2020-2021学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年天津市河西区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.已知。。的半径为10cm,点M到圆心。的距离为10%则该点M与。。的位置关系

为（）

A.点M在圆内B.点M在圆上C.点M在圆外D.无法判断

2.如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与

自身重合，那么这个角度至少为（）

A.60°B.72°C.75°D.90°

3.下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）

4.下列多边形一定相似的是（

A.两个平行四边形两个菱形

C.两个矩形两个正方形

5.下列说法错误的是（）

A.已知圆心和半径可以作一个圆

B.经过一个已知点A的圆能做无数个

C.经过两个已知点A,8的圆能做两个

D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能做一个圆

6.已知△ABC和的相似比是1：2,则△ABC和的面积比是（）

A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4

7.当x22时，二次函数＞=/-女-3有（）

A.最大值-3B.最小值-3C.最大值-4D.最小值-4

8.如图，已知。。上三点A,B,C,半径。C=l,ZABC=30°,切线PA交OC延长线

于点P,则PA的长为（）

p

A.2B.^3C.yf2D.

9.如图，在平行四边形A3c。中，点E是边A。的中点，EC交对角线5。于点孔贝lj

尸。等于（）

C.1：1D.1：2

10.一个圆锥的底面半径r=10,高力=20,则这个圆锥的侧面积是（）

A.B.200^/3TIC.100^/5ITD.200^/5TC

11.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100。，得到△ABiG,若点31在线段5。的

延长线上，则N351G的大小为（）

C.80°D.86°

12.二次函数y=〃N+foi+c（〃W0）的顶点坐标为（-1,〃），其部分图象如图所示.以下

结论错误的是（）

B.4ac-Z?2<0

C.3a+c>0

D.关于x的方程ax2+bx+c=n+l无实数根

二、填空题（共6小题）.

13.点（3,-2）关于原点的对称点的坐标为.

14.抛物线y=x2+2尤-3与y轴的交点为.

15.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、

“6”，掷一次小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是.

16.如图，铁道路口的栏杆短臂长1小，长臂长16根，当短臂端点下降05”时，长臂端点升

高为.（杆的宽度忽略不计）

17.如图，菱形ABC。的边长为10,面积为80,ZBAD<90°,与边A3,都相切,

菱形的顶点A到圆心0的距离为5,则的半径长等于.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形ABC。的四个顶点均在格点上，连

接对角线BD.

（I）对角线3。的长等于；

（II）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使得点B的对应点次恰好落在对角线BD上,

得到矩形AB'CD'.请用无刻度的直尺，画出矩形A#CD',并简要说明这个矩

形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）.

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程

19.解方程：N+10x+9=0.

20.学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有6,8,10三张扑

克牌，学生乙手中有5,7,9三张扑克牌，每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大

的为本局获胜，每次获取的牌不能放回.

(1)若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况；

(2)并求学生乙本局获胜的概率.

21.如图，在△A3C中，DE//BC,分别交48、AC于点。、E,若AO=3,DB=2,BC=6,

求。E的长.

22.如图，A8为的直径，点C在。。上，与过点C的切线互相垂直，垂足为D连

接2C并延长，交的延长线于点E.

(1)求证：AE=AB-,

(2)若AB=10,BC=6,求的长.

23.某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件,

应如何定价才能使利润最大？

(I)填空：

①当每件以35元出售时，可卖出件；利润为元；

②当每件以x元出售时，利润为元；其中x的取值范围是.

(II)完成对本题的解答：

24.如图①，将两个等腰直角三角形纸片和。C£>放置在平面直角坐标系中，点。(0,

0),点A(0,扬1),点2(扬1,0),点C(0,1),点。(1,0).

