2022-2023学年新疆克州重点中学高一（下）期末数学试卷含解析

2022-2023学年新疆克州重点中学高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数z满足z=l-E,贝亚的虚部为（）

A.—1B.iC.1D.—i

2.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是

（）

A]B.lC.lD.1

3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8（其中x47）,若该组数据的中位数

是众数的:倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（）

4

A.y,5B.5,5C.y,6D.5,6

4.平面向量日与石的夹角为墨若2=（2,0）,向二1，贝五+23|=（）

A.V-3B.2<3C.4D.12

5.甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见

表

甲乙丙丁

平均成绩%/环9.08.98.69.0

方差s22.82.92.83.5

如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体/4_

积是（）

A.6

B.9正视图侧视图

C.18

3

D.36

俯视图

7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=26cosC,贝!]△ABC的形状是

（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

8.从高一某班抽三名学生参加数学竞赛，假设男生女生的人数一样多，记事件力为“三名学

生都是女生"，事件B为“三名学生都是男生"，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，

事件。为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（）

A.P⑷=：B.P（C）WP（D）

C.事件4与事件B互斥D.事件力与事件C对立

9.某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，

按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平

均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为（）

A.110B.125C.95D.105

10.如图，为测量河对岸力，B两点间的距离，选取相距40巾的C,。两点，测得NBC4=60°,

/-ACD=30°,Z.CDB=45°,^BDA=60°,则A,B间的距离为（）

A.20cmB.20RmC.D.40门机

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

H.已知向量五=（尢2）,b=（-1,3））若反〃a+5，则2=.

12.甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，

现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是

红球的概率是_.

13.在复平面内,复数z=i（l+mi）（meR）对应的点位于直线y=2x_L,则m.

14.已知a,0是两个平面，m,n是两条直线.有下列命题：

①如果m〃兀，ua,那么m〃a；②如果m〃a,mu0,aC0=n,那么7n〃n；

③如果a〃/?,mca,那么m〃。；④如果al£,aC0=n,mln,那么ni10.

其中所有真命题的序号是.

三、解答题(本大题共5小题，共44.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题8.0分)

已知反=(1,0),b=(2,1)

(1)当k为何值时，kN—3与江+23垂直

(2)若荏=21+3瓦前且2、B、C三点共线，求小的值.

16.(本小题8.0分)

已知复数z=(2+i)m2-3m(l+i)-2(1一i).当实数m取什么值时，复数z是：

(1)虚数；

(2)纯虚数.

17.(本小题9,0分)

在△48C中，a=4,b=5,cosC=

o

(1)求△ABC的面积；

(2)求c及sbvl的值.

18.(本小题9.0分)

如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布

表和频率分布直方图如下，回答下列问题：

(2)估计这次环保知识竞赛平均分;

(3)若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多

大？

19.(本小题10.0分)

如图，在三棱锥P一力BC中，乙4cB=90。，PA1底面4BC.

(1)证明：平面P8C_L平面P4C；

(2)若力C=BC=P4M是PB中点，求力M与平面PBC所成角的正切值.

M

AB

C

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：:z=l—i,

••・z=1+i,

W的虚部为1.

故选：c.

由已知求得再由复数的基本概念得答案.

本题考查复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：有三件正品(用1,2,3表示)和一件次品(用0表示)的产品中任取两件的样本空间。=

{(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)},

恰有一件次品A={(0,1),(0,2),(0,3)},

由古典概型得p(a)=^=|=|.

故选：D.

根据古典概型概率计算公式直接计算.

本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,%,7,8(其中XH7),

・••中位数是竽，众数是4,

••・该组数据的中位数是众数的:倍，

...4+x=)x4,解得％=6,

Z4

•••平均数为青(1+4+4+6+7+8)=5,

该组数据的方差为：

S2[(1-5)2+(4-5尸+(4-5尸+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=冬

6x60%=3.6,

二第60百分位数是6.

故选：C.

中位数是空，众数是4,由该组数据的中位数是众数的:倍，列方程解得x=6,由此能求出该组

数据的方差和第60百分位数.

本题考查该组数据的方差和第60百分位数的求法，考查平均数、众数、中位数、方差、百分位数

等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

求出向量同，要求|2+2小，先求其平方，展开后代入数量积公式，最后开方即可.

本题考查了向量的模及向量的数量积运算，考查了数学转化思想，属于基础题.

【解答】

解：由五=(2,0),所以m=2,

所以|五+2司2=|a|2+4|a||fo|cos^+4|h|2

=22+4x2xlxj+4xl2=12.

所以忻+2升=2AT3.

故选B.

5.【答案】A

【解析】解：甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，

甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的方差最小，

说明甲的成绩最稳定，得到甲是最佳人选.

故选：A.

根据平均数和方差的含义及应用，即可得解.

本题考查了特征数的理解和应用，均值反映的是样本数据的平均水平，方差反映的是样本数据的

稳定性，考查了数据分析能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由题意可知：几何体是以正视图为底面的三棱柱，

其底面面积S=|x4xV52-42=6,

高是3,

所以它的体积：Sh=18,

故选：C.

由题意可知，几何体是三棱柱，依据所给数据直接计算即可.

本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空间

想象能力和基本的运算能力.基础题.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题.

利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC,求出B与C的关系，即可

判断三角形的形状.

