2018-2019学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷

2018-2019学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知平面向量£（x,3），b=（l,x-2）1若W与工同向，则实数x的值是（）

A.-1B.1c.-3D.3

2.(5分)sinllO0cos40°+cos70°sin320°=()

A.LB.返

c.1D.

22T2

3.（5分）总体由编号为01,02,…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个

个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字,

则选出的第5个个体的编号为（）

50446644296706580369803427188361464223

91674325745883110330208353122847736305

A.42B.36C.22D.14

4.（5分）已知|a|=1，|b|=2＞且Zj_（Z+E），则W在诂向上的投影为（）

A.-1B.1C..AD.工

22

5.（5分）执行如图所示的程序语句，输出的结果为（）

S=0,〃=1

Do

S=S+―-—

n(n+l)

n=M+1

LoopWhilen<10

输出S

A.WB.-LC.D.1

111090110

6.(5分)如图，正方形的边长为a,以A,C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正

方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（)

7.（5分）已知函数f（x）=sin（3x+（p）（o）＞0,|0|＜号)的部分图象如图所示，则

u）,＜p的值分别是（）

nir

A.2,2兀B.2K,C.1,《D.1,A

630O

8.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入〃=7,则输出C=()

苧

Q=,4+51

1-=8|

18三C1

IAr=+11

（^1

A.5B.8C.13D.21

9.（5分）从集合｛1,2,3,4｝中随机抽取一个数a,从集合｛4,6,8｝中随机抽取一个数b,

则向量/(a,b)与向量3=(2,-1)垂直的概率为(）

A•工B•工C.AD.L

6432

10.（5分）某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示，执行如图程序框图，若输入

的3（i=l,2,…，20）分别为这20名学生的考试成绩，则输出的结果为（）

入q,,a2c

.*T

|n=0J=1|

82

945

10347

11225

123467

135679

14668

A.11B.10C.9D.8

11.（5分）（普通中学做）若sin（a-）二2sin（a+-：），则tan（2a-：）=（

A.-7B.-A.C.7D.1.

77

12，（重点中学做）若sin（a^一鼠）=cosasin■了，则3兀=（）

cos（CL—）

A.1-B•工C.2D.3

23

13.（5分）（普通中学做）如图，在矩形A8C。中，\AB\=2f|BC|二点。为A8的中

点，点E在边上，点厂在边4。上，且NEOF=90°,则旧网的最大值是（）

c•平D.V?

14.（重点中学做）如图，在矩形ABCD中，|AB|=4,|3C1=2,点P满足|CP|=1，记a=AB•屈,

b=AC-AP-c=AD-AP>则小b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共2（）分.

15.（5分）已知点A（1,-2）,8（-2,-1）,若向量正=（o,3），则向量前=-

16.（5分）函数/（x）=2sin2x+sin2r的最小正周期为.

17.（5分）某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，

该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学

专科学历的教师比例下降到8%,且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究

生人数为.

■研究生

■本科生

专科生

18.（5分）如图，在aABC中，ADLAB,前=正而，I诟=1，则正•屈=

19.（重点中学做）如图，以AB为直径的圆O中，|A8|=2,C,D,G在圆O上，ZAOD

=ZBOC,DEA.ABT'E,CFJ_AB于凡EG=FG,记△OA。，△OBC,△EFG的面积

和为s,则s的最大值为

AB

G

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

TT

20.(12分)已知函数f(x)=4sinxcos(xz-)-!,

6

(I)求f(需)的值；

(II)若f(xo)>1,求X0的取值范围.

21.(12分)如图，在平面四边形488中，已知而二2就，|前|二|而|=2,BA-BC=b

。为线段3c上一点.

(I)求NABC的值：

(II)试确定点。的位置，使得赢•而最小.

22.(12分)某校全体教师年龄的频率分布表如表所示，其中男教师年龄的频率分布直方图

如图所示.己知该校年龄在35岁以下的教师中，男女教师的人数相等.

年龄[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)[55,60)合计

(岁)

人数681123189580

(I)求图2中a的值;

（0）若按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，求男女教师抽取的人数；

（III）若从年龄在［55,60）的教师中随机抽取2人，参加重阳节活动，求至少有1名女

教师的概率.

