2021-2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省荷泽市郛城县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答

题

1.如果证明平行四边形ABC。为正方形，那么我们需要进一步证明（）

A.AB=A。且AC=8。B.AB=A。且AC_LB£>

C.乙4=/8且叱=8。D.AC和8。互相垂直平分

2.已知2+百是方程x2-4x+c=0的一个根,则方程的另一个根和c的值分别为（）

A.-6,-1B.2-yf2,-1C.2-百，1D.百-6,1

3.)

4.若点A(-3,yi),8(2,”)，C(5,（。为常数）的

x

图象上，则》，”，然的大小关系是（)

A.y\<y2<y3B.y\<y3<yiC.yi<y3<y\D.y3<y2<yi

5.如图，河坝横断面迎水坡A8的坡比为1：如.坝高为4机,则AB的长度为（）

8

D.16/

6.关于二次函数y=N-4x+7,下列说法中正确的是（)

A.函数图象是抛物线，且开口向下

B.函数图象与x轴有两个交点

C.当xW2时，y随x的增大而增大

D.函数图象的顶点坐标是（2,3）

7.已知：如图，直线》=丘+1与双曲线”=2在第一象限交于点P（1,f）,与x轴、y

x

轴分别交于A,8两点，则下列结论错误的是（）

C.k=1D.当x>l时，j2>yi

8.如图，一段抛物线y=-N+6x（0WxW6）,记为抛物线G,它与x轴交于点。、Ai；将

抛物线Ci绕点Ai旋转180°得抛物线C2,交x轴于点4;将抛物线C2绕点4旋转180°

得抛物线C3,交x轴于点4,…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2021,

m）在此“波浪线”上，则〃?的值为（）

二、填空题（每小题3分，共18分）

9.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个

骰子一次，则向上一面的数字大于3的概率是.

10.在平面直角坐标系中，已知矩形O4BC1与矩形0ABe关于坐标原点O位似，且矩形

0481G的面积等于矩形0ABe面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为B（8,6）,

则B的对应点Bi的坐标为.

11.如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是.

RI5

12.已知反比例函数），=K,当x<0时，），随X的增大而减小，那么一次函数y=-日+A的

x

图象经过第象限.

13.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度A8,飞机上的测量人员在C处测得A,

B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度C”为1200米，且点H,A,B

在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）.

14.如图，抛物线），=-N-2r+3与x轴交于4、B两点,与y轴交于C点，M点在抛物线

的对称轴上,当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为.

三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图，在AABC中，/4CB=90°,。点是AB的中点，DE、DF分别是ZBOC、ZADC

的角平分线.求证：四边形FDEC是矩形.

16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量,

增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件

衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那

么每件衬衫应降价多少元？

17.小明想看中国古典名著：《红楼梦》、《水浒传》、《西游记》、《三国演义》（别用

字母A、B、C、。依次表示这四本书），他把这四个字母分别写在四张完全相同的不透

明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面，小明要用抽签的方式

决定看哪本书.

（1）小明从中随机抽取一张卡片是《红楼梦》（A）的概率.

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中

随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母；请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽

取的卡片中有一张是《三国演义》（。）的概率.

18.如图，在△ABC和△/）£；（；中，/BCE=/ACD.

（1）求证：AABCs△£>£（7；

（2）若ABC：S&DEC—4：9.BC—6,求EC的长.

19.某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定

制作每个密封罐所需钢板的面积.（单位：毫米）

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线），=x+2与反比例函数），=区的图象交于点P（l,

X

a）.

（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；

（2）点。（小0）是x轴上的一个动点，若PQW5,直接写出〃的取值范围.

21.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70〃加/e,若该渔船由西向东航行30〃加/e到

达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的

距离.

22.已知二次函数的图象经过点（0,-3）,且顶点坐标为（-1,-4）.

（1）求该二次函数的解析式;

（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,求△ABC的面积.

