2019届高考数学一轮复习学案-第4章 三角函数、解三角函数

第四章三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数

本节主要包括3个知识点:

1•角的概念；2.孤度制及其应用；3.任意角的三角函数.

突破点（一）角的概念

抓牢双基•自学区

［基本知识］

1.角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成

的图形.

2.角的分类

"正角：按逆时针方向旋转形成的角

按旋转方向

«负角：按顺时针方向旋转形成的角

不同分类

、零角：射线没有旋转

角的分类5

'象限角：角的终边在第几象限，这

按终边位置

<个角就是第几象限角

不同分类

、轴线角：角的终边落在坐标轴上

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：S={BIF=a+

k­360°,卜€2｝或｛尸|尸=a+2扇,k£Z｝.

［基本能力］

1.判断题

⑴第二象限角大于第一象限角.（）

⑵三角形的内角是第一象限角或第二象限角.（）

（3）终边在尸x上的角构成的集合可表示为｛a|a=~+kit,keZ\（）

答案：（1）X⑵X⑶，

2.填空题

（1）719°是第象限角，一719°是第象限角.

答案：四一

⑵所有与60°终边相同的角构成的集合为

答案：{a\a=6Q°+1-360°,k£Z}

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［全析考法］

角的有关概

考点

念

⑴要使角夕与角&的终边相同，应使角尸为角a与兀的偶数倍（不是整数倍）

的和.

⑵注意锐角（集合为｛a|0°<"90°｝）与第一象限角（集合为

｛a|h360°<a<90°+4•360°,ACZ｝）的区别，锐角是第一象限角，仅是第一

象眼角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角.

［典例］⑴给出下列四个命题：

37c4几

①一了是第二象限角；②I是第三象限角；

③一400°是第四象限角；④一315°是第一象限角.

其中正确的命题有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

⑵若a是第二象限角，则?一定不是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(3)在一720°-0°范围内所有与45°终边相同的角为.

3K4冗7c4n

［解析］⑴一］是第三象限角，故①错误；从而可是第三象限角,

故②正确；一400°=-360°-40°,从而③正确；一315°=-360°+45°,

从而④正确.

n

(2)•.•5+2辰<汨n+2辰,k®Z,

it2knait2kn

AWZ.

.-+T<-<-+T,

若左=3A(A€Z),襄第一象限角；

J

a

若左=3A+1(Z2CZ),三是第二象限角；

若左=3n+2gez),三是第四象限角.故选C.

(3)所有与45°有相同终边的角可表示为：

2=45°+4X360°/WZ),

则令一720°445°+1X360°<0°,

得一765°<1X360°<-45°,

76545

解得一石<卜一/，

360360

从而A=—2或A=-1,代入得夕=—675°或2=—315°.

［答案］⑴c(2)C(3)-675°或一315°

a

［方法技巧］确定一(A>2,ACN)终边位置的方法步骤

n

⑴用终边相同角的形式表示出角a的范围；

⑵写出:的范围；

讨论法

a

(3)根据左的可能取值讨论确定-的终边所在位置

n

已知角a是第m(m=l,2,3,4)象限角，求?是第几象限角.

n

⑴等分：将每个象限分成A等份；

等分象

⑵标注：从X轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上

限角法

1,2,3,4,直至回到x轴正半轴；

(3)选答：出现数字m的区域，即为？的终边所在的象限

n

［全练题点］

1.若a=k•360°+0,j3=m-360°—券，mWZ),则角a与夕的终边的位

置关系是()

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x轴对称

D.关于了轴对称

解析：选c角a与。终边相同，夕与一《终边相同.又角夕与一e的终边关

于X轴对称..•.角a与夕的终边关于x轴对称.

n7c

2.集合，4辰+小A6Z1中的角所表示的范围(阴影部分)是

)

解析：选C当左=2ZZ(A€Z)时，2mt+-<a<2mt+-此时或表示的范围与7

yII

n

<aW］表示的范围一样；当仁2A+1(A€Z)

时，2Z?TC+7C+~<2z2n+7t+~,此时“表示的范围与%乳+］表示的

范围一样.比较各选项，可知选C.

a

3.若角a是第二象限角，则5是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

K兀an

解析：选C•••1是第二象限角，.•6+2a<a<7t+2反，kez,：.-+krt<-<-

乙4/l

(X(X

+辰，AWZ.当左为偶数时，5是第一象限角；当左为奇数时，5是第三象限角.

