB的周长为

设曲线y=在点U"）处的切线与直线忘・y-6=0平行，则。=

40..

已知随机变Ift。的分布列是

T012

P

3464

41叱

42.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

43.椭圆"7的离心率为o

如果二次函数的图像经过原点和点（-4.0）,则该第二次函数图像的对称轴方程

44.为------

45.椭圆x2+my2=l的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的

值是.

46.化筒祕+丽+褊-加=

47.Q复数"+*）（■»♦i）的文部和虚簿相等,JHm>

已知大球的表面积为UXhr.另一小球的体积是大球体积的;,则小球的半径

4

48.是

设离散型随机变量X的分布列为

X-2-102

P0.20.10.40.3

49,则期彳值£。）=

50.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A与B1D1所成的角的度

数为________

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分12分)

巳知参数方程

x=+e")co»d,

y—~(e'-t~')sin0.

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若伙eN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所袤示的曲线有相同的焦点•

(23)(本小题满分12分)

设函数/(z)=/-2?+3.

(I)求曲线-2/+3在点(2,11)处的切线方程;

(H)求函数〃工)的单调区间.

JS9乙.

53.

(本小题满分13分)

如图，已知椭BSG£+/=I与双曲线G：5-y=1（。＞1）.

⑴设%,与分别是G.G的离心率，证明一＜I；

（2）设44是G长轴的两个端点/（%,’。）（1媪＞a）在G上，直线与G的

另一个交点为Q,直线与£的另一个交点为上证明QR平行于丫轴.

54.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点内使|AB|最大.

55.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）=丁-3/+m在［-2.2］上有最大值5,试确定常教m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

56.

（本小题满分12分）

1

△ABC中,已知a*+e*-4»*且10gtsinX+lo&sinC=-I,面积为Qcm',求它二

出的长和三个角的度数.

57.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少1。件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少?

58.(本小题满分12分)

在ZUBC中.AB=8而.8=45。，C=60。.求AC,8c.

59.

(本小题满分13分)

2sin加。如+—

设函数/⑻=-3.0e[0,f]

sme+cos02

⑴求/偿)；

(2)求/(&)的最小值.

60.

(本小题满分13分)

巳知函数=w-2日

(1)求函数y=/(x)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数y=/(«)在区间［0.4］上的最大值和最小值.

四、解答题(10题)

2

61.已知等差数列前n项和Sn=2n-n.

(I)求这个数列的通项公式；

(n)求数列第六项到第十项的和.

l.r,v2

N+1=i和圆+护

62.已知椭圆和圆，M、N为圆与坐标

轴的交点，求证：圆的弦MN是椭圆的切线。

63.A、B、C是直线L上的三点，P是这条直线外-点，已知AB=BC=a,

NAPB=90°,NBPC=45°.求:

(I)ZPAB的正弦;

(H)线段PB的长;

(III)P点到直线L的距离.

64.

如图，已知椭圆6。+/=1与双曲线J与・『=】•(<»>1).

(1)设g,e2分别是c,,G的离心率,证明<1；

(2)设是G长轴的两个端点,2(内,%)(《I>。)在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线P&与M的另一个交点为凡证明OR平行于y轴.

65.

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500件，如果这种衬

衫每件涨价1元，其铜售量就减少10件,商店为了获得大利润，问售价应为多少？

66.已知AABC三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(l,0),C(3,0)求：

(I)ZB的正弦值；

(II)AABC的面积

67.已知a、b、c成等比数列，x是a、b的等差中项，y是b、c等差中

-4--=2

项，证明“y

68.已知圆O的圆心在坐标原点，圆O与x轴正半轴交于点A,与y轴

正半轴交于点B,|AB|=2笈

(I)求圆O的方程；

(H)设P为圆O上一点，且OP〃AB,求点P的坐标

已知函数/U)♦O-6a)i-12a-4{aeRJ.

“)证明：曲线,=人3)在**0处的切线过点(2,2);

(2)若〃G在xf处取得极小值，%•(1.3).求a的取值范限.

69.

70.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用4表示抽到次品的次数.

(I)求上的分布列；

(II)求上的期望E©

五、单选题(2题)

在等比数列I。」中，已知对任意正整数n.a.+a2+-+a.=2*-1,则a：+

ai+,•,+。：=()

(A)(2*-I)2(B)y(2*-I)1

71(C)4--1(D)J(4'-1)

(4)中心在原点,一个焦点为(0.4)且过点(3,0)的■■的力笔是

?