23.（12分）将函数£&）=亚＜：05（三乂4）的图象向右平移1个单位，得到函数g（x）

的图象.

（I）求），=/（x）g（x）的单调递增区间；

（II）设O为坐标原点，直线2x+2y-1=0与函数），=/（x）g（x）的图象自左至右相交

于点A,B,C,求（丞+羽）•根的值.

24.（12分）（普通中学做）使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付

方式，某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润y（万元）与每天使用支付宝和微信

支付的人数x（千人）具有线性相关关系，并得到最近一周x,y的7组数据如表，并依

此作为决策依据.

周一周二周三周四周五周六周日

X13162622252930

（千人）

y7111522242734

（万元）

（I）作出散点图，并求出回归方程、=。+尿（a,6精确到0.01）；

（II）超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总

奖金7万元.根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加7千人,

试决策超市是否有必要开展抽奖活动？

（HI）超市管理层决定：从周一到周日，若第二天的净利润比前一天增长超过两成，则

对全体员工进行奖励，在（II）的决策下，求全体员工连续两天获得奖励的概率.

7777__

参考数据：£走3951，Ey：=3340,£Xiy=3544,£(x-x)(y_-y)=324-

i=li=li=li=l

n__n__

£（Xj-x）仇-y）£XiVi-n*x*y

参考公式：一.-，a^-b-r

£（xi'x）£x：-n・x

i=li=l

25.（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，

即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、

化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩

进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.

（I）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；

（II）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由;

（III）甲同学发现，其物理考试成绩〉（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系,

统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.

X（分）57616572747784

y（分）76828285879093

参考数据：£x：=34840，£y：=50767，£X1y.=41964，

i=li=li=l

7__

£(x「x)(yj-y)=314

i=i

n__n__

£(x「x)(y「y)£xiyi-n-x-y

参考公式：---------L1--------------'2力工4(计

2

E：(X1-x)£x，n・r

i=li=l

算2,a寸精确至UO91）.

物理成绩历史成绩

69

676

7522802

309468

请考生在第22・23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

26.（10分）某算法框图如图所示.

（I）求函数y=/（x）的解析式及f［f（2L）］的值；

6

（II）若在区间［-2,2］内随机输入一个x值，求输出y的值小于0的概率.

/输入x/

/输出）,/

27.如图1,单位圆0：x?+y2=i与x轴正半轴相交于点p,圆。上的动点。从点p出发沿

逆时针旋转一周回到点P,设NP0Q=x（0Wx<2ir）,△OP。的面积为y（当0,P,Q

三点共线时，y=0）,_y与x的函数关系如图2所示的程序框图.

（I）写出程序框图中①②处的函数关系式；

2018-2019学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知平面向量£(x,3))b=(l,x-2＞若W与4同向，则实数x的值是()

A.-1B.1C.-3D.3

【分析】根据Z与4同向即可得出Z//E，从而得出x(x-2)-3=0,解出x并验证是否

满足二,了同向即可.

【解答】解：：a与b同向；

aIIb：

(x-2)-3=0；

解得元=-h或3；

①x=-l时，£(-!,3),b=(l,-3A方向相反，不合题意，舍去；

②x=3时，短⑶3),b=(l,1＞方向相同；

，x=3.

故选：D.

【点评】考查两向量同向、反向的定义，平行向量的坐标关系，向量数乘的几何意义.

2.(5分)sinllO0cos40°+cos70°sin320°=()

A.1B.区C..XD.

2222

【分析】由题意利用诱导公式、两角差的正弦公式，求得要求式子的值.

【解答】解：sinl10°cos40°+cos70°sin320°=sin70°cos40°-cos70°sin400=sin

(70°-40")=sin30°=L

2

故选：A.

【点评】本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式的应用，属于基础题.

3.(5分)总体由编号为01,02,…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个

个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字,

则选出的第5个个体的编号为（）

50446644296706580369803427188361464223

91674325745883110330208353122847736305

A.42B.36C.22D.14

【分析】由简单随机抽样得：选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22,得解.

【解答】解：由随机数表可得：从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右

选取两个数字，选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22,

即选出的第5个个体的编号为22,

故选：C.

【点评】本题考查了简单随机抽样，属基础题.