/1乙

4.终边在直线y=小x上的角的集合为

解析：终边在直线尸Sx上的角的集合为&=航+§,ACZ

答案：'a|a=jbt+~,AWZ：

突破点(二)孤度制及其应用

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［基本知识］

1.孤度制的定义

把长度等于生蛆丘的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2.弧度制下的有关公式

1

角&的瓠度数公式|*|=；（弧长用■/表示）

角度与孤度的换兀<180\

①1°—rad；②Irad一

基loUJ

孤长公式弧长1=|a\r

11

扇形面积公式

［基本能力］

1.判断题

⑴不论是用角度制还是用孤度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无

关.（）

（2）1弧度是长度等于半径长的弦所对的圆心角的大小.（）

（3）60°=/rad.（）

答案：（1），⑵X⑶X

2.填空题

⑴圆心角为g瓠度，半径为2的扇形的孤长为.

2兀

答案：y

71

⑵扇形半径为20cm,圆心角为》则该扇形的面积为cm2.

200TT

答案:

3

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［全析考法］

扇形的瓠长及面积公

考点

式

［典例］⑴已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是（）

A.1B.4

C.1或4D.2或4

⑵若扇形的圆心角是*=120°,弦长43=12cm,则瓠长/=cm.

［解析］⑴设此扇形的半径为r,弧长为4

"2r+/=6,

任=1,卜=2,

则［1解得，,或，C

5H=2U=4,[1=2.

1412

从而a=-=i=4或<r=-=-=1.

r1r2

⑵设扇形的半径为rem,如图.

12

Tr

由sin60°=~,得^=4弋3,

27r

又a=~5,

2冗L队心

所以1=|a|-r=-X4-\]3=3兀(cm).

8小

［答案］⑴C⑵手

［方法技巧］

"1S词下有关瓦―匾形面积问题而解藏展*

⑴明确孤度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须

是弧度.

⑵分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积

公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解.

［全练题点］

1.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为（）

A.407tcm2B.80ncm2C.40ctn2D.80cm2

2n1127t

解析：选2（2）

B>.,72°/.5jg^=-<r?=-XyX20=807tcm.

3

2.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的5倍，则该弧所对

的圆心角是原来的倍.

解析：设圆的半径为r,孤长为1,则其弧度数为，.将半径变为原来的一半，

3

32；1

弧长变为原来的5倍，则弧度数变为1=3・1即孤度数变为原来的3倍.

答案：3

3.孤长为3兀，圆心角为135°的扇形半径为,面积为.

3K

解析：由题可知，孤长/=3兀，圆心角a=135°=~,

13n11

所以半径r=-=不=4.面积S=~Jr=~X3?tX4=6K.

a37t22

T

答案：46兀

4.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最

大？

解：设圆心角是仇半径是r,则2r+/=40.

又5=-^?=-/(40-2/)=420—。=一(/—10)2+100<100.

当且仅当r=10时，&1ax=100,此时2X10+100=40,0=2.

所以当/=10,夕=2时，扇形的面积最大.

突破点(三)任意角的三角函数

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［基本知识］

三角

正弦余弦正切

函数

设”是一个任意角，它的终边与单位圆交于点如，力，那么

V

定义匕叫做a的正弦，工叫做a的余弦，一叫做a的正切,记作tan

X

记作sina记作cosa

a

各I+++

象n+——

限m——+

符

IV—+—

号

木,

角

函

有向线段皿为有向线段为余

数有向线段更为正切线

正弦线弦线

线

［基本能力］

1.判断题

⑴若角6的终边在直线/=2x上，则tana=2.()

⑵若sin6tos分0,则6在第一象限内.()

71

(3)0<0<~,则sin<r<tana.()

答案：⑴M(2)X⑶X

2.填空题

⑴已知角a的始边是x轴非负半轴，终边过点R1，S),则sina=

tana—.

答案:乎S

X

(2)若角a终边上有一点我为5),且cos*=石8：#0),则sina=

5

答案：荷

1J

(3)比较大小.(填“>”、或“=”)

7Tn

①sin-________cos-；

44

7tit

②sin_________cos7；

b5

27t2冗

③sin—tan—

答案：①二②v③〉

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［全析考法］

三角函数值的符

号

cosa

［例1］⑴若sinatana<0,且----<0,则角/是（）

tana

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

⑵sin2-cos3,tan4的值（）

A.小于0B.大于0

C.等于0D,不确定

［解析］⑴由sinotan&V0可知sina,tana异号，则a为第二或第三象限角.

cosa

由V0可知cosa,tana异号，则a为第三或第四象限角.综上可知，a

tana

为第三象限角.

