2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合力={久|一1WxW1},B={x|3'<1},则4UB=（）

A.[-1,0）B.（-oo,0）C.[-1,1]D.（-oo,l]

2.棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）

A.斗B,3兀C.12兀D.16TT

4

3.甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（）

A.；B.|C.|D.|

4.已知复数z=a+i（a€R）,若z2=3+4i,则复数W在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：

班级人数平均分数方差

甲40705

乙60808

则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）

A.6.5B.13C.30.8D,31.8

6.己知小，九为两条不同的直线，a,£为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.仇〃S，m//af则m〃/?

B.mu仇,九ua,m///?,n///?,则a///?

C.aC\0=I,znua,mil,则7n1/?

D.m1afm//n,a“B，则711s

7.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所

长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，

我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%,一年后是1.01365；而把“不见其

损”量化为每天的“落后率”都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到，一年后的“进步”

是“落后”的胆帝=1481倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使

0.99电

“进步”是“落后”的10000倍,大约需要经过（旬2X0.301,匈3«0.477）（）

A.17天B.19天C.21天D.23天

8.已知M是内的一点，且加前=2,如C*，S.T"则比+七

的最小值是（）

A.8B.4C.2D.1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记

事件M为“第一次向下的数字为3或4"，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列

说法正确的是（）

A.事件M发生的概率为B.事件M与事件N互斥

C.事件Mn方发生的概率为gD.事件M与事件N相互独立

10.已知复数Zi=2i,Z2=1+i,则（）

A.Z1•Z2=Z1•Z2B.若|z-z/=l,则|z|的最大值为3

D.Z1Z2-2是纯虚数

11.已知函数/（%）=Asin（ajx+0）（/>>0,\（p\<］）的部

分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.函数y=/（%）的图象关于点（一工,0）对称

B.函数y=/（x）的图象关于直线”—浮寸称

C.函数y=f（x）在［—第一名单调递减

D.该图象向右平移居个单位可得y=2s讥3x的图象

12.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面2BCD为菱形，

4DAB=60°,侧面24。为正三角形，且平面P2D_L平面

ABCD,则下列说法正确的是（）

A.在棱4D上存在点M,使4。1平面PMB

B.异面直线AD与PB所成的角为90。

C.二面角P—BC—N的大小为45。

D.BD1平面PAC

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若“1<x<4”是“x<机”的充分非必要条件，则实数机的取值范围是—.

14.某轨道交通1号线在10个车站上车人数统计如下：70,60,60,50,60,40,10,30,

30,40,则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为

15.如图，为了测量某湿地4B两点间的距离，观察者找到在同一条

直线上的三点C,D,E.从。点测得N4DC=67.5。，从C点测得NACD=

45°,乙BCE=75°,从E点测得NBEC=60°,若测得DC=2门,CE=

「（单位：百米），则48两点间的距离为.

16.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内

有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆

柱容球，。八。2为圆柱两个底面的圆心，。为球心，EF为底面圆01

的一条直径，若球的半径R=2,则

①平面DEF截得球的截面面积最小值为；

②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试,

甲通过测试的概率是0.8,乙通过测试的概率为0.9,丙通过测试的概率为0.5,假定甲、乙、

丙3人是否通过测试相互之间没有影响.

（I）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率A；

（H）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率P2.

18.（本小题12.0分）

（1）己知平面向量五、方，其中五=（门,-2）,若|3|=347，且五〃石，求向量3的坐标表示；

⑵已知平面向量五、询足|初=2,|3|=1，4与3的夹角为手且@1（21一母，求

2的值.

19.(本小题12.0分)

如图，已知4411平面ABC,BB山AA、，AB=AC=3,BC=2屋,AA±=C，BBr=2c,

点E和尸分别为BC和AiC的中点.

(1)求证：EF〃平面

(2)求证：4E_L平面8c当；

(3)求直线4Bi与平面BCBi所成角的大小.