\

A?9⑻/.5・

，

c/\(D亭

25*41-1

六、单选题(1题)

设集合利=|*1*'-3|,'=以立石1|,则川0'=()

(A)R(B)(-oo,-3]u[l,+oo)

73(C)[-3.1(D)0

参考答案

l.A

2.D

1

3.CA,0.8°Va=0.8<1,为减函数,XVx<>1.log30.8,>/a=3>1,

1

为增函数,0<x<1,Alog30.8<0./.0.8°>log30.8,故A错.B,0.8期(如

图)Va=0,8<l,为减函数，又•••-().1>-0.2,...OSH<0.8吗故B错.C,

log30.8与log40.8两个数值比大小，分别看作：yi=log3x与：y2=log4x底

不同，真数相同，当a>l,0<x<l时，底大，对大.故C正确.D,为增

函数，3。」>3。=1,故D错.

4.C

5.B

Atan(A+B)=-?anAttanB=1

由题已知A+B=K/4-tanA•tanB即tanA+tanB=l-

tanA*tanB,(1+tanA)(1+tanB)=l+tanA+tanB+tanA*tanB=2

6.B

解法i由。>。,二次函数的图像开口向上，对称轴为了=宇=-1,所以/(-2)g(i),

解法2,f(-2)=4a-4a=0,f(l)=a+2a=3a〉0,所以f(-2)<f(l).

【解题指要】本题考查一元二次函数的知识.在研究二次函数的过程

中，要充分利用二次函数的图像辅助研究.

7.C

|x|>0,且|x|=l,得x和,且x#l.(答案为C).

8.B

9.D

10.A

A■析:如岫.备2博在等一位，则构成的不同的IT列个数是样k第二位.列构ifi的不与第・

情龙的散列十寸为之.依比夷张，枸成的不同的数例个数为U-UcIC；-C=21

11.B

由于M£N,故MCN=M={-2,-1,0,1,2).

12.B

消去叁数,将参数方程化为普通方程,F"分别是楠崎+亲=1的焦点.

a=4"=3.t=二3’=。■

则AHF：场的面积等于aX2"X3=3a.（齐案为B）

13.C

利用三角函数的诱导公式、二角差的正弦公式及二倍角的正弦公式进

行计算求值.

1-sin80,—^sinlO,j

IW_sin8O"-»in8（/~V3cos80*2（

sinlO*sin80*sinlOisinBO*sinlO41cos10*sinlO晨I。

4sin（8O*—60*）4sin2O*1人、

=2；in诟而=W^F=4.（答案为C）

14.D

4C・j4B.BC・a,l）+（-U）•电2）,故有［+1-2->t=1.

15.D

3■*

..X-1>g定义”为（l,2）U（2.3l

{岫㈠1）»*U

lx-I#i

16.A、*/y=2sin（7c/4-x）sin（7r/4+x）=2cos［7r/2-（7c/4-x）］sin（7r/4+x）=2cos

（7r/4+x）sin（K/4+x）=sin（7t/2+2x）=cos2x,ymax=l.

17.A

方法一：

i=2co姐①

y=2t»nd②

①〜十②，得：工，+32=4,

圜心。（0.0）,.=2,则8）心O到直线的距离为

10—0—919.

~'5<2'

0VdV2..•.直线与圆相交,而不过圆心.

方法二.画田可得出结论,直线与圜相交而不过

圆心（如困）.

18.B

19.B

余弦定理是解斜三角形的重要公式，本题利用余弦定理及三角形面积

公式

(SAABT=；bcsinA-acsinB=-yabsinC)求

444

出角.

j1今肾（已知SAABC

a2+62-c2.

4)9

：•S.ABC=yafrcosC•(D

又•:Sate=—aftsinC«

由①②捋：

cosC=sinC,

；.NC叶.

20.A

如图，A,TO.76°I2,a=0.76<1为减函数,又

VO.12>0,.\0.76on<l.

Bdogyr4.a=>/2>1为增函数，又•；()<4"VI.log/rgVO.

Jo3

CJo&Q+l),因为。没有确定取值范围，分两种

情况.

C…为增函数，2°32>2°”.