【解答】

解：a=26cosC,由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC,因为A+B+C=兀，

所以sin(B+C)=2sinBcosC,所以sMBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

sin(B—C)=0,B—C=kn,kEZ,

因为4、B、C是三角形内角，

所以B=C.

三角形是等腰三角形.

故选：A.

8.【答案】B

【解析】解：由所抽学生为女生的概率均为：，则「缶)=&3=\故A正确；

。事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与C事件含义相同，

故P(C)=P(D),故P错误;

A,B两事件不可能同时发生，为互斥事件，故C正确；

c事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为4

故。正确.

故选：B.

由独立乘法公式求PQ4),根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.

本题主要考查互斥事件与对立事件的概念，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：抽取的同学数学成绩平均值为2°X12%0X95=]05,

0U

因此，高二总体数学成绩平均值为105.

故选：D.

计算抽取的同学的数学成绩平均值，依此来估计高二总体数学成绩平均值.

本题主要考查了平均数的计算，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：由题知，Z.BCD=90°,即8cle。，

在RtABCD中，BD==40>T2m.

cos45

在△ACD中，N力DC=60°+45°=105°,

所以NZMC=180°-(105°+30°)=45°,

由正弦定理得事=$,

sm30sm45

所以AD=如暗=20Hm,

sm45

在△ABD中，^ADB=60°,

由余弦定理得ZB?=AD2+DB2-2AD-DB-cos^ADB=(20。/+(40^^)2-2x20。x

40AT2X1=2400,

所以AB=20V_6m.

故选：B.

由题意，根据正弦定理可得BD,求得ADAC,再由正弦定理可得力D,最后根据余弦定理可得解.

本题考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】一|

【解析】解：因为方=(尢2),3=(—1,3)，

所以五+3=(2-1,5);

又五〃@+3)，

所以54-2(4-1)=0,

所以2=-,.

故答案为：—

根据向量的坐标运算和向量共线的坐标表示列方程求人

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

12.【答案】葛

【解析】解：分两种情况讨论如下：

甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为孑*|=奈

甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为|x|=|；

综上，所求概率为:+|=2

故答案为：白

分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

13.【答案】V

【解析】解：:z=i(l+mi)=—m+i,

又•・,复数z对应的点(-皿1)位于直线y=2%上，

・•・-2m=1,解得?n=-1.

故答案为：—

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

14.【答案】②③

【解析】解：由a,£是两个平面，m,n是两条直线，知：

对于①，如果a〃九，nca,那么m〃a或mca,故①错误；

对于②，如果m〃a,mu0,aC0=n,那么由线面平行的性质得m〃n,故②正确；

对于③，如果a〃£,mea,那么由面面平行的性质得故③正确；

对于④，如果a10,aC6=n,mln,那么zn与/?相交、平行或niu。，故④)错误.

故答案为：②③.

对于①,m〃a或爪ca；对于②，由线面平行的性质得小〃?1；对于③，由面面平行的性质得加〃£；

对于④，6与£相交、平行或mu£.

本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理

论证能力、空间想象能力等核心素养，是中档题.

15.【答案】解:(l)/ca-b=fc(l,O)-(2,1)=(/c-2,-1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，

因为k3—3与方+垂直，所以5(k—2)+(―1)x2=0,

即5卜一10-2=0,得k=£.

(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)，

BC=a+mb=(1,0)+m(2,l)=(2m+1,m)

因为4B,C三点共线，所以荏〃部.

所以8巾一3(2根+1)=0,即2机-3=0,

所以m=|.

【解析】—B与江+23垂直，即k之一另与日+2另的数量积为0,利用坐标计算可得k值；

(2)因为4,B,。三点共线，所以四〃前，利用平面向量共线的坐标公式计算可得小的值.

本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.

16.【答案】解：(l)z=(2+i)m2—3m(l+i)-2(1—i)=2m2—3m—2+(m2—3m+2)3

当复数z为虚数时，m2—3m+20,7nHi且mH2,

故当实数mW1且TnW2时，复数z为虚数.

(2)当复数z为纯虚数时，｛对:%普公：7°，解得m=-£

故当机=一2时，复数z为纯虚数.

【解析】(1)根据复数z是虚数，列出方程，解方程即可得解;

(2)根据复数z是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.

本题主要考查纯虚数、虚数的定义，属于基础题.

17.【答案】解：(1)由cosC=:且0<C<兀，贝卜出。=主?，

o8

所以SMBC=3absinC=

(2)由c?=a2+b2-2abcosC=16+25—5=36,则c=6,

而爵=肃？则立九4=竺三=?.

S171CS171/1Q4

【解析】本题考查正、余弦定理等解三角形相关知识，属于基础题.

(1)利用平方关系求得sinC=*，应用三角形面积公式求AaBC的面积;

8

(2)余弦公式求c,再应用正弦定理求S£TL4.

Q-1r

18.【答案】解：⑴a=60X0.1=6,b=60x0.15=9,%=-=0.15,y=-=0.25；

(2)用组中值估计平均分:

44.5X0.1+54.5X0.15+64.5x0.15

+74.5x0.3+84.5x0.25+94.5x0.05=70.5；

(3)本次竞赛及格率为：0.015X10+0.025X10+0.03x10+0.005x10=0.75

用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，

・•・从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75.

【解析】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运算能力与

作图能力，属于基础题.

(1)根据频率分布表求出出a,b,x,y,再作出频率分布直方图；

(2)用组中值估计平均分即可；

(