20.(本小题12.0分)

“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌天宫课堂”

是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任

“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展.2022年10月12日15时40分,

“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲.学校针对这次直播课，举办了“天宫课堂”知识竞赛,

有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩进行统计，将数据分为[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中zn的值；

(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；

(3)若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不

低于多少？

21.(本小题12.0分)

在△4BC中，角4,B,C所对的边分别a,b,c,且6cos&+acosB=2ccos4

(1)求角4的值；

(2)已知D在边BC上，且BD=3DC,AD=3,求△ABC的面积的最大值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(久)=/+a比+b,a,bG.R,/(I)=0.

(1)若函数y=|f(x)|在［0,1］上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)设尸(久)=/(|2工—1|)+矶|2久—1|—2),若函数F(x)有三个不同的零点，求实数a的取值

范围；

(3)是否存在整数m,n,使得mW/(x)Wn的解集恰好是若存在，求出m,n的值；

若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：:集合4={x|-1<x<1},B-{x|3x<1}={x\x<0}=（-co,0）,

AB=（—oo,1].

故选：D.

求出集合B,利用交集定义能求出4nB.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R,

贝U2R=VI2+I2+I2=故R=?，

所以S=4兀/?2=4兀x（1^）2=37r.

故选：B.

根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径，即可得出球的表面积.

本题主要考查正方体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲,

丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）},共6个基本事件；

其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）},共2个基本事件；

二甲排在末位的概率p=|=4-

故选：B.

列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由题意可得，(a+i)2=3+4i,即十一1+2山=3+4〉

又a£R,因此｛小一1=3,解得4=2,

则z=2+i,

所以W=2-i在复平面内对应的点(2,-1)位于第四象限.

故选：D.

根据给定条件，求出a值，即可求出复数W对应点的坐标作答.

本题主要考查复数的四则运算，以及共辗复数的定义，复数的几何意义，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：两个班级总的平均数为1==76,

4叱4U比+6U舞。

22

则两个班所有学生的数学成绩的方差为40*[5+(76-70)]+60x[8+(76-80)]=

40+60

故选：C.

根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.

本题主要考查平均数和方差公式，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：对于2,,.,££〃£,m〃a,zn〃6或muS，.以错误；

对于8,mca,ziua,m//p,n〃£,；.a〃£或a,£相交，二8错误；

对于C,an£=I,mca,mJ.2,.,.无法得到m1；.C错误；

对于D,•；m1a,ml/n,..n1a,又戊〃。，n1/?,.，力正确.

故选：D.

根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可.

本题考查空间中线线平行、线面平行、面面平行的位置关系，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：经过x天后，“进步”与“落后”的比藉210000,(|尸>10000,

两边取以10为底的对数得x-Igj>4,即x-(仞3-国2)=x(0.477-0.301)=0.176x>4,

解得x27^=22.73,

所以大于经过23天后，“进步”是“落后”的10000倍.

故选：D.

根据题意得(|尸＞10000,根据对数的运算性质即可求解.

本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数不等式的解法，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：♦.•丽=2,^BAC=p

：.\AB\\AC\^2V_2>

•••SNBC=11AB||~AC\sinZ-BAC=1,

11

J

•JS&MBC=2^^ABC=2

11

^LMAB+^LMAC=^LABC—^LMBC~7S"BC=7'

1

o<X<-

=X，2

则SAMAC=2~X,

1111111

.・.由柯西不等式可得，：+7--------=~+I-=2fc+I-)(%+]-%)

IJP7IJ7、-k-M--A-B-X--Xx--Xz

22式「+京.小:x)2=8,

当且仅当2.J^一%=才:.门，即"=扣寸，等号成立，

故—+的最小值是8.

、4MAB

故选：A.

根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角形面积公式，可得SAMBC=2SNBC=：，再

根据三角形之间的面积关系和柯西不等式，即可求解.

本题主要考查平面向量的数量积公式，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于难题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4由题意可知P(M)=|=2,故A选项正确.

