2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷（学生版+解析版）

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.（5分）已知集合4=瓜优（尤-2）<0},B^{x\-1<X<1],则（）

A.{x|-l<x<2）B.{x|0<x<l}

C.{x\x<-L或%>2}D.{x|x<0,或%>1}

已知复数益。为虚数单位），则团=（）

2.(5分)2=

A.1B.V2C.V3D.2

TTTTT

3.(5分)已知向量0=(机，1),b=(2,〃)，若|Q|=2,a_Lb,则mn=(

A.±3B.3C.±6D.-6

4.（5分）4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数

是（)

A.34B.43C.12D.24

5.(5分)已知数列{斯}的前n项和％=n2-7n,若3V延V5,则左=()

A.8B.7C.6D.5

6.(5分)已知p：b>ln,q-.“f(x)=(f-b(a>0,且的图象不过第一象限”，则0

是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（5分）若a>b>l,0<c<l,则下列式子成立的是（）

ba

A.\ogC<logbCB.----->-----

aa-cb-c

ba

C.blogac>alogbcD.a<b

8.（5分）设％>0,若存在正实数元,使得不等式/。死7%-八3--1之0成立，则％的最大值为（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）若P是双曲线C：餐-5=1上一点，C的一个焦点坐标为尸（4,0）,则下列结论中

正确的是（）

A.m=V5

B.渐近线方程为y=士,x

C.|尸网的最小值是1

D.焦点到渐近线的距离是位

（多选）10.（5分）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为C云=匕号一，双

曲正弦函数为s/zx=丝爱二.则下列结论中正确的是（）

A.（c/zx）'=shxB.（Mx）2+（c/zx）2=l

C.shlx=2shx9chxD.chx是奇函数

（多选）11.（5分）设函数/（%）=s讥（2%-电的图象为曲线E,则下列结论中正确的是（）

A.（—金，0）是曲线石的一个对称中心

n

B.若X1WX2，且/（XI）—f（X2）=0,则由-功的最小值为W

TT

C.将曲线y=sin2x向右平移］个单位长度，与曲线E重合

771

D.将曲线y=s讥Q-分上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变，与曲线E重合

（多选）12.（5分）如图，菱形ABCD边长为2,ZBAD=60°,E为边A2的中点.将△ADE沿。E折

起，使A到4,且平面ADE_L平面BCDE,连接48,A'C.则下列结论中正确的是（）

B.四面体ACDE的外接球表面积为811

3-"\^6

C.8c与AD所成角的余弦值为ID.直线AB与平面AW斤成角的正弦值为了

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）曲线/（x）=xsinx在久=号处的切线方程为.

14.（5分）设抛物线/=2^（p>0）的焦点为F,抛物线上一点M（3,yo）到F的距离为6,则yo=.

15.（5分）中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”.他发明的“三系法”釉型杂交水稻，

创建了超级杂交稻技术体系.某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760公斤，到第二期亩产

810公斤，第三期亩产860公斤，第四期亩产1030公斤.将第一期视为第二期的父代，第二期视为第

三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分

析的方法预测第五期的产量为每亩公斤.

附：用最小二乘法求得线性回归方程为y=bx+a,其中b='之1（工厂X）仇;，）,a=y_bx.

必（D

357

16.（5分）英国数学家泰勒发现了公式：s讥%=K-号+今-号+…，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的

数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明.1+与+3+々+….

234

其发现过程简单分析如下：

容易看出方程----=0的所有解为：±2ii,…，±而，…，

x

SITLX

于是方程----=0可写成：（/-互2）[x2-（如）2]…[f-（m）2]…=0,

X

改写成：（1一a）[1一玲]…[1一点记]…二°・（*）

比较方程（*）与方程1—含—看■+…=0中/项的系数，即可得1+3+』+3+…=_______

s.3./.234

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinAcosB=2sinC+sinB.

(1)求角A;

(2)若a=4,b+c=2V5,求△ABC的面积.

18.(12分)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为8,数列｛瓦｝为等比数列,满足。1=历=2,15=30,加+2是

by与b5的等差中项.

(1)求数列｛斯｝,｛仇｝的通项公式;

⑵若Cn=an"n,二是数列｛加｝的前”项和,求〃.

19.(12分)如图，在五面体中，面AD£F为矩形，且与面ABCD垂直，ZBCD=90°,

CD=^BC=1,DE=V2.

(1)证明：AD//BC-,

(2)求平面ACE与平面BCEP所成的锐二面角的余弦值.

