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文档简介
2018-2019学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共14小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知平面向量£(x,3),b=(l,x-2)1若W与工同向,则实数x的值是()
A.-1B.1c.-3D.3
2.(5分)sinllO0cos40°+cos70°sin320°=()
A.LB.返
c.1D.
22T2
3.(5分)总体由编号为01,02,…,60的60个个体组成,利用下面的随机数表选取5个
个体,选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字,
则选出的第5个个体的编号为()
50446644296706580369803427188361464223
91674325745883110330208353122847736305
A.42B.36C.22D.14
4.(5分)已知|a|=1,|b|=2>且Zj_(Z+E),则W在诂向上的投影为()
A.-1B.1C..AD.工
22
5.(5分)执行如图所示的程序语句,输出的结果为()
S=0,〃=1
Do
S=S+―-—
n(n+l)
n=M+1
LoopWhilen<10
输出S
A.WB.-LC.D.1
111090110
6.(5分)如图,正方形的边长为a,以A,C为圆心,正方形边长为半径分别作圆,在正
方形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()
7.(5分)已知函数f(x)=sin(3x+(p)(o)>0,|0|<号)的部分图象如图所示,则
u),<p的值分别是()
nir
A.2,2兀B.2K,C.1,《D.1,A
630O
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入〃=7,则输出C=()
苧
Q=,4+51
1-=8|
18三C1
IAr=+11
(^1
A.5B.8C.13D.21
9.(5分)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,
则向量/(a,b)与向量3=(2,-1)垂直的概率为()
A•工B•工C.AD.L
6432
10.(5分)某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示,执行如图程序框图,若输入
的3(i=l,2,…,20)分别为这20名学生的考试成绩,则输出的结果为()
入q,,a2c
.*T
|n=0J=1|
82
945
10347
11225
123467
135679
14668
A.11B.10C.9D.8
11.(5分)(普通中学做)若sin(a-)二2sin(a+-:),则tan(2a-:)=(
A.-7B.-A.C.7D.1.
77
12,(重点中学做)若sin(a^一鼠)=cosasin■了,则3兀=()
cos(CL—)
A.1-B•工C.2D.3
23
13.(5分)(普通中学做)如图,在矩形A8C。中,\AB\=2f|BC|二点。为A8的中
点,点E在边上,点厂在边4。上,且NEOF=90°,则旧网的最大值是()
c•平D.V?
14.(重点中学做)如图,在矩形ABCD中,|AB|=4,|3C1=2,点P满足|CP|=1,记a=AB•屈,
b=AC-AP-c=AD-AP>则小b,c的大小关系为()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共2()分.
15.(5分)已知点A(1,-2),8(-2,-1),若向量正=(o,3),则向量前=-
16.(5分)函数/(x)=2sin2x+sin2r的最小正周期为.
17.(5分)某县现有高中数学教师500人,统计这500人的学历情况,得到如下饼状图,
该县今年计划招聘高中数学新教师,只招聘本科生和研究生,使得招聘后该县高中数学
专科学历的教师比例下降到8%,且研究生的比例保持不变,则该县今年计划招聘的研究
生人数为.
■研究生
■本科生
专科生
18.(5分)如图,在aABC中,ADLAB,前=正而,I诟=1,则正•屈=
19.(重点中学做)如图,以AB为直径的圆O中,|A8|=2,C,D,G在圆O上,ZAOD
=ZBOC,DEA.ABT'E,CFJ_AB于凡EG=FG,记△OA。,△OBC,△EFG的面积
和为s,则s的最大值为
AB
G
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
TT
20.(12分)已知函数f(x)=4sinxcos(xz-)-!,
6
(I)求f(需)的值;
(II)若f(xo)>1,求X0的取值范围.
21.(12分)如图,在平面四边形488中,已知而二2就,|前|二|而|=2,BA-BC=b
。为线段3c上一点.