对于B,若两次投掷向下的数字都为3,3+3=6,则事件M,N同时发生，所以M与N不互斥，

故B选项错误.

对于C,事件斤表示：”第一次向下的数字为1或2,且两次向下的数字之和为奇数”，包含的

事件为：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),共4种，所以事件)c后发生的概率为白=J，故C选项错

1b4

误；

对于D,事件MCN表示：“第一次向下的数字为3或4,且两次向下的数字之和为偶数”,包含的

事件为：(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共4种，所以事件MCN发生的概率为白=

事件N包含的事件为。,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共8种,所以P(N)=^=|,

所以P(MN)=P(M)P(N),即事件M与事件N相互独立，故。选项正确.

故选：AD.

结合古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

本题考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件，难度不大，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：对于A：•・,复数Zi=2i,z2=1+i,

•••zr-z2=2i(l+i)=-2+2i,z2=—2—23

•z?——2i(l—i)=-2—23

,,,ZI,z?=Z1•z?，A;

对于B：设2=。+6，aER,bER,

则=|a+(6-2)i|=Ja2+=—2)2=1,

即小+(卜一2)2=1,且

\z\=Va2+b2=-yj1—(b-2)2+b2=V4b—3<V4x3—3=3,

即|z|的最大值为3,B正确；

对于c：言=含=需占=i+i£R，故C错误；

对于D：ZiZ2-2=2i(l+i)—2=—4+2i,z/2-2不是纯虚数，D错误.

故选：AB.

对于4：分别求出Zi•Z2，Z]•Z2来判断;

对于8：设2=。+6，aER,bER,通过条件求出a,b关系，代入|z|中求最值;

对于C：求出?来判断；

z2

对于D：求出Z1Z2-2,结合纯虚数的定义判断即可.

本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题.

11.【答案】AD

【解析】解：由图象可得f（x）的最大值为2,即4=2,7=穿=4©—专），即3=3,

所以/（%）=2sin（3x+（p）,

因为/信）=2,所以3+0=2k7r+MkeZ,

1Z4Z

所以9=2卜兀+［,keZ,因为所以8

所以/（X）=2s讥（3%+3）,

对于4因为令）=0,所以函数y=/（久）的图象关于点（-工,。）对称，故A正确；

对于8,因为/（—瑞）=2s讥（一兀）=0,故2错误；

对于C,当比6［一第一如时,3%+亨6［一年,一?，

所以函数y=f（x）在［-第-刍上不单调，故C错误；

对于D,该图象向右平移居个单位可得y=2s讥［3（K-卷）+3=2s讥3久的图象，故。正确.

1Z1Z4

故选：AD.

根据图象求出y=/（*）的解析式，然后根据正弦函数的知识判断48C,根据图象的平移变换可判

断。.

本题主要考查由y=4s讥（3X+R）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，三角函数

的平移变换，属于中档题.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

如图所示，4取4。的中点M,连接PM,BM,连接对角线AC,8。相交于点。.利用正三角形、菱

形的性质、线面垂直的判定定理可得：40,平面PMB.

A由4可得：4D1平面PMB,可得4D1PB,即可得出异面直线4D与PB所成的角.

C.^BC//AD,可得BC1平面PBM,进而得出NPBM是二面角P—BC-4的平面角，利用RtAPBM

的边角关系即可得出.

。.由于与P力不垂直，即可判断出结论.

本题考查了正三角形、菱形的性质、线面垂直的判定与性质定理、异面直线所成的角、二面角的

平面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

【解答】

解：如图所示，4取力D的中点M,连接PM,BM,连接对角线力C,BD相交于点。.

•.•侧面PAD为正三角形，.•.PM1AD.

又底面力BCD为菱形，^DAB=60°,；.△4BD是等边三角形.

•••AD1BM,

又PMCBM=M,PM,BMu平面PMB,

・••4D1平面PMB,因此A正确.

A由4可得：力D1平面PMB,又PBu平面PMB,

.•.4。1PB,.•.异面直线4D与PB所成的角为90。，正确.