23.矩形AO8C中，OB=4,OA=3,分别以02,0A所在直线为x轴，y轴，建立如图所

示的平面直角坐标系，尸是8c边上一个动点（不与B,C重合），过点尸的反比例函数

丫=区（无>0）的图象与边4c交于点E.

x

（1）当点尸为边的中点时，求点E的坐标；

（2）连接EF,求/EFC的正切值.

24.如图，过C点的直线产-*2与x轴，y轴分别交于点A,8两点，且8C=AB,

过点。作C〃_Lx轴，垂足为点”，交反比例函数y=K（x>0）的图象于点连接O。,

x

△。。〃的面积为6.

(1)求k值和点。的坐标；

(2)如图，连接BC,0C,点E在直线y=-点-2上，且位于第二象限内，若△BOE

的面积是△0C。面积的2倍，求点E的坐标.

参考答案

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答

题

1.如果证明平行四边形ABC。为正方形，那么我们需要进一步证明（）

A.A8=A。且AC=B。B.AB^ADS.AC1.BD

C.=且AC=8QD.4c和互相垂直平分

【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案.

解：4、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所

以能判断四边形ABCD是正方形；

B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形,

所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；

C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明

四边形A8CD是矩形，不能判断四边形ABCO是正方形；

。、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以

不能判断四边形ABCD是正方形.

故选：A.

2.已知2+百是方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（）

A.-6,-1B.2-yf2,-1C.2-1D.-s/3-6,1

【分析】设方程的另一个根为r,利用根与系数的关系得到2+J§+r=4,（2+«）・r=c,

然后先求出,,再计算c的值.

解：设方程的另一个根为，，

根据根与系数的关系得2+百+/=4,（2+百）・f=c,

所以f=2-代，c=（2+^/3）（2-百）=1,

即方程的另一个根和c的值分别为2-M，1.

故选：C.

3.如图所示几何体的左视图是（）

【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画

虚线，据此进行判断即可.

24

4.若点A(-3,yi),B(2,”)，C(5,p)都在反比例函数>=且」上"为常数)的

X

图象上，则yi,”的大小关系是()

A.y\<yi<y3B.y\<y3<yiC.yi<y3<y\D.2Vyi

【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限

内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可.

解：•・•反比例函数的解析式为(。为常数)，

x

・・・反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，

・・,点A(-3,yi),8(2,券)，C(5,”)都在反比例函数'=三_1工(。为常数)的

x

图象上，

・・・A在第三象限内，B、。在第一象限内，

.\yi<0,OV”V”,

.\yi<y3<y2,

故选:B.

5.如图，河坝横断面迎水坡A5的坡比为1：V3.坝高2C为4,〃，则A8的长度为（）

C

16/〃

【分析】根据坡度的概念求出AC,再根据勾股定理计算，得到答案.

解：：迎水坡AB的坡比为1：

.BC_1

..而一后，

：BC=4〃z,

'.AC—4y[2m,

由勾股定理得：AB=-\/BC2+AC2~742+（4^/3）2~8（机），

故选：B.

6.关于二次函数y=N-4x+7,下列说法中正确的是（）

A.函数图象是抛物线，且开口向下

B.函数图象与x轴有两个交点

C.当xW2时，y随x的增大而增大

D.函数图象的顶点坐标是（2,3）

【分析】利用二次函数的性质直接对4进行判断；方程x2-4x+7=0的判别式小于0可

对B进行判断；通过配方把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质对C、。进行

判断.

解：Va=l>0,

.•.抛物线开口向上，所以A选项的说法错误；

；y=0时，N-4x+7=0,

而-4X7=-12<0,

函数图象与x轴没有交点，所以8选项的说法错误；

:）,=尤2一氧+7=（x-2）2+3,

.♦•抛物线的对称轴为直线=2,当xW2时，y随x的增大而减小，所以C选项的说法错误;

抛物线的顶点坐标为（2,3）,所以。选项的说法正确.

故选：D.