(I)求NABC的值:
(II)试确定点。的位置,使得赢•而最小.
22.(12分)某校全体教师年龄的频率分布表如表所示,其中男教师年龄的频率分布直方图
如图所示.己知该校年龄在35岁以下的教师中,男女教师的人数相等.
年龄[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)[55,60)合计
(岁)
人数681123189580
(I)求图2中a的值;
(0)若按性别分层抽样,随机抽取16人参加技能比赛活动,求男女教师抽取的人数;
(III)若从年龄在[55,60)的教师中随机抽取2人,参加重阳节活动,求至少有1名女
教师的概率.
23.(12分)将函数£&)=亚<:05(三乂4)的图象向右平移1个单位,得到函数g(x)
的图象.
(I)求),=/(x)g(x)的单调递增区间;
(II)设O为坐标原点,直线2x+2y-1=0与函数),=/(x)g(x)的图象自左至右相交
于点A,B,C,求(丞+羽)•根的值.
24.(12分)(普通中学做)使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付
方式,某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润y(万元)与每天使用支付宝和微信
支付的人数x(千人)具有线性相关关系,并得到最近一周x,y的7组数据如表,并依
此作为决策依据.
周一周二周三周四周五周六周日
X13162622252930
(千人)
y7111522242734
(万元)
(I)作出散点图,并求出回归方程、=。+尿(a,6精确到0.01);
(II)超市为了刺激周一消费,拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动,总
奖金7万元.根据市场调查,抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加7千人,
试决策超市是否有必要开展抽奖活动?
(HI)超市管理层决定:从周一到周日,若第二天的净利润比前一天增长超过两成,则
对全体员工进行奖励,在(II)的决策下,求全体员工连续两天获得奖励的概率.
7777__
参考数据:£走3951,Ey:=3340,£Xiy=3544,£(x-x)(y_-y)=324-
i=li=li=li=l
n__n__
£(Xj-x)仇-y)£XiVi-n*x*y
参考公式:一.-,a^-b-r
£(xi'x)£x:-n・x
i=li=l
25.(重点中学做)2019年,河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式,
即语文、数学、英语必考,然后考生先在物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、
化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划,甲同学对高一一年来的七次考试成绩
进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(I)若甲同学随机选择3门功课,求他选到物理、地理两门功课的概率;
(II)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科?并说明理由;
(III)甲同学发现,其物理考试成绩〉(分)与班级平均分x(分)具有线性相关关系,
统计数据如表所示,试求当班级平均分为50分时,其物理考试成绩.
X(分)57616572747784
y(分)76828285879093
参考数据:£x:=34840,£y:=50767,£X1y.=41964,
i=li=li=l
7__
£(x「x)(yj-y)=314
i=i
n__n__
£(x「x)(y「y)£xiyi-n-x-y
参考公式:---------L1--------------'2力工4(计
2
E:(X1-x)£x,n・r
i=li=l
算2,a寸精确至UO91).
物理成绩历史成绩
69
676
7522802
309468
请考生在第22・23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
26.(10分)某算法框图如图所示.
(I)求函数y=/(x)的解析式及f[f(2L)]的值;
6
(II)若在区间[-2,2]内随机输入一个x值,求输出y的值小于0的概率.
/输入x/
/输出),/
27.如图1,单位圆0:x?+y2=i与x轴正半轴相交于点p,圆。上的动点。从点p出发沿
逆时针旋转一周回到点P,设NP0Q=x(0Wx<2ir),△OP。的面积为y(当0,P,Q
三点共线时,y=0),_y与x的函数关系如图2所示的程序框图.
(I)写出程序框图中①②处的函数关系式;
2018-2019学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共14小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知平面向量£(x,3))b=(l,x-2>若W与4同向,则实数x的值是()
A.-1B.1C.-3D.3
【分析】根据Z与4同向即可得出Z//E,从而得出x(x-2)-3=0,解出x并验证是否
满足二,了同向即可.