⑵2rad,3rad是第二象限角，所以sin2>0,cos3<0,4rad是第三象限角，所

以tan4>0,故sin2•cos3,tan4<0.

［答案］（1）C（2）A

三角函数定义的应

，点二

用

［例2］⑴点。从（一1,0）出发，沿单位圆顺时针方向运动y瓠长到达点Q,

求点Q的坐标.

⑵已知角a的终边上一点R一㈤伽151fc0）,且sina="j一,求cosa,tan

a的值.

87t

［解］⑴设点凰一1,0）,点。从（一1,0）出发，沿单位圆顺时针方向运动y弧

8n2兀71nl

长到达点Q,则•—2兀=刀（。为坐标原点），所以NxOQ=w，cos-=->

JJJJz

7C、/5

sin-=2，所以点Q的坐标为

⑵由题设知》=一[4,7=/22,

./=|。0|2=（一邛）2+加2（0为原点），=也十甘.

m\2mm<-----厂

：.sina=—=4=动，二-43+卅=2^2,

即3+卅=8,解得zn=±qk

当m=4时，r=2/，x=一小,y=\[5,

一乖乖V15

.".cosa=厂=—,,tana=­；

2\j243o

当山=一[^时，t=2y[i,x=—\[3,j=13，

一小A/15

.,.cosa=tana=..

2、243

［方法技巧］

利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法

⑴已知角a终边上一点P的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可.

⑵若已知角a的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点

的坐标，再根据定义求相应的值.

（3）若角a终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角a

终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值.此时注意不要漏解或多解.

［提醒］认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错

误.

［全练题点］

1.［考点-1（2018・济南模拟）已知sinO—cosGl,则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选B由已知得（sin0—cos。2>1,即1—2sinaos,sinaos/。,

又sinGeos夕，所以sin戊＞0＞cos夕，所以角6的终边在第二象限.

2［考点二］(2018-南昌二中模拟)已知角“终边上一点尸的坐标是(2sin2,一

2cos2),则sina=()

A.sin2B.—sin2

C・cos2D.—cos2

解析：选D因为r=、l2+_i=2＞由任意三角函数的定

y

义，得sina="=—cos2.

3.［考点二］在平面直角坐标系中，点M3,㈤在角a的终边上，点八和小，4)

n

在角a+*的终边上，则m=()

A.-6或1B.-1或6

C.6D.1

m

21+i

m42_

解析：选A由题意得，tana=—,..m

2mrn*mm

r

=-6或1,故选A.

4.［考点二］(2018•湖北百所重点校联考)已知角0的终边经过点取3)。＜0)且

-\/10

COSe=]0X,则x=()

1

A.-1B.

3

C.-3D.

3

x

解析：选A由题意，得故f+9=10,解得x=±1.因为A<0,

yj^+91.

所以x=-l,故选A.

［课时达标检测］

［小题对点练——点点落实］

对点练(一)角的概念

1.设角a是第三象限角，且sing=-sin*则角g是第象限角.

3%冗a

解析：由角a是第三象限角，知2辰+兀<«<2辰+丁(AWZ),则kji+-<~<lat

3冗aaaaa

+—(1€Z),故J是第二或第四象限角.由sinJ=-5巧知5后小0,所以J只能是

一乙乙乙乙乙

第四象限角.

答案：四

2.与2019°的终边相同，且在0°〜360°内的角是______.

解析：•.•2019°=219°+5X360°,

.•.在0°〜360°内终边与2019°的终边相同的角是219°.

答案：219°

3.已知a是第二象限的角，则180°-a是第象限的角.

解析：由或是第二象限的角可得90°+1-360°<a<180°+k-360°

Z),则180°-(180°+1•360")<180°-ar<180°-(90°+1•360°)(左€Z),

即一4•360°<180°-a<90°-k-360°(AWZ),所以180°-a是第一象限的

角.

答案：一

对点练(二)弧度制及其应用

1.(2018-江西鹰潭期中)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数

是________.

107C

解析：一个周角是2兀，因此分针10分钟转过的角的弧度数为方X2兀=7

603

71

答案匚

2.（2018•山东泰安月考）若一圆孤长等于其所在圆的内接正三角形的边长,

则其圆心角0（0<0<兀）的弧度数为.