22.D

23.B

(a-b)-(a+b)=(3,—1>(—1,+5)=3x(—1)+(—l)x5=8.(答案为B)

24.C

25.D

由题意知冈-1沙，冈多，解得x多或烂-1.本题考查绝对值不等式的解

法和对函数定义域的理解.

26.B

27.C

28.A

•:sec2a=1+tan2a»

，see2a>tan?a。IsecaI>tanaI•

平方平方等号两边非负

1+cot*a=esc2a♦

:.cot2a<csc2a=>IcotaiVIcscai,，(1)(3)为错

••sin。…

・--------tana・

cosa

Isina|•i-------r='tanaI,

IcosaI

/.当Icosa|=±1时，|sinaI=|tana|,

当0VIcosa|V1时，|sina|V|tanaI,

即Isina|&|tana|.

同理|cos«|4|cota!,；.(2)(4)正确.

29.B由x2=y2不能推出x=y,由x=y-^-x2=y2,则甲是乙的必要非充分条

件

30.A

31.

12x

32.答案：4解析：由直线方程的两点式可得，过A(2,l)B(3,-9)的方程

为：

；工-2.y-1

Lu,:-19-1・

10«r+y-21=0咎

则1=>《°t

7-0——7

2+A•3

,即

1+A1+A

14_2+3入一、.

—.,1.=>A=I.

51+4

33.{x|-2<x<-l,且x#-3/2}

log|（x+2»0"Vi+241

，jr+2>0=><J；n—2O4-1,且iW-"I",

2工+3乎0I"#一彳

yiog1（x+2）

所以函数y—的定义域是|—20&-1,且4K--y

2i+3

34.

如言r翕ViT♦（答案为力

35.答案:1

V3x4-4y-5=0=^<y=—母

齐+》片那一印+H

=4=翌>1

10

义,,当x~—/时

.V25y25_.15v

4ac•一加'“苒x^」（百）

=-4T-7725

4XT6

是开口向上的抛物线.顶点出标（一卷.

普》,有最小值I.

/£1

--5=*

36.,

37.

38.

39.

40.

»・折毁行事点》的旬fl帕•隼力y'l*2>.祺亶u的左率・2.・2«=2，NJ

41.

-

3

42

443

2

.C./

由题可知，a=2,b=l,故c*=心,离心率'-丁1".

44」=-2

45.

答案：

Y【解析】由V+my«»1得？+午=1.

m

因其焦点在y轴上，故

gJ工〃-1・

m

乂因为%=2«%,即2J^=4=m=+：

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质.对于椭圆标准方程而言，应注

息:

①焦点在了*上，.+W=T(a>6>0)i

焦点在y轴上，+多=1(46>0).

②***:■=&».短轴长：2b.

46.

47.

-3a新：收H效药■封为(■-2)•(2«♦I-21.14樽e・-3.

48.

49.

50.

51.

（1）因为"0,所以e'+e-，o因此原方程可化为

-c09fft①

e+e

2

./._-singt②

le-e

这里e为参数.①1+②,消去参数仇得

（e，+e-'）'（e'-eT尸押心支上“上£'

44

所以方程表示的曲线是桶WL

（2）由知cos?”。，sin’OKO.而t为参数，原方程可化为

f-^=e'+e-,①

cosd

xe*-e'*.②

Ism©

ay-②1.得

练-绦=3+e”/-S-e-，尸.

<x»6sm6

因为2/屋'=2/=2,所以方程化简为

H曲=L

因此方程所表示的曲线是双曲线.

（3）证由（1）知，在椭圆方程中记。2=©'74'）'.62=垣~74：'）；

则J=『-y"I,c=1,所以焦点坐标为（±1,0）.

由（2）知.在双曲线方程中记J=COB，，炉=6加七

■期，=1+*=1,c=l.所以焦点坐标为（±1,0）.

因此（1）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

(23)解式1)/(%)=4?-4x,

52./(2)=24,

所求切线方程为y-1l=24（x-2）,gp24x-r-37=0.……6分

（0）令/（工）=0.解得

xI=-1,x2=O,Xj=1.

当X变化时」（幻/（工）的变化情况如下表：

X(-»,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

r（«）-0♦0-0

2z32z

/（X）的单调增区间为（-1,0）,（1,+8）,单调减区间为（-8,-1）,（0,

1）.……12分

53.证明：（1）由已知得

又a>l,可得0<（上）’<1,所以.

a

将①两边平方.化简得

+a）Jyf=（t）+a）Jy^④

由（2x3）分别得y：=：（£-a1）,4=\（。'-x?）.

aa

代人④整理得

即

a+x,x0+ax。

同理可得x,=--

*0

所以%=心内）,所以0/r平行于y轴.