【解答】解::a与b同向;
aIIb:
(x-2)-3=0;
解得元=-h或3;
①x=-l时,£(-!,3),b=(l,-3A方向相反,不合题意,舍去;
②x=3时,短⑶3),b=(l,1>方向相同;
,x=3.
故选:D.
【点评】考查两向量同向、反向的定义,平行向量的坐标关系,向量数乘的几何意义.
2.(5分)sinllO0cos40°+cos70°sin320°=()
A.1B.区C..XD.
2222
【分析】由题意利用诱导公式、两角差的正弦公式,求得要求式子的值.
【解答】解:sinl10°cos40°+cos70°sin320°=sin70°cos40°-cos70°sin400=sin
(70°-40")=sin30°=L
2
故选:A.
【点评】本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式的应用,属于基础题.
3.(5分)总体由编号为01,02,…,60的60个个体组成,利用下面的随机数表选取5个
个体,选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字,
则选出的第5个个体的编号为()
50446644296706580369803427188361464223
91674325745883110330208353122847736305
A.42B.36C.22D.14
【分析】由简单随机抽样得:选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22,得解.
【解答】解:由随机数表可得:从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右
选取两个数字,选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22,
即选出的第5个个体的编号为22,
故选:C.
【点评】本题考查了简单随机抽样,属基础题.
4.(5分)已知IGl=l'|b|=2>且Zj_(W+E),则W在己方向上的投影为()
A.-IB.IC.D.J-
22
【分析】通过向量的垂直,得到向量的数量积的值,然后求解W在E方向上的投影.
【解答】解:Gi=i,|E1=2,且Z1G+E),
可得Z2+W・E=°,所以
则W在芯方向上的投影芸旦=3=—L
|b|22
故选:C.
【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查转化思想以及计算能力.
5.(5分)执行如图所示的程序语句,输出的结果为()
S=0.〃=1
Do
S=S+―-—
〃(〃+1)
〃=〃+1
LoopWhilen<10
输出S
A.IP.B.aC.D.1
iiio90no
【分析】模拟程序的运行,可得程序的功能是计算并输出s=」_…—的
1X22X39X10
值,利用裂项法即可计算得解.
【解答】解:模拟程序的运行,可得程序的功能是计算并输出…
1X22X3
由于s—―-_+--_+•••+―I——•=(1-.L)+(-L_L)+…(L-_1_)=i-
1X22X39X102239101010
故选:B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序算法的应用,模拟程序的运行即可得解,属于
基础题.
6.(5分)如图,正方形的边长为“,以A,C为圆心,正方形边长为半径分别作圆,在正
方形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()
【分析】将阴影部分拆分成两个小弓形,从而可求解出阴影部分面积,根据儿何概型求
得所求概率.
【解答】解:如图所示:
阴影部分可拆分为两个小弓形,
则阴影部分面积:S=2义(lKa2J.a2)^lKa2_a2
正方形面积:S=/,
.•.所求概率0=§二=工-1,
S2
故选:D.
【点评】本题考查利用几何概型求解概率问题,属于基础题.
7.(5分)已知函数/(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<.^-)的部分图象如图所示,则
3,<p的值分别是()
【分析】根据图象可得周期7=4(卫二工)=兀,从而得到3,再由时,/(x)
k123112
取得最小值,可得(p的值.
【解答】解:由图象知,周期7=4("三)=兀,,3=2,
又当工=卫二时,fG)取得最小值,
12
•・7•兀2X人^+3兀0玛T2/k广兀、(k€Z),
JTIT
0=q+2k兀(k^Z)*>
•._K•(P—.
3
故选:B.
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了数形结合思想,属基础题.