4.（5分）已知IGl=l'|b|=2>且Zj_（W+E），则W在己方向上的投影为（）

A.-IB.IC.D.J-

22

【分析】通过向量的垂直，得到向量的数量积的值，然后求解W在E方向上的投影.

【解答】解:Gi=i，|E1=2,且Z1G+E），

可得Z2+W・E=°，所以

则W在芯方向上的投影芸旦=3=—L

|b|22

故选：C.

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力.

5.（5分）执行如图所示的程序语句，输出的结果为（）

S=0.〃=1

Do

S=S+―-—

〃（〃+1）

〃=〃+1

LoopWhilen<10

输出S

A.IP.B.aC.D.1

iiio90no

【分析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出s=」_…—的

1X22X39X10

值，利用裂项法即可计算得解.

【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出…

1X22X3

由于s—―-_+--_+•••+―I——•=（1-.L）+（-L_L）+…（L-_1_）=i-

1X22X39X102239101010

故选：B.

【点评】本题主要考查了循环结构的程序算法的应用，模拟程序的运行即可得解，属于

基础题.

6.（5分）如图，正方形的边长为“，以A,C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正

方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

【分析】将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据儿何概型求

得所求概率.

【解答】解:如图所示:

阴影部分可拆分为两个小弓形，

则阴影部分面积：S=2义（lKa2J.a2）^lKa2_a2

正方形面积：S=/,

.•.所求概率0=§二=工-1,

S2

故选：D.

【点评】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题.

7.(5分)已知函数/(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<.^-)的部分图象如图所示，则

3,<p的值分别是()

【分析】根据图象可得周期7=4(卫二工)=兀，从而得到3,再由时，/(x)

k123112

取得最小值，可得(p的值.

【解答】解：由图象知，周期7=4("三)=兀，，3=2,

又当工=卫二时，fG)取得最小值，

12

•・7•兀2X人^+3兀0玛T2/k广兀、(k€Z)，

JTIT

0=q+2k兀(k^Z)*>

•._K•(P—.

3

故选：B.

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属基础题.

8.(5分)执行如图所示的程序框图，若输入〃=7,则输出C=()

C.13D.21

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量C的

值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

n—1,A—l,B—l,k=3

满足条件ZW7,执行循环体,C=2,4=1,8=2,k=4

满足条件2<7,执行循环体,C=3,4=2,8=3,k=5

满足条件攵W7,执行循环体,。=5,A=3,8=5,k=6

满足条件攵W7,执行循环体，。=8,A=5,B=8,女=7

满足条件ZW7,执行循环体，C=13,A=8,B=13,k=8

此时，不满足条件ZW7,退出循环，输出C的值为13.

故选：C.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得

出正确的结论，是基础题.

9.（5分）从集合｛1,2,3,4｝中随机抽取一个数“，从集合｛4,6,8｝中随机抽取一个数切

则向量去（a,b）与向量左（2,-1）垂直的概率为（）

A.LB.1C.1D，

6432

【分析】由古典概型及其概率计算公式得：向量於（a,b）与向量二=（2,-1）垂直的概

率为且=工，得解.

124

【解答】解：从集合｛1，2,3,4｝中随机抽取一个数“，从集合｛4,6,8｝中随机抽取一

个数b,

其基本事件有C；・c；=i2个，

由向量/（a,b）与向量左（2,-1）垂直，

则2“-。=0,其基本事件有（2,4）,（3,6）,（4,8）共3个，

即向量；F（a,b）与向量左（2,-1）垂直的概率为

故选：B.

【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题.

10.（5分）某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示，执行如图程序框图，若输入

的）（i=l,2,20）分别为这20名学生的考试成绩，则输出的结果为（）

【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于120的人数，由茎叶图知:

成绩大于等于120的人数为11,从而得解.

【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于120的人数，

所以由茎叶图知：成绩大于等于120的人数为11,

因此输出结果为11.

故选：A.

【点评】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一

道综合题.

11.（5分）（普通中学做）若sin（a-^~）=2sin（a则tan（2a-：）=（）

A.-7B.C.7D.L

77

【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得tana的值，再利用二倍角公式求得tan2a

的值，从而求得要求式子的值.

【解答】解：若sin（Ct-千）=2sin（a+■卷），即乎^ina-^^cosa=2sina八尊_+2cosa

即tana=-3,

2

，tan2a=—__3_

—2tan。；

1-tan2a4

则tan（2a-工）=**1=_工，

41+tan2a7

故选：B.