解析：设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为、/各，所以'a

答案：动

3.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的子面积等于圆面

5

积的石，则扇形的孤长与圆周长之比为.

1

解析：设圆的半径为r,则扇形的半径为记扇形的圆心角为处则

布，.•・a=7..••扇形的弧长与圆周长之比为一=F-=n.

276cZ7tr1o

5

答案：G

对点练（三）任意角的三角函数

1.如图，在平面直角坐标系X0中，角a的终边与单位圆

4

交于点点4的纵坐标为g,则cosa的值为（）

4

A-

解析：选D因为点4的纵坐标％=g,且点4在第二象限，又因为圆。为

单位圆，所以4点横坐标切=一土由三角函数的定义可得cos

2.（2018•福州一模）设a是第二象限角，取4）为其终边上的一点，且cosa

1

=gx,则tan&=()

43

A，3B4

34

C——D——

43

11

解析：选D因为a是第二象限角，所以cosa=~x<0,即xVO.又cosa="x

□3

x44

=后/解得户―3,所以tank/—]

3.已知/区，刃是单位圆(圆心在坐标原点。上任意一点，将射线绕。

点逆时针旋转30°,交单位圆于点及物，阖,则当一力的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-yj2,也

-11'

C.[-1,1]D.-

解析：选c设X轴正方向逆时针到射线OA的角为a,根据三角函数的定

、o。2^1

义得羽=cos%yB=sin(a+30°),所以肛_ji=cosa—sin(a+30°)=—^-sina

1

+"cosa=sin(a+150°)€[—1,1].

4.已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线了

=2x上，则cos20=()

4334

A.-7B.—7C.7D.7

5555

解析：选B设(e0)为角e终边上任意一点，则cos「当60

\[5A/523

时，cos。=匚；当代0时，cos。=—天~.因此cos28=2co/6—1=~—1=—7.

5555

5.已知角6的顶点为坐标原点，始边为X轴的非负半轴，若R4,力是角0

终边上一点，且sin（9=一§，则尸.

解析：因为sin行后7=一芈，

所以7<0,且，=64,所以尸一8.

答案：一8

6.（2017♦北京高考）在平面直角坐标系x0中，角a与角产均以Or为始边,

1

它们的终边关于了轴对称.若sina=］,则sing=.

解析：当角a的终边在第一象限时，取角a终边上一点2（2、/5,1）,其关于

了轴的对称点（一29，1）在角尸的终边上，此时sin夕=:；当角a的终边在第二象

限时，取角a终边上一点2（-2\&,1）,其关于y轴的对称点（2、/5,D在角尸的

1

终边上，此时sinP=§.

1

综上可得sin#=§.

答案：g

［大题综合练——迁移贯通］

3

1.已知角a的终边在直线尸一3x上，求10sina+嬴％的值.

解：设a终边上任一点为/口,一34,

则r=yjH+—31~2=^J10|^-|.

当左>0时，r=y110k,

/.lOsina-3A/10+3A/10=0；

cosa

当kO时，r=-ypOk,

—3k3

sin(x=/——-I—,

710

工=平=一水,

3

lOsin(x+:3^—3^15=0.

cosa

3

综上，1Osina+=0.

cosa

2.已知扇形4。3的周长为&

⑴若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小；

⑵求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长48.

解：设扇形ZO8的半径为r,瓠长为4圆心角为的

'2r+/=8,

⑴由题意可得“1

a=3,

r=3,[r=l,

解得9c或9,

U=2[J=6,

121

.,.«=_=彳或a=~—6.

r3r

⑵法一：..2+/=8,

111〃+2弱118、

••・s扇=]r•2yo=川=4,

1

当且仅当2r=/,即a=;=2时，扇形面积取得最大值4.

.二圆心角a=2,弦长43=2sin1X2=4sin1.

法二：V2r+7=8,

2

••-5s=-^-=-7(8-2^=/(4-/)=-(r-2)+4<4,

1

当且仅当/=2,即a=］=2时，扇形面积取得最大值4.

/.弦长AS=2sinlX2=4sin1.

3.已知sinaVO,tan<r>0.

⑴求a角的集合；

⑵求］终边所在的象限；

(3)试判断tan-sin5cosJ的符号.

解：⑴由sinaVO,知a在第三、四象限或了轴的非正半轴上;

由tana>0,知a在第一、三象限，故a角在第三象限，

f3K1

其集合为*2辰+汽<“<2而+万，1GZ卜

3K

⑵由2A+?rVaV2a+彳，k®Z,

ita3K

得M+5V5V辰+丁，ACZ,

ZuZu

故装边在第二、四象限.