(I)求证：AC=BD；

(II)如图②，现将△OC。绕点。顺时针方向旋转，旋转角为a(0°<a<180°),

连接AC,BD,这一过程中AC和8。是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角a的度数

为时，AC所在直线能够垂直平分BD；

(III)在(II)的情况下，将旋转角a的范围扩大为0°<a<360°,那么在旋转过程

并写出此时旋转角a的度数.(直接写出结果即可)

图①图②

25.已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8),该抛

物线的顶点为D

(I)求抛物线的解析式及其顶点。的坐标；

(II)①直线CD的解析式为；

②过点D作DHA.X轴于H,在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长,

求点P的坐标；

(IID设直线CO交x轴于点E.过点8作x轴的垂线，交直线CQ于点R将抛物线沿

其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段所总有公共点.试探究：抛物线向上最多可平

移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.已知。。的半径为10。小点M到圆心。的距离为10c“z,则该点A;与。。的位置关系

为（）

A.点M在圆内B.点M在圆上C.点M在圆外D.无法判断

解：：QO的半径为10°",点M到圆心O的距离为10cm,

.'.d—r,

，点M与O。的位置关系是：点M在圆上，

故选：B.

2.如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与

自身重合，那么这个角度至少为（）

A.60°B.72°C.75°D.90°

解：因为五角星的五个顶点等分圆周，

所以360°+5=72。，

所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，

那么这个角度至少为72°.

故选：B.

3.下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）

解：可以看作是中心对称图形的是第三个图案,

故选：C.

4.下列多边形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个菱形

C.两个矩形D.两个正方形

解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等.

矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定

相等，故不一定相似，A、B、C错误；

而两个正方形，对应角都是90°,对应边的比也都相当，故一定相似，。正确.

故选：D.

5.下列说法错误的是（）

A.已知圆心和半径可以作一个圆

B.经过一个己知点A的圆能做无数个

C.经过两个已知点A,B的圆能做两个

D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能做一个圆

解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意.

8、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能做无数个，说法

正确，故不符合题意.

C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以已知点A,8的圆能做无数个，说法错误,

故符合题意.

。、经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能做一个圆，说法正确，故不符合题意.

故选：C.

6.已知△ABC和△。斯的相似比是1：2,则△A2C和△。所的面积比是（）

A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4

解：:△ABC和的相似比是1：2,

.♦.△ABC和△。所的面积比是1：4.

故选：D.

7.当尤三2时，二次函数y=N-2%-3有（）

A.最大值-3B.最小值-3C.最大值-4D.最小值-4

解：：＞=尤2-2x-3=（x-1）2-4,

，抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

当尤＞1时，y随尤的增大而增大，

.•.当x22时，函数有最小值＞=22-2X2-3=-3,

故选：B.

8.如图，已知。。上三点A,B,C,半径。C=l,ZABC=30°,切线尸A交OC延长线

1

D.

2

解：连接。4,

VZABC=30°,

：.ZAOC=2ZABC=60°,

,/过点A作。。的切线交OC的延长线于点P,

：.ZOAP=9Q°,

：OA=OC=1,

；.AP=OAtan60°=1X-\/3=V3,

故选：B.

9.如图，在平行四边形ABC。中，点E是边A。的中点，EC交对角线8。于点E贝|EF：

FC等于（）

C.1：1D.1：2

解：；nABCD,i^AD//BC,

:ADEFsABCF,

.DE=EF

,•而一而‘

:点E是边的中点,

：.AE=DE=—AD,

2

.EF=2

"CF-T

故选：D.

10.一个圆锥的底面半径厂=10,高。=20,则这个圆锥的侧面积是（）

A.B.20。7^C.100粕nD.200&11

解：这个圆锥的母线长="102+2°2=10灰,

这个圆锥的侧面积=Jx2nX10X10遥=100点n.

故选：C.

11.如图，将AABC绕点A按逆时针方向旋转100。，得到△A81G,若点囱在线段8C的

解：根据旋转的性质可知NBAB=100。，且AB=ABi,/B=/AB©.

:点Bi在线段8C的延长线上，.•./8囱4=/8=40°.

ZABiCi=40°.

ZBBiCi=ZBB1A+ZABiCi=40°+40°=80°.

故选：C.