【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题.

sin（a-^~）

12.（重点中学做）右sin（a'—T-）=COS（Isin_7_,则37T~）

cos（a,-）

A.1B.1C.2D.3

23

【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、同角三角函数的基本关系，先求

Wtana=2tan2L,再代入要求的式子，可得结论.

8

-7T7TTT

【解答】解：右sin（a一?）二cosasirr^，贝sinacos——-cosasin—―=cosasin--，

888

兀兀

即sinacos---=2cosasin---,

88

即tana=2tan』_,

8

,n、7T7T.兀.兀

sin（a^~）sin。cos-^-cosasirr-^sinClcos-^-cosasi

o1rT

cos（a普）3兀,3兀7T7T

cosacos+sinCIsincosasin^^+sinClcos~^~

oooooo

7171

tana-tangtarr^-

1

7T713

tail-+tanQ.Stan-^-

oo

故选：B.

【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属

于基础题.

13.（5分）（普通中学做）如图，在矩形A2CQ中，|AB|=2,|BC|二F，点。为48的中

点，点E在边BC上，点F在边AZ）上，且NEOF=90°,则|EQ的最大值是（）

C.平D.有

【分析】设NBOE=a,用含有a的关系式表示OE,OF,利用勾股定理可求EF,从而

可求.

【解答】解：设NBOE=a,

在Rt^BOE中，08=1,/B=90°,NBOE=a,：.0E=_k__,

cosa

在RtZ\AO尸中，OA=1,/A=90°,ZAFO=a,

：.0F=—1.

sin。

又NEOF=90",

EF=J1+1二=-------------=-------,

Vsin2acos2aSinacosasin2a

，当点尸在点。时，这时角a最小，此时a=?L,此时sin2a最小.

_6

3四一区-3.

~2~

故选：A.

【点评】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数

学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力.

14.(重点中学做)如图,在矩形A8C。中,|A8=4,|BC|=2,点P满足|而|=1，记a=靛•屈,

b二AJAP，c=AD・AP，则“，b,c的大小关系为()

A.a>h>cB.a>c>bC.b>a>cD.h>c>a

【分析】以。为原点，CD,CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

利用坐标表示向量，计算平面向量的数量积，再比较大小.

【解答】解：以C为原点，CD,C8所在的直线为x轴，y轴，

建立如图所示的坐标系，如图所示；

贝ijA(-4,-2),B(0,-2),C(0,0),D(-4,0),

/.(4,0),AC=(4,2),AD=(0,2),

VCP=1,且尸在矩形内,

，可设P(cosa,sina),(0WaV2ir),

/.AP=(cosa+4,sina+2),

.'.a=AB*AP=4cosa+16,

h=AC*AP—4cosa+2sina+18,

c=AD*AP=2sina+4,

:・b-a=2sina+2>0,即b>a；

又c-a=2sina-4cosa-12=2^/^sin(a+(p)-12<0,则c<a；

综上，有b>a>c.

故选：C.

【点评】本题考查了向量在几何中的应用，建立坐标系是关键，属于中档题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.

15.(5分)已知点A(1,-2),B(-2,-1),若向量过=(o,3)，则向量丽=(3,

2).

【分析】可求出标=(-3,1)>根据玩=菽-直进行向量坐标的减法运算即可.

【解答】解：AB=(-3,1)；AC=(0,3)，

•'-BC=AC-AB=(3,2>

故答案为：(3,2).

【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量减法的几何意义，以及向量坐标

的减法运算.

16.(5分)函数/(x)=2sin2x+sin2x的最小正周期为TT.

【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出

结论.

【解答】解：函数/(X)=2sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+l=J^in(2A---)+1的最小

4

正周期为空=TT,

2

故答案为：TT.

【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性，属于基础题.

17.(5分)某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，

该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学

专科学历的教师比例下降到8%,且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究

生人数为50.

■研究生

■本科生

专科生

【分析】根据题意，设今年招聘的研究生x人，本科生y人，由扇形图分析可得现有大

500+x+y=0'08

专生和研究生的人数，进而可得〈变形解可得x的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，设今年招聘的研究生X人，本科生y人,

又由现有高中数学教师500人，其中大专生500X10%=50人，研究生500X40%=200

人,

50

-0.08

―500+x+y

则有＜…，变形可得=1

200+x200+x

「0.4

,500+x+y

解可得：x=5O；

故答案为：50.