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入〃=7,则输出C=()
C.13D.21
【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量C的
值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
n—1,A—l,B—l,k=3
满足条件ZW7,执行循环体,C=2,4=1,8=2,k=4
满足条件2<7,执行循环体,C=3,4=2,8=3,k=5
满足条件攵W7,执行循环体,。=5,A=3,8=5,k=6
满足条件攵W7,执行循环体,。=8,A=5,B=8,女=7
满足条件ZW7,执行循环体,C=13,A=8,B=13,k=8
此时,不满足条件ZW7,退出循环,输出C的值为13.
故选:C.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得
出正确的结论,是基础题.
9.(5分)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数“,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数切
则向量去(a,b)与向量左(2,-1)垂直的概率为()
A.LB.1C.1D,
6432
【分析】由古典概型及其概率计算公式得:向量於(a,b)与向量二=(2,-1)垂直的概
率为且=工,得解.
124
【解答】解:从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数“,从集合{4,6,8}中随机抽取一
个数b,
其基本事件有C;・c;=i2个,
由向量/(a,b)与向量左(2,-1)垂直,
则2“-。=0,其基本事件有(2,4),(3,6),(4,8)共3个,
即向量;F(a,b)与向量左(2,-1)垂直的概率为
故选:B.
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式,属基础题.
10.(5分)某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示,执行如图程序框图,若输入
的)(i=l,2,20)分别为这20名学生的考试成绩,则输出的结果为()
【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于120的人数,由茎叶图知:
成绩大于等于120的人数为11,从而得解.
【解答】解:由算法流程图可知,其统计的是成绩大于等于120的人数,
所以由茎叶图知:成绩大于等于120的人数为11,
因此输出结果为11.
故选:A.
【点评】本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识,是一
道综合题.
11.(5分)(普通中学做)若sin(a-^~)=2sin(a则tan(2a-:)=()
A.-7B.C.7D.L
77
【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得tana的值,再利用二倍角公式求得tan2a
的值,从而求得要求式子的值.
【解答】解:若sin(Ct-千)=2sin(a+■卷),即乎^ina-^^cosa=2sina八尊_+2cosa
即tana=-3,
2
,tan2a=—__3_
—2tan。;
1-tan2a4
则tan(2a-工)=**1=_工,
41+tan2a7
故选:B.
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用,属于基础题.
sin(a-^~)
12.(重点中学做)右sin(a'—T-)=COS(Isin_7_,则37T~)
cos(a,-)
A.1B.1C.2D.3
23
【分析】由题意利用两角和差的三角公式,诱导公式、同角三角函数的基本关系,先求
Wtana=2tan2L,再代入要求的式子,可得结论.
8
-7T7TTT
【解答】解:右sin(a一?)二cosasirr^,贝sinacos——-cosasin—―=cosasin--,
888
兀兀
即sinacos---=2cosasin---,
88
即tana=2tan』_,
8
,n、7T7T.兀.兀
sin(a^~)sin。cos-^-cosasirr-^sinClcos-^-cosasi
o1rT
cos(a普)3兀,3兀7T7T
cosacos+sinCIsincosasin^^+sinClcos~^~
oooooo
7171
tana-tangtarr^-
1
7T713
tail-+tanQ.Stan-^-
oo
故选:B.
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式,诱导公式、同角三角函数的基本关系,属
于基础题.
13.(5分)(普通中学做)如图,在矩形A2CQ中,|AB|=2,|BC|二F,点。为48的中
点,点E在边BC上,点F在边AZ)上,且NEOF=90°,则|EQ的最大值是()
C.平D.有
【分析】设NBOE=a,用含有a的关系式表示OE,OF,利用勾股定理可求EF,从而
可求.
【解答】解:设NBOE=a,
在Rt^BOE中,08=1,/B=90°,NBOE=a,:.0E=_k__,
cosa
在RtZ\AO尸中,OA=1,/A=90°,ZAFO=a,
:.0F=—1.
sin。
又NEOF=90",
EF=J1+1二=-------------=-------,
Vsin2acos2aSinacosasin2a
,当点尸在点。时,这时角a最小,此时a=?L,此时sin2a最小.