12.二次函数y=0+6x+cQWO）的顶点坐标为（-1,〃），其部分图象如图所示.以下

结论错误的是（）

A.abc>Q

B.4ac-b2Vo

C.3〃+c>0

D.关于x的方程ax1+bx^c=n+\无实数根

解：A.,・•抛物线开口向下，

.*.6Z<0,

:对称轴为直线尤=-?=-1,

2a

；.b=2a<0,

抛物线与y轴交于正半轴，

：.c>0,

abc>0,

故A正确；

瓦•・•抛物线与x轴有两个交点，

b2-4。。>0,即4ac-Z?2<0,

故B正确；

C：抛物线的对称轴为直线彳=-1,抛物线与x轴的一个交点在（-3,0）和（-2,

0）之间，

.,.抛物线与x轴的另一个交点在（0,0）和（1,0）之间，

.".x=1时，j<0,

即a+b+c<0,

\'b=2a,

.,.3a+c<0,

故C错误；

抛物线开口向下，顶点为（-1,〃），

...函数有最大值小

，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+l无交点，

，一元二次方程aN+bx+c=〃+l无实数根，

故。正确.

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.点（3,-2）关于原点的对称点的坐标为（-3,2）.

解：点（3,-2）关于原点的对称点的坐标为（-3,2）,

故答案为：（-3,2）.

14.抛物线y=/+2x-3与y轴的交点为（0,-3）.

解：令x=0,贝仃=-3,

，抛物线y=N+2x-3与y轴的交点为（0,-3）.

故答案为（0,-3）.

15.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、

“6”，掷一次小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是《.

~2-

解：•••掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6

这3种可能，

...朝上一面的数字出现偶数的概率是?=5，

62

故答案为：

16.如图，铁道路口的栏杆短臂长17”,长臂长16%，当短臂端点下降0.5根时，长臂端点升

高为8m.（杆的宽度忽略不计）

由题意知/R4O=/C=90°,

ZAOB=ZCOD,

：.AABO^ACDO,

.ABBOBn0.51

CDDOCD16

解得：CO=8,

故答案为：8m.

17.如图，菱形ABCD的边长为10,面积为80,ZBAD<90°,与边AB,AD都相切,

菱形的顶点A到圆心0的距离为5,则。。的半径长等于_代_.

解：如图，连接2。交AC于点。,，作于尸，过点。作OELAB,垂足为E,

:菱形ABC。的边长为10,面积为80,

・・・CD・BF=80,

BF=8,

-'•FC=VBC2-BF2=6>

：.DF=CD-FC=10-6=4,

BD22=

=VDF+BFV42+82=4烟,

：.O'D=O,B=3BD=2近,

VZAEO^ZAO'2=90°,ZOAE^ZBAO',

/.△AOE^AABO/,

.QE_AQ

"FT-AB)

故答案为：,\[s-

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形A3C。的四个顶点均在格点上，连

接对角线BD.

(I)对角线BO的长等于，遥

(II)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使得点B的对应点夕恰好落在对角线BD上,

得到矩形AB'CD'.请用无刻度的直尺，画出矩形AB'C'D',并简要说明这个矩

形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）取格点”，连接AH交于点夕，取格

点C',G,F,连接ARB‘C,CG,AF交BC'于D',四边形A'B'CD'

解：（I）BD—yj2^+4^-2^/5-

故答案为：21/5-

取格点H,连接AH交8。于点夕，取格点C，,G,F,连接AF,B'C,CG,

AF交BC'于。'，四边形A'B'CD'即为所求作.

故答案为：取格点H,连接AH交8。于点次，取格点C，,G,F,连接AF,B'C,

CG,AF交BO于》,四边形A'B'CD'即为所求作.

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程

19.解方程:x2+10x+9=0.

解：方程分解得：（尤+1）（x+9）=0,

可得尤+1=0或x+9=0,

解得：无1=-1,X2=-9.

20.学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有6,8,10三张扑

克牌，学生乙手中有5,7,9三张扑克牌，每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大

的为本局获胜，每次获取的牌不能放回.

（1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况；

（2）并求学生乙本局获胜的概率.

解：(1)由题意可得，

每人随机取手中的一张牌进行比较的所有情况是:

(6,5)、(6,7)、(6,9)、

(8,5)、(8,7)、(8,9)、

(10,5)、(10,7)、(10,9)；

(2)学生乙获胜的情况有：(6,7)、(6,9)、(8,9),

•••学生乙本局获胜的概率是：

93

即学生乙本局获胜的概率是，■.