7.已知：如图，直线），1=去+1与双曲线丫2=2在第一象限交于点尸（1,f）,与x轴、y

x

轴分别交于A,B两点，则下列结论错误的是（）

B.aAOB是等腰直角三角形

D.当%>1时，yz>y\

【分析】利用待定系数法求得f,&,利用直线的解析式求得A,B的坐标，可得线段。4,

。8的长度，利用图象可以判断函数值的大小.

解：•.•点P（1,力在双曲线券=2上，

x

正确；

A选项不符合题意；

：.P(1,2).

,：P(1,2)在直线yi=fcv+l上,

，2=&+1.

Ak=1,正确；

・・・C选项不符合题意；

・・.直线AB的解析式为y=x+l

令x=0,则y=l,

：.B(0,1).

・・・。8=1.

令y=0,则x=-1,

•'A(-1,0).

：.OA=\.

：・OA=OB.

为等腰直角三角形，正确;

:・B选项不符合题意；

由图象可知，当尤>1时，y\>yi-

工。选项不正确，符合题意.

故选：D.

8.如图，一段抛物线y=-/+6x(0<xW6),记为抛物线G,它与x轴交于点O、4；将

抛物线Ci绕点Ai旋转180°得抛物线。2,交x轴于点A2;将抛物线C2绕点A2旋转180°

得抛物线G,交工轴于点A3,…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2021,

〃?)在此“波浪线”上，则"?的值为()

【分析】根据产-X2+6X(0WXW6)可以得到：整个函数图象每隔6X2=12个单位长

度，函数值就相等，而2021=12X168+5,由此即可计算.

解：Vy=-x2+6x=-x(x-6)(0WxW6),

・・・4(6,0),

・・・整个函数图象每隔6义2=12个单位长度，函数值就相等，

72021=12X168+5,

所以m的值等于x=5时的纵坐标，

所以m=-52+6X5=5.

故选：B.

二、填空题(每小题3分，共18分)

9.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个

骰子一次，则向上一面的数字大于3的概率是《.

【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、

6,共有6种可能，大于3的点数有4、5,6则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点

数大于3的概率.

解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而只有出现点

数为4、5,6才大于3,

所以这个骰子向上的一面点数大于3的概率=g=《.

62

故答案为：

10.在平面直角坐标系中，已知矩形OA4cl与矩形0ABe关于坐标原点O位似，且矩形

0481G的面积等于矩形OA8C面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为8(8,6),

则B的对应点Bi的坐标为(16,12)或(-16,-⑵.

【分析】根据位似图形的性质得到矩形OAiBG与矩形OA8C的相似比为1：2,根据位

似变换的性质计算即可.

解：•••矩形04BC1与矩形OABC关于坐标原点。位似，

矩形OAiBiCis矩形OABC,

•.•矩形O43G的面积等于矩形0ABe面积的4倍，

矩形OAiBiCi与矩形OABC的相似比为1：2,

:点B的坐标为8(8,6),

的对应点用的坐标(8X2,6X2)或(8X(-2),6X(-2)),即(16,12)

或(-16,-12).

11.如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图.

【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可.

解：该几何体的三视图如下:

俯视图

三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图,

故答案为：俯视图.

12.已知反比例函数丫=上，当x<0时，），随x的增大而减小，那么一次函数y=-日+上的

x

图象经过第一、二、四象限.

【分析】先根据反比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出结

论.

解：•.•反比例函数y=K中，当x<0时，y随x的增大而减小，

x

.•・函数图象在第一、三象限，

：.k<Q,

：.-k>0,

一次函数>=-fcr+k的图象经过第一、二、四象限.

故答案为：一、二、四.

13.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,

B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度C”为1200米，且点H,A,B

在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（'巧-1）米（结果保留根号）.

【分析】在RtaAC”和中，利用锐角三角函数，用CH表示出4"、的长,

然后计算出AB的长.

