【高考数学解题指导】分类讨论思想在高中数学各模块中的应用

分类讨论思想在高中数学各模块中的应用

(-)集合与命题问题的分类讨论

【例题1】命题p:2x2—x—l>0,q:d—3以+24<0,若p是q的必要而非充分条

件，求实数〃的取值范围.

【解析】本题考查的是命题的充分与必要条件，而充分与必要条件不易直接表达为代数式,

而若利用集合的思想将其转化为子集关系则可以很容易得到q的解集是p的解集的真子集.

条件问题中运用集合思想的基本思路是：把使命题p、q为真的对象分别看成集合AB,

则有下列结论：

(1)若A=3,则p、q互为充要条件；

(2)若则p是q的充分而非必要条件，q是p的必要而非充分条件；

(3)若A、B之间无任何包含关系，则p、q互为既不充分也不必要条件.

【详解】：记4=卜|2/—%—则4=18,-£[0(1,+8)；

记3={幻兀2-3办+2/<。},则

当a=0时，B=0,显然成立；

(a,2a]a>0,

当aw0时，3，

(2a,a)a<Q

若Q>0,则lWa；若a<0,则a4一L；

2

综上，aGf--00,--jU{0}U(L+°°)-

【例题2】已知集合A和集合B各含有12个元素，ACB含有4个元素，试求同时满足

下面两个条件的集合C的个数：

（I）C^AUB,且C中含有3个元素；（H）CnA#4）（。表示空集）.

【分析】集合C的3个元素在AUB中取得，AUB中的元素包括两类：①属于A的元素;

②属于B而不属于A的元素.因此，组成C的3个元素的取法有四种：（1）①取0个，②取

3个；（2）①取1个，②取2个；（3）①取2个，②取1个；＜4）①取3个，②取0个，

但由条件（II）知，CCIA彳6,因此，第一种取法必须排除，故集合C的个数是（2）、（3）、

（4）三种取法之和.

【解法1B各有12个元素，ACB含有4个元素，

AUB中元素的个数是12+12-4=20（个）.其中，属于A的元素12个，属于B而不属于

A的元素8个.

要使CCA,©,则组成C中的元素至少有1个含在A中，故集合C的个数是

（1）只含A中1个元素的有个；

_c1

（2）含A中2个元素的有525个；

30

（3）含A中3个元素的有个.

122130

故所求的集合C的个数共有C12G+G24+626=1084（个）.

【解法2】由解法1知，AUB有20个元素，满足条件（I）的集合C的个数是1"•①个.

但如果C中的元素都在属于B而不属于A的集合中取，则CCIAr©,不满足条件（II）,属

333

于这种情况的有0晨个，应该排除，故所求的集合c的个数共有Go-G=1084（个）.

【例题3】(1)解关于x的不等式|x—l|+a—l>O(aeH);

(2)记/为(1)中不等式的解集，集合3={x|sinQx-工)+百cosg-马=0},

若C8恰有3个元素，求a的取值范围.

解：(1)由|x—1|+。—1>0得|X—1|〉1—Q.

当々>1时、解集是R；

当a<l时，解集是{x[x<〃或2-。}.

(2)因sin(^x-—)+V3cos()zx--)=2[sin(^x--)cos—+COS(TZX--)sin—]=2sin".

333333

由sin;zx=0,得玄=k7r(keZ),即x=攵£2,所以3=2.

当。>1时不符合条件；当时、CRA=[a,2-a]

(7<1,

当Cjl/nB怡有3个元素时，。就满足(2W2-。<3,

解得一1<Q<0.

(-)不等式的分类讨论

【例题4]解关于x的不等式：明2>1(«^1)

X-Z

【解析】原不等式等价于：包空兽&>0,即3-l)(x-W)(x-2)>0①

X/CL1

若a>\,则①等价于(x-胃)(x-2)>0.

又发一"二-与-1<0,：.^<2

a-1a-1a-1

原不等式的解集为；(-8,蜀u(2,+8);

若XI时，则①等价于(x-%(x-2)<0,由于2-暑=号，

当0<。<1时，售2,...原不等式的解集为(2,暑).

Cl-iCI-1

当“<0时，署<2,.•.原不等式的解集为(署，2).

u-lCI-1

当“=0时，原不等式为&-2)2<0,解集为0.