【点评】本题考查扇形图的分析，注意分析扇形图中的信息，属于基础题.

..♦1♦'

18.（5分）如图，在aABC中，AD1AB,BC=J^而，IAD=1，贝UAC?AD=_®_.

【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题.

【解答】解：AC•AD=IACI•®IcosZDAC-

V|AD|二1，

AAC•标二|同|•丽cos/DAC=|AC|•cos/DAC，

••/n

•NBAC二万TNDAO

cosZDAC=sinZBAC9

AC-AD=|AC!•|AD|cosZDAC=|AC|・cos/DAC=|AC|sin/BAC，

在aABC中，由正弦定理得1^2=__匝J—变形得|AC|sin/BAC=|BC|sinB,

sinBsinZBAC

AC-AD=|AC|,|AD|cosZDAC=|AC|'cosZDAC=|AC|sinZBAC.

=|BqsinB=|BC|-||^-=V3'

故答案为旧.

【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强

平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题

19.（重点中学做）如图，以AB为直径的圆0中，\AB\=2,C,D,G在圆。上，ZAOD

=ZBOC,DELAB于E,CF±ABTF,EG=FG,记△OAO,△OBC,△EFG的面积

和为S,则S的最大值为—返

【分析】设NAOD=。，利用三角形的面积公式可求

SA）AD=SzkOBC《XlXlXsin8=，sin8，由题意可得EF=2cos。，连接°G,由

OGLEF,利用三角形的面积公式可得S^EFGIX2cos8Xl=cos。，根据两角和的

正弦函数公式可得S=sin8+cos9j历sin（0+亍），利用正弦函数的图象和性质可

求其最大值.

【解答】解：设/AO£>=/BOC=e,则。£>=0A=0C=08=l,

SAOAD=SAOBC总X1X1Xsin8卷sin8,

*.*OE=ODcosQ=cos0=OF,可得：EF=2cos0,

连接OG,可得。G_LER

'S/kEFG斗X2cos8XI二cos8，

兀

•,S二sinB+cos0zV2sin（9+-^->

当e百寸，s二近.

4maxv乙

故答案为：瓜

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象

和性质在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

TT

2。・(12分)已知1函数f(x)=4sinxcos(x~^~)-l・

6

（I）求f（笔-）的值；

（II）若/（刈）＞1,求刈的取值范围.

【分析】（I）由题意利用三角恒等变换化简/（X）的解析式，从而求得f（等）的值.

（II）若人刈）＞1，可得sin（2x1--）从而可得2Zni+^L＜2x（）-JLv2匕r+.5兀..

口62666

由此求得求;0）的取值范围.

【解答】解：([)f(x)=4sinx(cosxcos-7-+sinxsin-7-)-l=

66

4sinx(-^-cosx+ysinx)-1=2V3sinxcosx+2sin2x-1=V3sin2x-cos2x=

/兀、

2sin(2xT-)*

6

.,5兀、/5兀兀、2兀l

,,f(-j-^-)=2sin(2X-....-)=2sin-7—=A/3-

1Z1Z0o

(11)由/(刈)>1,得sin(2x-.•.2E+?<2ro-工<2hr+铲

062666

解得^TT+_<^)<^n+—,kez,

62

即xo的取值范围是(KT+2L,^rr+—),kez.

62

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

21.（12分）如图，在平面四边形A8C。中，已知而二2就，|BC|=|CD|=2-BA-BC=1，

O为线段BC上一点.

(I)求/ABC的值;

**

（II）试确定点。的位置，使得OA・ODM小.

rD

【分析】(I)通过向量共线以及向量的数量积转化求解即可.

(II)法一：设丽二t前(0WW1),通过水・而=4产-7f+3,利用二次函数的性质求

解最小值即可.

法二：建立如图平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积转化求解最

小值即可.