C?.•平面PBCCI平面ABC。=BC,BC//AD,

平面PBM,又PB、BMu平面PBM,

BC1PB,BC1BM.

NPBM是二面角P-BC-A的平面角，设力B=L贝"M=?=PM，

在RtAPBM中，tan/PBM=^=l,ZPFM=45°,因此正确.

BD与P4不垂直，二BD与平面P4C不垂直，因此。错误.

故选：ABC.

13.【答案】［4,+8）

【解析】解：根据题意可知1W尤<4今无<m,但x<小推不出1<x<4,

故｛%|1<x<4｝是｛x|久<m｝的真子集,

故m>4,

故答案为：［4,+8）.

根据题意得到1W久<4与％<m的包含关系，从而得到答案.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

14.【答案】105

【解析】解：将数据从小到大排序：10,30,30,40,40,50,60,60,60,70,

因为10x50%=5,所以第50百分位数是第5项与第6项的平均数，即竺罗=45；

因为10x75%=7.5,所以第75百分位数是第8项，即60；

则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为：45+60=105.

故答案为:105.

将数据从小到大排序，分别求出这组数据第50百分位数与第75百分位数，即可得出答案.

本题考查百分位数的计算，是基础题.

15.【答案】3（百米）

【解析】解：根据题意，在△4DC中，ZXCD=45°,^ADC=67.5°,DC=V-3,

贝此ZMC=180°-45°-67.5°=67.5°,则AC=DC=2c,

在△BCE中，乙BCE=75。,乙BEC=60。,CE=6,

则=180°-75°-60°=45°,

则有.EC_=BC_变形可得BC=ECxsin乙BEC=='q，

JNsinzEBCsinzBEC，乂"'Jnsin乙EBC£2v

2

在△ABC中，AC=2AT3,BC=4,^ACB=180°-Z.ACD-Z.BCE=60°,

贝UM=AC2+BC2-2AC-BC-cos^ACB=9,

则4B=3；

故答案为：3（百米）.

根据题意，在△力DC中，分析角边关系可得力C=DC=2「，在ABCE中，由正弦定理可得BC的

值，据此在△ABC中，利用余弦定理分析可得答案.

本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题.

16.【答案】—7T[2+2V5,4V3]

【解析】解：①过。作。G,DO口于G,则由题可得。G=：x1^=手,

设。至U平面DEF的距离为刈，平面DEF截得球的截面圆的半径为七，

则di<OG,r^—r2—d1=4--d1>4：—

所以平面DEF截得球的截面面积最小值为£兀；

②由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P',

贝1JPP'=2,PE=V22+P'E2,PF=V22+P'F2,P'E2+P'F2=16，

设t=P'E2,则te[0,42],PE+PF=V22+t+V22+16-t,

所以(PE+PF)2=(V22+t+V22+16-t)2=24+2V-t2+16t+80=24+

2J—(t-8)2+144G[24+8AT5,48].

所以PE+PF6[2+2^,4<3].

故答案为：①:兀；②[2+2/下,44司.

①由题可得。到平面DEF的距离为八式争，进而可得平面DEF截得球的截面面积最小值；

②设P在底面的射影为P',设1=P'E2,PE+PF=V22+t+V22+16-t,然后利用二次函数

的性质可得PE+PF的取值范围.

本题考查圆柱与球的表面积和体积，考查逻辑推理能力，是一道难题.

17.【答案】解：(I)设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件4B,C,

则P(B)=0.9,P(C)=0.5,P(X)=0.8,

.•・甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率R=PQ4BC)=PQ4)P(B)P(C)=0.8x0.9x0.5=0.36.

(II)甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，

P2=P(4)P(B)P(C)+P(4)P(B)P(C)+P(4)P(B)P(C)=0.2X0.9X0.5+0.8x0.1X0.5+

0.8X0,9X0.5=0.49.

【解析】(I)根据相互独立事件概率的性质可解.

(U)根据相互独立事件概率的性质可解.