综上所述：当。<0时，原不等式的解集为；(”，2)：

当a=0时，原不等式的解集为0；

当0<°<1时，原不等式的解集为(2,詈n-2)

当。>1时，原不等式的解集为；(-8,詈)U(2,+8).

【总结】本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分。>1和在时，又需要

讨论两个根2与髻的大小，又分为三类，即aVO,a=O和0Va<l.

u-1

【例题5]解不等式^一(犬+二4a一)(x一-6a-)>0仿为常数，。#一；1)

2a+12

【分析】含参数的不等式，参数。决定了加+1的符号和两根一钛、6〃的大小，故对参数。

分四种情况。>0、Q=0、——<a<0>水一2分别加以讨论。

【解析】2°+1>。时，a>——；-4水6。时，a>0所以分以下四种情况讨论：

当a>0时,(x+4a)(%—6a)>0,解得：4a或％〉6a；

当.=0时，x2>o,解得：xro；

当一5〈水0时，(x+4a)(x—6a)>0,解得：x<6a或x>一4a；

当a>一■时，(x+4tz)(x—6a)<0,解得：6a<x<—4a。

综上所述，当a>0时，水一4〃或x>6a；

当Q=0时，xWO；

当一5<水0时，X〈6Q或x>一4a；

当a>—7■时，6a<x<-4a

2

【点拨】本题的关键是确定对参数。分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题

目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含

参型。

【例题6】解关于X的不等式

【解析】转化为等价不等式组，注意对于logax的底数的a进行讨论.

(31ogax-2>0①

原不等式等价于<31ogaX-2<(2logaX-l)2②

、21ogx-l>0③

ao

23123

由①得logax^^,由②得loga"彳或logax>l,由③得loga'A,/.-^logax<^loga%>l,

23

当时，所求不等式的解集为｛X|43WX〈Q4或x>。｝；

32

当时，所求不等式的解集为{x|〃4vxWa3或0＜戈＜〃}.

【点拨】本题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等

价性、不要忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对。进行分类讨论。

(三)函数中的分类讨论

①一元二次函数中的分类讨论

【例题7】设函数/(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数/(a),

使得在整个区间［0,Q)］上，不等式次x)|<5恒成立，问：。为何值时，/(a)最大？求出这个

最大的/(a),证明你的结论.

2

【解析】/(x)=a,(x+—)+3——'.'a<0,.'./'(x)„,aj=3——

aaa

(i)当3------->5,即一8<a<0时，/(a)是方程#+8x+3=5的较小根,

a

-8+JM+8a41

1(a)=<—<一

2aa2

(ii)当3—3<5时，即时,

l(a)是方程at?++3=-5的较大根,

a

即/⑷二士恒至

4<4_75+1

2aV4-2«-2-V20-2-2

当且仅当。=-8时，等号成立。

由于生±L>J.,因此当且仅当方一8时，/(㈤取最大值避土I

222

【例题8】设函数/(x)=ax2—2x+2,对于满足1G<4的一切x值都有/G)>0,求实数

a的取值范围。

「।、121

【解析】当a>0时，/(x)—a(x---)'+2----

aa

(1,

-^1七<4%4

/.Sa或J11或Ja

/(l)=a—2+2>0f(—)=2——>0f(4)=16tz—8+230

laa

或［〈水1或<b1

即a>~-.

2

/⑴=a—2+220

当a<0时,解得力.；

/(4)=16a—8+220

当a=0时，/W=-2x+2,/(I)=0,/(4)=-6,...不合题意

【总结】题目中含有参数的问题(含参数型)，主要包括：

(1)含有参数的不等式的求解；

(2)含有参数的方程的求解；

(3)对于解析式系数是一参数的函数，求最值与单调性问题；

(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义

及对结果的影响而进行分类讨论.讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数

有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想..

【例题9】【例12］设a为实数，函数/（%）=*2+4%一4+4.

⑴求/(%)的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最小值.

【解析】(1)当X?。时，f(x)=x2+4x+4-4a

若aW-2,贝!]g(a)=/(-2)=-4a；

若a>-2,则g(a)=f(a)=a2+4

当x<a时，/(x)=x2-4x+4+4a

若aN2,贝!|g(a)=/(2)=4a

若a<2,贝!Ig(a)=/(4)=°2+4

-4a,a<-2

综上：g(a)=«a~+4,-2<a〈2；

4aa>2

⑵(g(a))min=4

【例题10】已知函数/(X)=yj\+x+\ji-x.