解：由于C£>〃48,

：.ZCAH=ZACD=45a,NB=NBCD=30°

在RtAACH中，ZCAH=45°

.•.A”=C4=1200米，

fLT

在RtAHCB,VtanZB=—

HB

CH_1200

・・riD/.

tan/Btan30

1200_

=V3=1200百（米）・

~3~

:.AB=HB-HA

=1200百-1200

=1200（^3-1）米

故答案为：1200（V3-1）

14.如图，抛物线y=-N-2X+3与x轴交于4、8两点，与y轴交于C点，M点在抛物线

的对称轴上，当点M到点8的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为(-

1,2).

【分析】因为点A关于对称轴的对称点为点B,连接AC,设直线AC与对称轴x=-1

的交点为M,则此时M8+MC的值最小，再求得点M的坐标即可.

解：•.•抛物线y=-炉-2x+3与x轴交于4、8两点，

.•.点A(-3,0),C(0,3)

设直线AC的解析式为y^kx+b,

.•.把4(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=fcc+6,得

/-3k+b=0

\c=3,

解得：［1I,

Ic=3

二直线4c解析式为y=x+3；

设直线AC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MB+MC的值最小.

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2,

：.M（-1,2）.

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1,2）,

三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图，在△ABC中，/4CB=90°,。点是A8的中点，DE、QF分别是NBCC、ZADC

的角平分线.求证：四边形"EC是矩形.

【分析】根据题意可知。口LAC,利用等腰△的＞（?"三合一”的性质证得OEJ_BC,根据

有三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形。ECF是矩形.

【解答】证明：'：ZACB=90°,。是A8的中点，

J.AD^CD,

是/AOC的角平分线，

J.DFLAC.

.•.NCFD=90°,

\"ZACB=90°,。是AB的中点，

：.BD=CD,

'：DE是NBDC的角平分线，

J.DEVBC.

：.ZDEC^90°,

VZCFD=90°,

；NACB=90°,

...四边形QECF是矩形.

16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，

增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件

衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那

么每件衬衫应降价多少元？

【分析】设每件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽

快减少库存，根据每天盈利1200元，可列方程求解.

解：设每件衬衫应降价x元，

由题意得：（40-x）（20+2x）=1200,

B|J2/-60.r+400=0,

-30x+200=0,

（x-10）（x-20）=0,

解得：x=10或x=20

为了减少库存，所以x=20.

故每件衬衫应降价20元.

17.小明想看中国古典名著：《红楼梦》、《水浒传》、《西游记》、《三国演义》（别用

字母A、8、C、。依次表示这四本书），他把这四个字母分别写在四张完全相同的不透

明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面，小明要用抽签的方式

决定看哪本书.

（1）小明从中随机抽取一张卡片是《红楼梦》（A）的概率.

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中

随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母；请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽

取的卡片中有一张是《三国演义》（。）的概率.

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明两次抽取的卡片中有一张是《三国

演义》（。）的结果有6种，再由概率公式求解即可.

解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是《红楼梦》（A）的概率为士；

（2）画树状图如下:

开始

ABCD

/1\/T\/1\/1\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》（。）的结

果有6种,

，小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》（。）的概率为占=5.

122

18.如图，在△ABC和△£>£■€1中，ZA=ZD,NBCE=NACD.

（1）求证：△ABCs/xOEC；

（2）若SAABC：SAOEC=4：9,BC=6,求EC的长.

AEB

【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABCS/YDEC；

（2）由相似三角形的性质可得绘些=（"）2=4-即可求解.

SADECCE9

【解答】证明：（1）..•/BCE=NACD

，NBCE+NACE=ZACD+ZACE,

；.NDCE=NACB,

又\:NA=N。，

MBSXDEC；

（2）,:AABCSADEC；

.SAABC（CB）2=4

^ADECCE9

又；BC=6,

：.CE=9.

19.某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定

制作每个密封罐所需钢板的面积.（单位：毫米）

【分析】首先利用儿何体的三视图确定该几何体的形状，然后根据表面积的计算公式进

行计算即可.