本题考查相互独立事件概率的性质，属于基础题.

18.【答案】解:⑴•.*=(门,一2),a//b，

二设b=5,—2)>且|b|-3A/-2,

3|A|=3。，解得4=±/7，

b=-24)或(-2<7);

(2),.■|a|=2,|h|=1><a,b>=:，

••ct-b=-1，

又位+4方)1(2a-by

(a+2b)-(2a-b)=2a2-Afo2+(2A-l)a-b=8-A-2A+1=0>解得％=3.

【解析】本题考查了共线向量基本定理，根据向量的坐标求向量的长度的方法，非零向量垂直的

充要条件，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

(1)根据为=(厅,一2)，五〃方即可设3=4(口,一2)，然后根据|||=3，^即可求出2的值，进而

可得出向量铀勺坐标；

⑵可先求出五不=一1，然后根据Q+4垃1(21一3)即可得出(方+43).(2五-3)=0，然后进

行数量积的运算即可求出4的值.B.

-Kx

在AABC中，「E和F分别是BC和4c的中点，・•.EF〃&B,“\

又,；&Bu平面45/4EFC平面力//&,

•••£77/平面A//4.

(2)证明：­：AB=AC,E为BC中点，：.AE1BC,

AA11平面ABC,BB1//AA1,BBr1平面ABC,

又AEu平面ABC,

BB]1AE,

又•••BCCiBB1=B,BC,BB]u平面•••AE1平面BCB1；

(3)解：取中点M和8传中点N,连接&M,&N,NE,

N和E分别为B]C和BC的中点，.•.NE〃B[B旦NE=

NE〃&A且NE=.•.四边形44EN是平行四边形，

•••ArN//AE,

■：AE_L平面BCBi，ArN_L平面BCB1，

乙4/iN即为直线A/i与平面8cBi所成角，

在△ABC中，AE=2,■■.A1N=AE=2,

vBM//AA1,BM=AAr,■■ArM//AB^.ArM=AB,

又由ABIBB],&M1BB1，

22

在中，A1B1=VBrM+ArM=4,

在Rt△A1NB1中，sinz■力i/N==:，

A]Z

因为NA/iNG(0,,

•••4&B1N=

即直线A出与平面BC%所成角的大小为也

【解析】(1)连接&B,根据中位线的性质证明根据线面平行的判定定理即可证明结论；

(2)证明4E1BC,BB]14E,根据线面垂直的判定定理证明结论；

(3)取BBi中点M和BiC中点N,连接&M,&N,NE,可证四边形是平行四边形，从而

ArN//AE^.ArN=AE,进而4N1平面BCB1，乙4/iN即为直线力声1与平面BCB1所成角，在三角

形中求解即可.

本题考查了空间中的平行、垂直关系的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由图可得(爪+5m+0.03+0.04)x10=1,解得爪=0.005；

(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数工=65x0.005x10+75x0.025x10+85x0.04x

10+95x0.03x10=84.5；

(3)设被嘉奖的学生的分数不低于x,

因为第四组的频率为0.03x10=0.3,第三组的频率为0.04x10=0.4,

所以久€[80,90),所以0.04X(90-%)+0.3=0.4,

得x=87.5,

即被嘉奖的学生的分数不低于87.5分.

【解析】(1)利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为1进行计算；

(2)根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；

(3)根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为0.4时即可.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.

21.【答案】解：(l)AABC中，bcosA+acosB=2ccosA,

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,

所以sin(A+B)=2sinCcosA,

因为4+B+C=TT,所以sinQ4+B)=sinC,

所以s讥C="ZsinCcosA,

又因为C是△ABC的内角，所以s讥C力。，所以cos^E；

又因为4是△ABC的内角，所以4=早

(2)因为曲=3反，所以同一通=3(前一而)，所以而="荏+,刀；

所以9=白话之+与前之+|荏•前，

16loo

BP9=+2匕？+2力。，

161616

由基本不等式得：9>lb