(1)求函数/(X)的定义域和值域；

⑵设尸(x)=^|1/2(x)—2]+/(x)为实数)，求尸(x)在。<0时的最大值g(a)；

(3)对(2)中g(a)，若-m°+2tm+V2<g(a)对a<0所有的实数a及/恒成立,

求实数加的取值范围.

【解析】⑴由得—1WE,所以定义域为[一1,1].

l-x>0

又/(x)2=2+2，l-e[2,4],由/(x)加得值域为[血,2].

(2)因为尸(x)=—*(x)—2]+f(x)=ajl-x'+Jl+x+>/1—xt

令t=/(x)=Jl+X+J1-X,则Ji-x?=g产一1,

F(x)=m(t)=产-11+，)+/£[>/2,2],

由题意知g(a)即为函数m⑺=；/+"“可及,劣的最大值.

注意到直线t=--是抛物线m(t)=-ar+t-a的对称轴.

a2

因为。<0时，函数)，=加(。，2]的图像是开口向下的抛物线的一段，

①若/=——e(0,虚]，即a4--则g(«)=m(V2)=及；

a2

②若t=—G(>/2,2],即——-<QW—则g(a)=/n(—)=-ci----；

a22a2a

③若t=£(2,+oo),即一，<〃<0则g(a)=m(2)=a+2.

a2

1

a>——

a+2,2

V21

综上有g3)—<—a----,----<a<——,.

2a22

,72,<V2

a<----

2

【例题11］已知函数/(乃=炉+ax+3—a,aeR.

(1)求a的取值范围，使y=/(x)在闭区间［—1,3］上是单调函数；

(2)当0WxW2时，函数y=/(x)的最小值是关于。的函数机(a).求加3)的最大值及其

相应的a值；

(3)对于aeR,研究函数y=/(x)的图像与函数丁=卜2—2x-3|的图像公共点的个数、

坐标，并写出你的研究结论.

【解析】(1)函数/。)=/+以+3-。图像的对称轴为％=

因为/(x)在闭区间［—1,3］上是单调函数，所以一|<一1或一］23.

故。<-6或a>2.

(2)当aNO时，m(tz)=/(0)=3-a；

a1e

当T<QVO时，m(a)—/(——)=~~^a-tz+3；

当av-4时，m(a)-/(2)=a+7.

a+7,a<-4

所以,/7Z(Q)=<—-tz-a+3,-4<a<0

3—a,a>0

分段讨论并比较大小得，当a=—2时，加(a)有最大值4.

（3）公共点的横坐标X满足/+办+3-。=卜2一2》一31即X是方程a（x—l）=

k2-2%—3卜/—3的实数解.

设〃（x）=,_2x—3//_3,则直线y=a（x—1）与y=〃（x）有公共点时的横坐标与上

述问题等价.

当xW-1或x23时，/z（x）=|x2—2.x—一％?—3=—2.x—6；

解方程一2%-6=。（*一1）即（。+2»=。-6,得x=。工一2；

a+2

当一1WxW3时，〃（x）=|x2—2x—3|—x2—3=-2x~+2x.

解方程-2『+2x=a（x-1）即2x?+（a-2）x-a=0,得x=-幺或》=1；

2

研究结论及评分示例：（满分6分）

结论1：无论。取何实数值，点（1,4）必为两函数图像的公共点.

结论2：（对某些具体的。取值进行研究）.

当a=—2时，两图像有一个公共点（1,4）；

当a=-6时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（3,0）；

当a=2时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（-1,0）.

（对每一个具体的a取值，结论正确给1分，总分值不超过2分）

2

结论3：当一2＜a＜2,—6＜。＜一2时，公共点有3个，坐标为（1,4）、+«-3）.

24

a—6卜-17a+42|

（不’（4+2）2）.

结论4：叙述完整，结论正确，给满分.具体包括下面几个方面：

当。=-6时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（3,0）；

当a=2时，公共点有2个，坐标为（1,4）、（-1,0）.

当。＞2,〃=一20n7＜-6时，公共点有1个，坐标为（1,4）.

当一2＜。＜2,-6＜。＜—2时，公共点有3个，坐标为（1,4）、+a-3）＞

24

a-6

).

aVl(a+2产

②对数函数的分类讨论

【例题12]设0<x〈l,a>0且aWL比较|log“(1一x)|与|log“(1+x)|的大小

【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数。分

两类情况进行讨论.