解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径2R为100毫米，高a

为150毫米，

•.•每个密封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的表面积，

衣面积=2TrR2+2nR/7

=2TTX502+2TTX50X150

=20000n（毫米2）.

答：制作每个密封罐所需钢板的面积为20000TT毫米2.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线），=x+2与反比例函数y=K的图象交于点P（l,

（1）求点尸的坐标及反比例函数的解析式；

（2）点。（〃,0）是x轴上的一个动点，若PQW5,直接写出〃的取值范围.

【分析】（1）依据直线y=x+2与反比例函数y=K的图象交于点尸（1,a）,即可得到

X

点尸的坐标为（1,3）,进而得出反比例函数的解析式为y=3.

x

（2）依据点P的坐标为（1,3）,Q（«,0）是x轴上的一个动点，PQW5,即可得到

n的取值范围为-3W〃W5.

解：（1）・.•直线y=x+2与反比例函数丁='的图象交于点尸（1,a）,

x

.•・a=l+2=3.

...点P的坐标为（1,3）,

."=1X3=3,

...反比例函数的解析式为y=-.

x

（2）•.•点P的坐标为（1,3）,Q（〃，0）是x轴上的一个动点，PQW5,

由勾股定理得厚，=4,

二1-4=-3,1+4=5,

：.n的取值范围为-3W〃W5.

21.如图,海中一渔船在4处且与小岛C相距70〃加/e,若该渔船由西向东航行30"〃"/e到

达8处，此时测得小岛C位于8的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的

距离.

【分析】过点C作CDLA8于点。，由题意得：ZBCD=30°,设BC=x,解直角三角

形即可得到结论.

解：过点C作于点力，由题意得：

ZBC£）=30°,设BC=x,则：

在Rt^BCO中，B£>=BC»sin30°=/，CD=BC，cos30°=^~x；

.•.A£>=3oAr,

2

'.'AD^CD^AC2,即：（30+工）2+（近x）2=702,

22

解之得：x=50（负值舍去），

答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里.

22.已知二次函数的图象经过点（0,-3）,且顶点坐标为（-1,-4）.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,求△ABC的面积.

【分析】(1)先设所求函数解析式是y=a(x+1)2-4,再把(0,-3)代入，即可求

小进而可得函数解析式；

(2)令函数等于0,解关于x一元二次方程，即可求4、B两点的坐标；

(3)ZVIBC的面积等于ABXOC的一半.

解：(1)设y=a(x+1)2-4,把点(0,-3)代入得：a=1,

函数解析式y=(x+1)2-4或产/+您-3；

(2)Vx2+2x-3=0,

解得》=1,X2—-3,

；.A(-3,0),fi(1,0),C(0,-3),

23.矩形AOBC中，OB=4,OA=3,分别以OB,所在直线为x轴，y轴，建立如图所

示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点(不与8,C重合)，过点F的反比例函数

y=—(k>0)的图象与边AC交于点E.

x

(1)当点F为边BC的中点时，求点E的坐标;

(2)连接E凡求NEFC的正切值.

【分析】(1)先确定出点A,8坐标，进而求出点C坐标，再用点尸是BC中点，求出

点F坐标，利用待定系数法求出队最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中

即可求出点E坐标；

(2)设出点3),F(4,n),代入反比例函数y=K中得出〃进而用机

x4

表示出CE,。尸即可得出结论.

解：⑴,.・08=4,0C=3,

・・・A(0,3),B(4,0),

・・•四边形AO8C是矩形，

：.ZOAC=ZOBC=90°,AC=O8=4,BC=OA=3,

：.C(4,3),

•.,点尸是BC的中点，F(4,-I),

2

•.•点尸在反比例函数y=K的图象上，

X

2

・二攵=4X—=6,

2

...反比例函数的解析式为丫=旦，

X

♦.•点£在反比例函数y=旦的图象