⑶当装第二象限时，tan|<0,

aa

sin->0,cos-<0,

aaa

所以tan-sin-cos］取正号；

aaaa

当5在第四象限时，tan-<0,sin-<0,cos->0,

aoca

所以targsin5cos5也取正号.

aaoc

因此，tan-sin-cos5取正号.

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

本节主要包括2个知识点：

1.同角三角函数的基本关系；三角函数的诱导公式.

突破点(一)同角三角函数的基本关系

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［基本知识］

1.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：sin2a+cos2a=1(a€R).

sina\it

⑵商数关系：31«=言汉*^^+5，kSZ

2.同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧解读适合题型

sin0

主要利用公式tan6=—^化成正弦、

cos6

表达式中含有sin。，cos8与

切弦互化sin0

余弦，或者利用公式―7=tan夕化成

cosUtan0

正切

1=sin20+cos2^=cos2^(l+tan2^)=(sin

“1”的变

it表达式中需要利用“1”转化

,换0±cos0)2^2sin0cos0=tan-

和积转换利用关系式(sin0±cos仇2=i±2sin表达式中含有sin0±cos夕或

庆OS6进行变形、转化sinaos6

［基本能力］

1.判断题

⑴若死尸为锐角，则5山2«+cos2^=1.()

sina

(2)若a€R,则tana—恒成立.()

cosa

答案：⑴X(2)X

2.填空题

(1)已知awQ,兀)，sina=g,则tana=

(n)41-----；——3sina

解析：aE1-J兀1sina=g,.'.cosa——\/1-sin2a——,・・tana——

Y5rcosa

4

一］

4

答案：一&

1(兀］

(2)若cosa=§,5,0,则tana：

112\Esina

解析：由已知得sina=—yjl-cos2a=--\l---，所以tana一

\l9Q3cosa

=-2也

答案：一2包

sin(x+cosa

(3)已知tana—2,则.的值为

sina-cosa

tana+12+1

解析.原式一1・3.

tana-129—1

答案：3

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［全析考法］

“知一求二”问

题

利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的

基本关系的正用、逆用、变形.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以

看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方

程组，通过解方程组达到解决问题的目的.

［例1］⑴已知cosa=£AWR,awg兀)，则sin(n+@=()

A.B..l一—

C.士71TD.-k

(itA3

⑵(2018,厦门质检)若5，nI,sin(n—(x)=~,则tana=()

33

C--4%

［解析］⑴由COSa=k,a€l",兀)得sina=/匚

/.sin(7c+^=—sina=.y］］一匕故选A.

(2)・.•«€*兀,3

sina=g.

43

cosa=—T,/.tana=

54

［答案］(1)A(2)C

［易错提醒］

知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符

号.

知切求、姆值问题

LU二?(sinacos

若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、

分母同时除以一个余弦的齐次霖将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就

可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.

3

［例2］(2018•安徽江南十校联考)已知tana=一不则sina•(sina-cos4=

()

2125

A-25B药

45

C5D4

sin?”一sina•cosa

［解析］sina•(sina-cosa)=sin2^—sina•cos

sin2a+cos2a

3)3

—2

tan2a—tana34J21

tat-将皿&=一彳代入，得原式=»不，故选A.

［答案］A

sina±cosa与sin"osa关系的

“三

应用

1

[例3]已知x€(一几，0),sinx+cosx=g.

⑴求sinx—cosx的值;

sin2x+2sin2x

⑵求下嬴的值.

1

解⑴由sinx+cosx=w，

平方得sin2x+2sinJTCOSX+cos2x—,

25

一24

整理得2sinACOSx=——

ZD

49

(sinx-cos为2=1—2sinxcosx=~.

25

由(一冗，0),知sin_x<0,

又sinx+cosx>0,

「・cosx>0,贝!|sinx—cosx<0,

7

故sinx-cosx=

b

sin2x+2sin2x2sinxcosx+sinx

(2)—----------=-----------：--------

1—tanxsinx

1-——

COSX

241

-25X5

2sinxcosxcosx+sinx24

cosx-sinx7=-175

5

［方法技巧］

同角三角函数关系式的方程思想

对于sina+cosa,sina—cosa,sinacosa这三个式子，知一可求二，若令sin

?—1