【解析】•/0<x<l,二0<l-x<l,1+X>1.

(1)当O<4Z<1时，log«(1—X)>0,logo(1+x)<0,所以

2

|logo(1-X)|-|loga(l+x)I=loga(1—X)—[—log”(1+x)]=logr；(1—X)>0；

(2)当a>l时，loga(l-x)<0,\oga(1+x)>0,所以

|logo(l-«)|-|logo(1+%)|=-logo(l-%)-logfl(1-He)

=-10g«(1—X2)>0.

由(i)、(2)可知，以1也)|.

【点评】本题要求对对数函数y=log“x的单调性的两种情况十分熟悉，即当“>1时其是增函

数，当0<a<l时其是减函数.去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符

号判断，也用到函数的单调性.

【例题13】已知log,,,5>log.5,试确定用和〃的大小关系.

【解析】解法一：分三种情况，令yi=logm5,y2=logn5,

(1)当log,“5>log“5>CW,如图(1)有l<m<n。

(2)当0>108,“5>1。8“5时，如图(2)有0cm<n〈l。

(1)当log,“5>0>log,,5时，如图(3)有(Xnvlcm

注意：本题也应用了y=log,,x(a>0,a^l)图像在第一象限的分布规律。

解法二：log”,5>k)g“50」一->--1—

log5mlog5n

(1)当10g5,%>0,logs”>0时，则logs机<logs〃，所以1<机<”。

(2)当log5m<0,log5〃<0时，则logs帆<logsn,所以0<m<n<1。

(3)当Iog5/n>0,k)g5〃<0时,则有0<“<1<加

③三角函数的分类讨论

【例题14】在AABC中，已知sinA=LcosB=—f求cosC.

213

【解析】由于。="一(A+B)cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinA-sinB]

因此，只要根据已知条件，求出cos/1,sinB即可得cosC的值。但是由sinJ求cos/时，是

一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角4进行分类。

解：•.•0<cos3=』〈正，且B为AA3C的一个内角.・.45°<8<90°,sinB=—

13213

若A为锐角，由sinA=上，得A=30°,此时cosA二»

22

若A为钝角，由sinA=,，得A=150",此时A+3>180°

2

这与三角形的内角和为180。相矛盾。可见AW150°

/.cosC=cos[乃一(A+B)]=-cos(A+B)

V312112-573

=-[cosA・cosB-sinA-sinB\

T13-2T3"—26―

【例题15]已知函数/(x)=|2x+|x||,实数。为何值时，集合

A/、.={x|/'(sinx)=。一1,%€[0,2万)}为一元集、二元集、三元集、四元集

【解析】由已知得，|2sinx+binx||=a-l,令g(x)=12sinx+卜inx||,/?(x)-a-1

在[0,21)上作出g(x)的图像

(1)当a—1=3,即a=4时，两图像只有一个交点

(2)当1<。一1<3,即2々<4时，两图像有两个交点

(3)当a-当lorO,即a=2orl时,两图像有3个交点

(4)当0<。一1<1,即l<a<2时，两图像有4个交点

综上所述，当。=4时，为一元集；当2々<4时，为二元集;

当。=2或1时，A/、为三元集；当\<a<2时，Mx为四元集

【点评】本题在函数、集合、方程等知识点交汇处考查分析问题与解决问题的能力，解题关

键是分类标准的划分，使问题由难变易、由大变小，条理清晰；同时还运用了数形结合思想。

【例题16］定义在R上的函数/(x)既是奇函数，又是减函数，且当de(0,时，有

/(cos22msin+/(—2加一2)>0恒成立，求实数，"的取值范围.

【分析】利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号/,将“抽象函数”问题转化为常见的含

参的二次函数在区间(0,1)上恒为正的问题.而对于/(x)20在给定区间［a,b］上恒成立问

题可以转化成为/(X)在［a,b］上的最小值问题.若/(X)中含有参数，则要求对参数进行讨

论.

【解析】：由/(cos2e+2加sin。)+/(-2m-2)>0得到：

/(cos26+2心in®)>-/(-2m-2).因为/(x)为奇函数，

故有了Los?6+2/%sine)>/(2m+2)恒成立，

又因为/(x)为R减函数，

从而有cos20+2msin0<2根+2对。e(0,1)恒成立.