_6
3四一区-3.
~2~
故选:A.
【点评】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用,考查了利用数
学知识解决实际问题的能力,及推理运算的能力.
14.(重点中学做)如图,在矩形A8C。中,|A8=4,|BC|=2,点P满足|而|=1,记a=靛•屈,
b二AJAP,c=AD・AP,则“,b,c的大小关系为()
A.a>h>cB.a>c>bC.b>a>cD.h>c>a
【分析】以。为原点,CD,CB所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
利用坐标表示向量,计算平面向量的数量积,再比较大小.
【解答】解:以C为原点,CD,C8所在的直线为x轴,y轴,
建立如图所示的坐标系,如图所示;
贝ijA(-4,-2),B(0,-2),C(0,0),D(-4,0),
/.(4,0),AC=(4,2),AD=(0,2),
VCP=1,且尸在矩形内,
,可设P(cosa,sina),(0WaV2ir),
/.AP=(cosa+4,sina+2),
.'.a=AB*AP=4cosa+16,
h=AC*AP—4cosa+2sina+18,
c=AD*AP=2sina+4,
:・b-a=2sina+2>0,即b>a;
又c-a=2sina-4cosa-12=2^/^sin(a+(p)-12<0,则c<a;
综上,有b>a>c.
故选:C.
【点评】本题考查了向量在几何中的应用,建立坐标系是关键,属于中档题.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分.
15.(5分)已知点A(1,-2),B(-2,-1),若向量过=(o,3),则向量丽=(3,
2).
【分析】可求出标=(-3,1)>根据玩=菽-直进行向量坐标的减法运算即可.
【解答】解:AB=(-3,1);AC=(0,3),
•'-BC=AC-AB=(3,2>
故答案为:(3,2).
【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法,向量减法的几何意义,以及向量坐标
的减法运算.
16.(5分)函数/(x)=2sin2x+sin2x的最小正周期为TT.
【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出
结论.
【解答】解:函数/(X)=2sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+l=J^in(2A---)+1的最小
4
正周期为空=TT,
2
故答案为:TT.
【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性,属于基础题.
17.(5分)某县现有高中数学教师500人,统计这500人的学历情况,得到如下饼状图,
该县今年计划招聘高中数学新教师,只招聘本科生和研究生,使得招聘后该县高中数学
专科学历的教师比例下降到8%,且研究生的比例保持不变,则该县今年计划招聘的研究
生人数为50.
■研究生
■本科生
专科生
【分析】根据题意,设今年招聘的研究生x人,本科生y人,由扇形图分析可得现有大
500+x+y=0'08
专生和研究生的人数,进而可得〈变形解可得x的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,设今年招聘的研究生X人,本科生y人,
又由现有高中数学教师500人,其中大专生500X10%=50人,研究生500X40%=200
人,
50
-0.08
―500+x+y
则有<…,变形可得=1
200+x200+x
「0.4
,500+x+y
解可得:x=5O;
故答案为:50.
【点评】本题考查扇形图的分析,注意分析扇形图中的信息,属于基础题.
..♦1♦'
18.(5分)如图,在aABC中,AD1AB,BC=J^而,IAD=1,贝UAC?AD=_®_.
【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题.
【解答】解:AC•AD=IACI•®IcosZDAC-
V|AD|二1,
AAC•标二|同|•丽cos/DAC=|AC|•cos/DAC,
••/n
•NBAC二万TNDAO
cosZDAC=sinZBAC9
AC-AD=|AC!•|AD|cosZDAC=|AC|・cos/DAC=|AC|sin/BAC,
在aABC中,由正弦定理得1^2=__匝J—变形得|AC|sin/BAC=|BC|sinB,
sinBsinZBAC
AC-AD=|AC|,|AD|cosZDAC=|AC|'cosZDAC=|AC|sinZBAC.