54.解

设点8的坐标为(刈.).则

1481=y(x,+5)J+y/①

因为点B在插圈上,所以2才+yj=98

y「=98-H'②

将②代人①，得

M8I=y(x,+5)J+98-2x,J

=/-(x,2-10x,+25)+148

=Q(…)，+148

因为'WO.

所以当士=5时，-(%-5)’的值最大，

故M8I也最大

当航=5时.由②.得y严t46

所以点8的坐标为(5.4后或⑸-48)时1481最大

55.

f(x)=3x2-6x=3x(x-2)

令/(x)=0,得驻点阳=0,啊=2

当工＜0时/(*)＞0；

当0＜工＜2时＜0

J.x=。是，(*)的极大值点,极大值人。)=m

.5。)=m也是最大值

m=5,X/(-2)=m-20

〃2)=m-4

:.K-2)=-15JX2)=1

二函数在［-2,2］上的最小值为｛-2)=-15.

56.

24.解因为，+/-川=*所以曳^^=十

即•.而8为内角，

所以B=60°.又]叫曲认+log<sinC=-1所以蜻仙・&)C="

则/[co8(4-C)-88(4+C)]=了・

所以cos(4-C)-«»120°=1".即c<»(4-C)=0

所以A-C=90°或4-C=-90°.又4+C=120。，

解得A«105°,C«15*;SEA=15°,C=105°.

因为S/UM=yoAsinC=2/?,«ia48inB»inC

=2/.缺3号.旦衿=融

所以纾=6,所以R=2

所以a=2&irt4=2x2Xsinl05°=(&+。)(cm)

b=2Asin8=2x2xsin60°=28(cm)

c=2*C=2x2x»inl5°=(^»-v5)(cm)

或a=(«-0)(cm)6=24(cm)c=(笈+&)(cm)

势.=力长分别为(m+Q)cm2Qcm、(客-左)an.它们的对角依次为:13°⑻°J5?

57.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为丫元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润丫取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

58.

由巳知可得4=75。，

又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+«»45°8in30°=-........4分

在△ABC中，由正弦定理得

ACBC•8分

=sin/=sin60入

所以AC=16.8C=8Vr+8.12分

59.

1+2mn0cosd4--

由题已知4。)=一益“；♦cow

(sind-t-cosd)2f-y-

x>

sin。♦coa^

令％=Ainff♦cosfi,得

八二

〃e)=Ts+W=iG得『+2石•焉

=[石-二『+v$

</2x

由此可求得4分=而4。)最小值为南

60.

(1)/(«)=令八*)=0,解得x=1.当“(0,1)"(力<0;

当xe(I.+8)J*(x)>0.

故函数人外在(0.1)是减函数,在(1，+8)是增函数.

(2)当x=l时J(H)取得极小值.

又/(0)=0./U)=T，〃4)=0.

故函数“X)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-I.

2222

61.(I)当n>2时，an=Sn-Sn-1=(2n-n)-[2(n-l)-(n-1)]=2n-n-2n+4n-2+n-

l=4n-3(nN2),当n=l时，ai=Si=4xl-3=l,.*.an=4n-3.

22

(II)SIO-S5=(2X1O-1O)-(2X5-5)=145.

62.如下图

因为M、N为圆与坐标轴的交点，不妨取M、N在y、x轴的正方向,

:.M(0,/公+加)、N(Va2+b2.0),

由宜线的截距式可知，弦MN的方程为：

—£—+—Z--=l

在线方程与箱圆方程联立得

+6*Ja'+庐

《+j'

ij得(/+〃)x2—2a2•x/qZ+加工+«?=0

IffA=(.2a2\/a2+6Z)2—4(a2+b2)a*=0,

可知二次方程有两个相等实根，因而MN是椭圆的切线。同理，可证

其他3种情况弦MN仍是椭圆的切线。

63.

PC*ZAPB«MHf

（1，由外州平分线偿■eJI.

PA_AC_2.0口PA.PB/

PBBCT*PflT，，wZFAfl"AB5,

（I）PB-AB*inZPAB«Y--

（■）作『D\AB（tPm所示）.其中/»A-Ja.tkPD-PAza/PAH

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