设sine=r,则/一2m/+2m+1>0对于/£(0,。恒成立，

在设函数g(1)="-2mt+2m+1,对称轴为，=m.

①当/=〃2Vo时，g(0)=2m+1>0,

即mN——,又m<0,J-4<机<0(如图2).

22

②当t=me[0,l],即0<J篦<1时,

2

A=4/TI-4m(2m+1)<0,即〃2?—2m-1<0,

:・1-叵〈mvl+ypl,又me[0,1],，0<K1(如图3).

图4

④当，=加>1时，g(l)=1-2m+2加+1=2>0恒成立.

，加>1（如图4）.故由①②③可知：m>--.

2

（四）数列中的分类讨论

a“+c,q,Y3,

【例题17】已知以《为首项的数列口｝满足：。旬=｛可

~T,—3，

Id

（1）当〃]=1,c=\,d=3时，求数列｛〃〃｝的通项公式

（2）当0<q<l,c=l,d=3时，试用q表示数列｛4｝前100项和Si。。

[〃=3Z-2

【解析】（1）由题意得，4=2,〃=3攵—1/EZ+

3,n=3k

（2）当0<。]<1时，a2=4+1，%=4+2,%=%+3

%=年+1，4=年+2，。7=年+3，…，=^7+1，6*=^7+2，%=^7+3

所以S|00=4+（。2+。3+。4）+（。5+。6+%）+-+（佝8+。99+。100）

=%+(3q+6)+(4+6)+母+6)+...+(京+6)

=4+4(3+1H—+…H——)+6x33——x(11—+198

33312

【例题18】设等比数列｛a〃｝的公比为q,前〃项和S“>0（“=1,2,3,-）

（1）求g的取值范围；

3

⑵设“…声，记｛媪的前〃项和为力试比较的大小.

【分析】根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论

【解析】（1）由｛a」是等比数列且又>0,可得a=$。0,时0.

当°=1时，5产显i>0；

当产1时，$.=，一。二里）>0,即匕亡>00：=匕3…）.

l-q\-q

fl-<0d（l-q>0小

上式等价于<\①或《\②6nLZ3,…）

[l-qK<0（t-ga>0

由①得g>L由②得g的取值范围是（~1,0）U（0,+°°）.

=333

（2）由baa^2—3&GI,得方.=ss（q~一）•,二元=（g，—曜•

31I

・\，-S曜=SK/一一4-l）=S<q+—Xq-2）.又：，）。，T<g<0或g>0，•二当T<3一彳或g>2

222

时，T.>S.,当-L<D或0<不2时，;当g=-L或y2时，T^S.

22

【点评】（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的

求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成

立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论.

（2）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨

论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算

中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的

讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.

（3）在构建数学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起

分类讨论，特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要

注意分类的原则是“不重不漏”.

［例6］设｛a„｝是由正数组成的等比数列,是前〃项和.①证明：IgS'lgS诏<lgs,用.

②是否存在常数c>0,使得、（S"_c）+lg（S麻—c）成立？并证明结论.

【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用

等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q=l和qWl两种情况。

【解析】设｛““｝的公比q,则%>0,q>0

①.当q=l时，S"=n.i,从而S"S"+2—S"+i2=na'（n+2）a>—（n+1）2a<2=—a12<0；

a」”,)(1—尸)

从而S“S”+2-S“+]q"<0；

(1—4(j)

由上可得S,S“+2<S“+J,所以lg（S“S,+2）<lg（S“+J），即的」等卫〈lgS"+i。

②.使里区~c)：lg(S〃+2_0=]g(SM+I-c)成立，则(s“一C)(S〃+2—c)=(S〃+]—c)2,

分两种情况讨论如下：

当q=l时，Sw=n〃i,则

222

(S〃—c)(Sw+2—c)—(Szj+1—c)=(naj—c)[(n+2)a[-c]一[(n+l)%—c]—~^ax<0

n

ta.(l-q)、2r

当q-时，=^(sn-c)(s„+2-c)-(sn+1-c)-[^-^

2n

c][—c]=—alq[.a1-c(l—q)]

tz।q，?7^0/.a—c(l-q)=0HPc=~

xl-q

而S"-c=S“一#-=—"<0对数式无意义

1一4l-q

lg(5-c)+lg(S„+2-c)

由上综述，不存在常数c>0,使得—1产为---lg(S,1+1-c)成立。

(五)立体几何中的分类讨论

【例题19】有两个相同的直三棱柱，高为底面三角形的三边长分别为九、4“、5a(0>0).