=|BqsinB=|BC|-||^-=V3'
故答案为旧.
【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强
平面向量的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题
19.(重点中学做)如图,以AB为直径的圆0中,\AB\=2,C,D,G在圆。上,ZAOD
=ZBOC,DELAB于E,CF±ABTF,EG=FG,记△OAO,△OBC,△EFG的面积
和为S,则S的最大值为—返
【分析】设NAOD=。,利用三角形的面积公式可求
SA)AD=SzkOBC《XlXlXsin8=,sin8,由题意可得EF=2cos。,连接°G,由
OGLEF,利用三角形的面积公式可得S^EFGIX2cos8Xl=cos。,根据两角和的
正弦函数公式可得S=sin8+cos9j历sin(0+亍),利用正弦函数的图象和性质可
求其最大值.
【解答】解:设/AO£>=/BOC=e,则。£>=0A=0C=08=l,
SAOAD=SAOBC总X1X1Xsin8卷sin8,
*.*OE=ODcosQ=cos0=OF,可得:EF=2cos0,
连接OG,可得。G_LER
'S/kEFG斗X2cos8XI二cos8,
兀
•,S二sinB+cos0zV2sin(9+-^->
当e百寸,s二近.
4maxv乙
故答案为:瓜
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,两角和的正弦函数公式,正弦函数的图象
和性质在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
TT
2。・(12分)已知1函数f(x)=4sinxcos(x~^~)-l・
6
(I)求f(笔-)的值;
(II)若/(刈)>1,求刈的取值范围.
【分析】(I)由题意利用三角恒等变换化简/(X)的解析式,从而求得f(等)的值.
(II)若人刈)>1,可得sin(2x1--)从而可得2Zni+^L<2x()-JLv2匕r+.5兀..
口62666
由此求得求;0)的取值范围.
【解答】解:([)f(x)=4sinx(cosxcos-7-+sinxsin-7-)-l=
66
4sinx(-^-cosx+ysinx)-1=2V3sinxcosx+2sin2x-1=V3sin2x-cos2x=
/兀、
2sin(2xT-)*
6
.,5兀、/5兀兀、2兀l
,,f(-j-^-)=2sin(2X-....-)=2sin-7—=A/3-
1Z1Z0o
(11)由/(刈)>1,得sin(2x-.•.2E+?<2ro-工<2hr+铲
062666
解得^TT+_<^)<^n+—,kez,
62
即xo的取值范围是(KT+2L,^rr+—),kez.
62
【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的图象和性质,属于中档题.
21.(12分)如图,在平面四边形A8C。中,已知而二2就,|BC|=|CD|=2-BA-BC=1,
O为线段BC上一点.
(I)求/ABC的值;
**
(II)试确定点。的位置,使得OA・ODM小.
rD
【分析】(I)通过向量共线以及向量的数量积转化求解即可.
(II)法一:设丽二t前(0WW1),通过水・而=4产-7f+3,利用二次函数的性质求
解最小值即可.
法二:建立如图平面直角坐标系,求出相关的坐标,然后求解向量的数量积转化求解最
小值即可.
【解答】解:(I)VCD=2BA)|CD\=2>ABAIICD.|AB|=1>
VBA-BC=1>•••|BA|-|BC|cosZABC=l«即1X2COSNA8C=1,cos/ABc],
VZABC&(0,TT),/.ZABC=—•
3
(H)法一:设的十标(OWrWl),则羽=(l-t)前,AOA=BA-BO=BA-tBC«
0D=0C+CD=2BA+(l-tW
••0A•0D=(BA-tBC)•[2BA+(1-t)BC]=2BA+(l-3t)BA-BC-t(l-t)BC
=2X产+(i-3f)xi-r(1-r)X4=4»-7r+3,
当BPBO=700^,赢・而最小.
法二:建立如图平面直角坐标系,则3(0,0),A(l-,,C(2,0),D(3,V3).