21.如图，在△ABC中，DE//BC,分别交A3、AC于点。、E,若AD=3,DB=2,BC=6,

求。E的长.

解：-：DE//BC,

：.LADEsLABC,

.DADE

•.—，

ABBC

又：AD=3,DB=2,BC=6,

：.AB=AD+DB^5,

22.如图，AB为O。的直径，点C在O。上，A。与过点C的切线互相垂直，垂足为D连

接2C并延长，交AD的延长线于点E.

(1)求证：AE=AB；

(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.

E

【解答】(1)证明：连接AC、0C,如图,

•・・CD为切线，

・•・OCLCD,

9

：CD±ADf

：.OC//AD,

：・/OCB=/E,

•・•OB=OC,

：.ZOCB=ZB,

：.ZB=ZEf

：.AE=AB；

(2)解：TAB为直径，

ZACB=90°,

'AC=N]02_$2=8,

'：AB=AE=10,ACLBE,

：.CE=BC=6,

"：—CD'AE^—AC'CE,

22

.rn6X824

105

E

23.某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，

应如何定价才能使利润最大？

(I)填空：

①当每件以35元出售时，可卖出65件;利润为325元;

②当每件以尤元出售时，利润为芦-30)(100-x)元;其中x的取值范围是」

<x<100.

(II)完成对本题的解答：

解：(I)①当每件以35元出售时，可卖出65件；利润为325元；

②当每件以x元出售时，禾I」润为(x-30)(100-x)元；其中x的取值范围是(30<x

<100)；

故答案为：65,325,(%-30)(100-x),30cxe100；

(II)设最大利润为卬元，

则w=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225,

V-KO,0<x<100,

...当x=65时，二次函数有最大值1225,

定价是65元时，利润最大.

24.如图①，将两个等腰直角三角形纸片和OCO放置在平面直角坐标系中，点0(0,

0),点A(0,扬1),点8(扬1,。)，点C(0,1),点。(1,0).

(I)求证：AC=BD；

(II)如图②，现将△OCD绕点。顺时针方向旋转，旋转角为a(0°<a<180°),

连接AC,BD,这一过程中AC和8。是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角a的度数

为90°时,AC所在直线能够垂直平分2D；

(III)在(II)的情况下，将旋转角a的范围扩大为0°<a<360°,那么在旋转过程

中，求△3AO的面积的最大值，并写出此时旋转角a的度数.（直接写出结果即可）

图①图②

解：(I)•・•点A(0,扬1),点3(亚1,0),点C(0,1),点。(1,0),

：.OA=^\,08=^4,OC=lfOD=1,

J.AC—OA-OC=y[2^1-1=V2»BD=yf2+l-l=y/~2y

：.AC=BD；

(II)由题意知，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,

AZAOC=ZAOB-ZCOB=90°-/COB,ZBOD=ZCOD-ZCOB=90°-ACOB,

：.ZAOC=ZBOD,

：.AAOC^ABOD(SAS),

：.AC=BD,ZOAC=ZOBD,

如图1(注：点。在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上)，延长AC交3。

于。，连接8C,

在RtZkAOB中，OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

ZCAB+ZABD=ZOAB-ZOAC+ZABO+ZBOD=ZOAB+ZOBA=90°,

：.AC±BD,

•・・AC垂直平分8。，

：.CD=BC,

设点。的坐标为(m,n),

*+〃2=1①，

由旋转知，CD=T]+]=

'：B（扬1,0）,[m-（扬1）F+〃2=2②,

联立①②解得，m=l,n=0,

...点C在x轴上，

旋转角为NAOC=90°,

故答案为：90°；

(III)如图2,

'：OA=OB=^\,

AB=\p2PA=2+yp^,

过点O作于H,

：.SAAOB=^OA•OB=^AB•OH,

>

•z7,J-0A0B_3+2V2_2-H/2

"AB2+V22+722

过点D作DGLAB于G,S^ABD=^AB-DG=^(2+&)DG,

要使△A3。的面积最大，则。G最大，

由旋转知，点。是以。为圆心，1为半径的圆上，

...点。在的延长线上时，DG最大,

即DG的最大值为D'H=OD'+OH=14+^,

22

•4AB»最人=当比0归=1(2+&)X生亚