用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则。

的取值范围是

【解析】拼成三棱柱时，将第二个放置在第一个上面，并使两底重合，

这时三棱柱的全面积为£=12/+48；

拼成四棱柱时，将底边长为5人高为看的面重合,

这时四棱柱的全面积最小为邑=24/+28

则S2—S।=4(3a2-5)<0,解得0<°<乂1岁.

【例题20]如图，已知一条线段它的两个端点分别在直二面角P-/-0的两个平面内

移动，若和平面P、0所成的角分别为a、。，试讨论a+B的范围.

【解析】(1)当时,a+p=90°.

(2)/8与/不垂直时，在平面P内作/C_U,C为垂足，连结8C,______________

:平面P_L平面0,平面0,

NABC是AB与平面0所成的角，即ZABC=p,)C\\//

在平面0内作8D，/,垂足为D,连结4),同理N8ZD=a,

在RtZ\8DN和RtA^CB中，BD<BC,—,即sina<sinZBAC,

ADAD

：a和4&4c均为锐角，：.a<ZBAC,而/氏4C+B=90。，/.a+p<90°.

(3)若4B与1重合，则a+p=0。.

综上讨论可知0°<a+p<90°.

【点拨】在几何问题中，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏,

对于多种可能的情况，必须分开来进行研究.

(六)解析几何中的分类讨论

【例题21]试讨论关于x、y的方程(〃?-3)x2+(5-m)/=1所表示的曲线.

【解析】分六种情况讨论如下：

①当m=3或m=5时，方程分别表示两对平行的直线尸土络或产土络；

②当机=4时，方程表示圆/+产=1；

③当机<3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；

④当3<掰<4时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

⑤当4<加<5时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

⑥当机>5时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.

【点评】虽然讨论的难度不算太大，但对实数机却进行了全程讨论，且是“三点四段式的讨

论“，只是由于将“〃?=3或加=5”合并了，才表现为六种情况，几乎囊括了所有的曲线.在求

轨迹方程及其方程曲线的问题中经常会遇到这类问题.

【例题22】已知抛物线_/=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x

轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B,0B的中

点为M.

(1)求抛物线的方程：

(2)过M作MN，FA,垂足为N,求点N的坐标；

(3)以M为圆心，MB为半径作圆M,当K(加，0)是x轴上的一动点时，讨论直线AK

与圆M的位置关系.

【解析】(1)易得抛物线方程产4r.(2)不难求得N.

(3)圆M的圆心为点(0,2),半径为2,A(4,4).

①当〃尸4时，L、KH=4,直线AK与圆M相离；

②当机#4时，1AK：y--^-(x-/n),BP4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK

2m+8

的距离d=J-L—•

V16+()2

(i)若d>2,即加>1,则直线AK与圆M相离；(ii)若d=2,即机=1,则直线AK与圆M相

切；(iii)若d<2,即加vl,则直线AK与圆M相交.

【例题23]在my平面上给定曲线/=公，设点/Q,0),〃GR,曲线上的点到点/的距

离的最小值为/(a),求八。)的函数表达式.

【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件

x20下的最小值问题，而引起对参数。的取值讨论。

【解析】设M(x,y)为曲线上任意一点，则

：2=(%—a)2+y2—(x—a)2+2x—x2—2(a—l)x+a2-[%—(a—1)]2+(2a—1)

由于/=2x限定x20,所以分以下情况讨论:

当。一120时，x=a—1取最小值，即|\M}2min=2。-1；

当a—1<0时，x=0取最小值，即从14}\皿=/

(a'l时)

综上所述，有f(a)=

(a<1时)

【点评】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十

分熟悉，但含参数“，以及还有隐含条件x》0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从

而得到d=fQ)的函数表达式。

【例题24]已知/(-2,0),B(2,0),动点P与4、B两点连线的斜率分

别为kpA和kpB，且满足kpA-kpB=t(tWO且均一1).

(1)求动点P的轨迹C的方程：

(2)当t<0时，曲线C的两焦点为Q,Fi，若曲线C上存在点。使得巳=120°,

求t的取值范围.