【解答】解：(I)VCD=2BA)|CD\=2>ABAIICD.|AB|=1>

VBA-BC=1>•••|BA|-|BC|cosZABC=l«即1X2COSNA8C=1,cos/ABc］，

VZABC&(0,TT),/.ZABC=—•

3

(H)法一：设的十标(OWrWl),则羽=(l-t)前，AOA=BA-BO=BA-tBC«

0D=0C+CD=2BA+(l-tW

••0A•0D=(BA-tBC)•[2BA+(1-t)BC]=2BA+(l-3t)BA-BC-t(l-t)BC

=2X产+(i-3f)xi-r(1-r)X4=4»-7r+3,

当BPBO=700^，赢・而最小.

法二：建立如图平面直角坐标系，则3(0,0),A(l-,,C(2,0),D(3,V3).

设°(xo,0)(OWxoW2),则0人=6-*0,0D=(3-x0»

A2

OA-OD=(y-x0)X(3-x0)4-xV3=x0-yx0+3'

当x0斗，即此7枷，水•,小.

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量共线的充要条件的应用，考查计算能力.

22.（12分）某校全体教师年龄的频率分布表如表所示，其中男教师年龄的频率分布直方图

如图所示.已知该校年龄在35岁以下的教师中，男女教师的人数相等.

年龄[25,30）[30,35）[35,40）[40,45）[45,50）[50,55）[55,60）合计

（岁）

人数681123189580

频率

（II）若按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，求男女教师抽取的人数；

（III）若从年龄在[55,60）的教师中随机抽取2人，参加重阳节活动，求至少有1名女

教师的概率.

【分析】（I）根据频率分布直方图的定义和性质，求得"的值.

（II）利用分层抽样的定义和方法，求出男女教师抽取的人数.

（III）先求出所有的情况，再求出至少有1名女教师的情况，可得至少有1名女教师的

概率.

【解答】解：（I）由男教师年龄的频率分布直方图得（0.012+24+2X0.024+0.048+0.060）

义5=1,

解得4=0.016.

（II）该校年龄在35岁以下的男女教师人数相等，且共14人，，年龄在35岁以下的男

教师共7人.

由（I）知，男教师年龄在[25,35）的频率为（0.012+0.016）X5=0.14,

男教师共有」一二50（人），女教师共有80-50=30（人），

0.14°

•••按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，则男教师抽取的人数为

16乂意=10（人），

oU

女教师抽取的人数为16X瑞=6人.

(III)年龄在[55,60)的教师中，男教师为0.016X5X50=4(人)，则女教师为1人，

从年龄在[55,60)的教师中随机抽取2人，共有10种可能情形，

其中至少有1名女教师的有4种情形，

故所求概率为

105

【点评】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样的定义和方法，属于基础题.

23.(12分)将函数f(x)=acos(f-x+■卷)的图象向右平移1个单位，得到函数g(x)

的图象.

(I)求y=/(x)g(x)的单调递增区间；

(II)设O为坐标原点，直线2x+2y-1=0与函数y=/(x)g(x)的图象自左至右相交

于点A,B,C,求(赢+反)•丽的值.

【分析】(I)由函数y=4sin(3x+cp)的图象变换可求g(x),利用三角函数恒等变换

的应用可求y=/(x)g(x)的解析式，根据余弦函数的单调性即可求解y=f(x)g(x)

的单调递增区间.

(II)由题意可求直线〃+2y-1=0与x轴的交点为(之，0)，利用余弦函数的图象和

性质可得水+权=2而，根据平面向量的运算即可求解.

【解答】解：(I)由于g(x)=V^cos[^-(x-l)+^_]=V^cos(^-x^^_>

可得：

y=f(x)g(x)=V2cos(-^x+^~)X&cos(-^-x-^-)=2cos(~^-x+^-)sin(-^-x4^-)=sin(兀xj

令2E:-HWTIXW2%TI,(&€Z),解得：2k-\WxW2k,(%Ez),

可得：y=fCx)g(x)的单调递增区间是：[2攵7,2k](依z).

(II)直线2x+2y-1=0与x轴的交点为弓，0),即为函数y=/(x)g(x)的对称中

心，

可得：B(A-(0),且A,C关于点B对称，

可得：0A+0C=20B-

可得：演+羽）•祈=2而2=2X（寺）2寺

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数图象的变换和单调性，属中档

题.

24.（12分）（普通中学做）使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付

方式，某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润y（万元）与每天使用支付宝和微信

支付的人数x（千人）具有线性相关关系，并得到最近一周x