设°(xo,0)(OWxoW2),则0人=6-*0,0D=(3-x0»
A2
OA-OD=(y-x0)X(3-x0)4-xV3=x0-yx0+3'
当x0斗,即此7枷,水•,小.
【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量共线的充要条件的应用,考查计算能力.
22.(12分)某校全体教师年龄的频率分布表如表所示,其中男教师年龄的频率分布直方图
如图所示.已知该校年龄在35岁以下的教师中,男女教师的人数相等.
年龄[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)[55,60)合计
(岁)
人数681123189580
频率
(II)若按性别分层抽样,随机抽取16人参加技能比赛活动,求男女教师抽取的人数;
(III)若从年龄在[55,60)的教师中随机抽取2人,参加重阳节活动,求至少有1名女
教师的概率.
【分析】(I)根据频率分布直方图的定义和性质,求得"的值.
(II)利用分层抽样的定义和方法,求出男女教师抽取的人数.
(III)先求出所有的情况,再求出至少有1名女教师的情况,可得至少有1名女教师的
概率.
【解答】解:(I)由男教师年龄的频率分布直方图得(0.012+24+2X0.024+0.048+0.060)
义5=1,
解得4=0.016.
(II)该校年龄在35岁以下的男女教师人数相等,且共14人,,年龄在35岁以下的男
教师共7人.
由(I)知,男教师年龄在[25,35)的频率为(0.012+0.016)X5=0.14,
男教师共有」一二50(人),女教师共有80-50=30(人),
0.14°
•••按性别分层抽样,随机抽取16人参加技能比赛活动,则男教师抽取的人数为
16乂意=10(人),
oU
女教师抽取的人数为16X瑞=6人.
(III)年龄在[55,60)的教师中,男教师为0.016X5X50=4(人),则女教师为1人,
从年龄在[55,60)的教师中随机抽取2人,共有10种可能情形,
其中至少有1名女教师的有4种情形,
故所求概率为
105
【点评】本题主要考查频率分布直方图,分层抽样的定义和方法,属于基础题.
23.(12分)将函数f(x)=acos(f-x+■卷)的图象向右平移1个单位,得到函数g(x)
的图象.
(I)求y=/(x)g(x)的单调递增区间;
(II)设O为坐标原点,直线2x+2y-1=0与函数y=/(x)g(x)的图象自左至右相交
于点A,B,C,求(赢+反)•丽的值.
【分析】(I)由函数y=4sin(3x+cp)的图象变换可求g(x),利用三角函数恒等变换
的应用可求y=/(x)g(x)的解析式,根据余弦函数的单调性即可求解y=f(x)g(x)
的单调递增区间.
(II)由题意可求直线〃+2y-1=0与x轴的交点为(之,0),利用余弦函数的图象和
性质可得水+权=2而,根据平面向量的运算即可求解.
【解答】解:(I)由于g(x)=V^cos[^-(x-l)+^_]=V^cos(^-x^^_>
可得:
y=f(x)g(x)=V2cos(-^x+^~)X&cos(-^-x-^-)=2cos(~^-x+^-)sin(-^-x4^-)=sin(兀xj
令2E:-HWTIXW2%TI,(&€Z),解得:2k-\WxW2k,(%Ez),
可得:y=fCx)g(x)的单调递增区间是:[2攵7,2k](依z).
(II)直线2x+2y-1=0与x轴的交点为弓,0),即为函数y=/(x)g(x)的对称中
心,
可得:B(A-(0),且A,C关于点B对称,
可得:0A+0C=20B-
可得:演+羽)•祈=2而2=2X(寺)2寺
【点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及三角函数图象的变换和单调性,属中档
题.
24.(12分)(普通中学做)使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付
方式,某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润y(万元)与每天使用支付宝和微信
支付的人数x(千人)具有线性相关关系,并得到最近一周x
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