【解析】⑴设点P坐标为(xy),依题意得一-------=t=>y2=t(x2—4)=>—+——=1

x+2x-24-4/

22

轨迹C的方程为二+工=1(xW±2).

4-4f

⑵当一l<t<0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

设|尸耳|=n,|PR|=12,则n+T2=2a=4.

在△QP&中，闺工|=2c=4jTl7,

VZFIPF2=120°,由余弦定理得4c2=r；+r；—2r1r2cos120。=r；+r；+nn

=(ri+r2)2—r,r2^(ri+r2)2—(f|+)2=3a2,16(1+t)^12,/.t^——.

24

所以当一,wt<0时，曲线上存在点0使/£。尺=120°

4

当t<-l时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，

设|尸周=H，归周=「2,则n+r2=2a=-41,

在△FiP尸2中，恒引=2c=4j_]T.

VZF|PF2=120°,由余弦定理得4c2=r；+r；—2口「2cos120。=r；+r；+nn

=(n+r2)2—口门与⑴+立)?一('2G产=3。?,16(—1—t)12t=>tW—4.

所以当tW-4时，曲线上存在点。使N吊。尸2=120°

综上所述，t的取值范围是(一oo,-4]。

(七)排列组合及概率中的分类讨论

【例题25](1)在1,2,3,…,30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和是3

的倍数，共有多少种不同的取法？

(2)已知集合A={1,2,3,4,5,6}和集合8={5,6,7,8,9},从集合A中选3个元素，从集合3

中选2个元素，能组成多少个含有5个元素的集合？

【解析】(1)将这30个数分为三类：

第一类:1,4,7,…,28；第二类:2,5,8,…,29；第三类：3,6,9,…,30

从而总的方法数为3•%+(C丫=1360；

(2)由于AD3={5,6},因此对集合A,B当中选取的元素进行讨论；

第一类：从集合A,8中未选取元素5,6,则方法数共有=12；

第二类：从集合A,8中选取元素5,6当中的一个元素，则方法数共有

.C；（C2+^C；）=60；

第三类:从集合A,B中同时选取元素5,6,则方法数共有C：C；+C；C；+C；C；C；=34；

综上所述共有106个5元素集合！

【例题26]某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经

济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案蜀种：②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方

法，然后安排其余学生有国方法，所以共有3A；；③若乙参加而甲不参加同理也有3国

种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市

有否种，共有7府方法.所以共有不同的派遣方法总数为4+3阎+3阎+74=4088

种.

【例题27】在11名学生中，有5名只擅长长跑，有4名只擅长短跑，有2名既擅长长跑

又擅长短跑.要选派4名参加长跑比赛，4名参加短跑比赛，有几种选派方法？

【解析】记长、短跑两样都擅长者为“全能者”，需对各种情况进行一个二级分类讨论，见表

从全能者中

全能全能者都选出

选法选出1名

者都

类别选出参选出参选出参选出参选出参加

未选

加长跑加短跑加长跑加短匏，长、短跑

选法44134143224242133

C5Gc2c5aC2c5c4

种数c.c5c4c.c5c4c7c5c4

则共有185种选派方法.

【例题28】甲、乙两人各射击一次，击中的概率分别是7尹味3假设两人射击是否击中目标,

相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

(I)求甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率；

(11)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(HI)假设某人连续两次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的

概率是多少？

【解析】(1)1尹备

击中目标记为“0”，则所求概率为|(^-)3+2X(X(^-)2x(—)2=^—.

44441024

(八)复数和向量中的分类讨论

【例题29]设在复数集C中，解方程：z2+2|z|=a

【分析】z分实数、虚数两种情况进行讨论求解

【解析】•.1z|GR,由z2+2|z|=a得：z2eR；，z为实数或纯虚数

当zGR时，|z2+2|Z|=〃,解得：|z|=-1+Jl+a,；.z=±(―1+Jl+a)；

当z为纯虚数时，设z=±yi(y>0),/.—y2+2y=a,解得：y=l±Jl-a(0<aWl)

由上可得，z=±(—l+JTH)或士(1土J匚£)i

【例题30]已知实系数一元二次方程2£+3奴+/一。=0（。€/?）有两根再、x2,求

I%|+|々I的值.（用含。的解析式表示）

【解析】△=（3。）--4x2x（/-a）=4+8a,

1）