20.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如

下频率分布表和频率分布直方图.

分组频数频率

[2.5,7.5)20.002

17.5,12.5)m0.054

[12.5,17.5)1060.106

[17.5,22.5)1490.149

[22.5,27.5)352n

[27.5,32.5)1900.190

[32.5,37.5)1000.100

[37.5,42.5)470.047

合计10001.000

(1)求n,a的值;

(2)求出这1000件产品质量指标值的样本平均数元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(山。2),其中n近似为样本平均

数元，。2近似为样本方差32,其中已计算得。2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50),

企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外，企业每件产品要

损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利

润，求EX.

附：752？6«7.25,P(^-o<x<|i+o)=0.6826,尸(口-20cx<|i+2。)=0.9544.

,频率/组距

0.07------------

0.06------------

0.05---------------

0.04---------------

a---------------------

0.03---------------

0.02------------尸=

0.01---------------

0

2.57.512.517.522.527.532.537.542.5质量指标值

21.(12分)已知椭圆C：弓■+与=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为一.

q4力2

(I)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C上的点A(xo,yo)(xoyoWO)的直线/与x,y轴的交点分别为M,N,且加=2就1,

过原点O的直线机与/平行，且与C交于B,。两点，求面积的最大值.

22.(12分)已知函数/(x)=e"2x—>2)一吟―i),fl£R,e=2.71828…是自然对数的底数.

(1)当a=0时，讨论/(x)的单调性；

(2)当尤W2时，/(%)》0,求a的取值范围.

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.（5分）已知集合4={X以（x-2）<0},B={x\-则ACB=（）

A.{x|-l<x<2]B.{x|0<x<l}

C.{x\x<-1,或x>2}D.{x\x<0,或x>l}

【解答】解：'：A={x\x(x-2)<0}-{x|0<x<2},B=[x\-l<x<l}>

.,.AnB={x|O<x<2}n{x|-1<X<1}={X|0<X<1}.

故选：B.

2.（5分）已知复数2=（i为虚数单位），则|z|=（

B.V2C.V3

•••kl=J(1)2+(-j)2=V2.

故选：B.

3.(5分)已知向量。=(m,1),b=(2,n),若|a|=2,a±6,则加〃=()

A.±3C.±6D.-6

TT—T

【解答】解：：向量a=(m,1),b=(2,n),|a|=2,a±b,

•f|a|=Vm2+I2=2,

(2m+n=0

.,.mn--6.

故选：D.

4.（5分）4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数

是（）

A.34B.43C.12D.24

【解答】解：根据题意，每名同学必须且只能从3个课外知识讲座随机选择其中的一个，则每个同学有

3种选法，

贝!J4名同学有3X3X3X3=34种选，

故选：A.

5.（5分）已知数列｛斯｝的前几项和%=层一7几，若3〈延V5,则左=（）

A.8B.7C.6D.5

【解答】解：由e=层-7小可得：Sn-1—（〃-1）2-7（n-1）（〃22）,

两式相减整理得：即=2〃-8,九22,

又当〃=1时，有〃i=Si=l-7=-6,也适合上式，

所以an—2n-8,

111Q

由3〈或V5,可得：3<2%-8V5,解之得：”VkV%,

又在N*,

可得k=6.

故选：C.

6.（5分）已知必“OV〃V1,b>V\q：6（f（x）-b（〃>0,且aWl）的图象不过第一象限”，则〃

是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：q：“于3=标-匕（〃>0,且〃W1）的图象不过第一象限”，则OV〃V1,b^l

p：“OVQVI,b>VJ,

则p是q的充分不必要条件，

7.（5分）若a>b>L0<c<l,则下列式子成立的是（）

ba

A.logaC<logbCB.----->------

a-cb-c

ab<ba

C.b\ogac>cilogbcD.

【解答】解：.logo。-l0gbC=器-糕=%臀，且心心1,。々<1,

，仇c<0,Inb-lna<0,lna>0,lnb>0,\ogac>logbc,故A错,

11

-a-Ob-OO,.-.0<—

ba

F'故8错,

..71ibinealncInc(blnb—alna)

.blogac-alogc=^-^=>0,

b11Ina-Inb

b\ogac>alogbc，故C对,

令a=2,b=1.5,贝1Ja=2i5=2VLba=1.52=2.25,故。错,

故选：C.

8.（5分）设左>0,若存在正实数x,使得不等式］。出7%-卜•3-t20成立，则上的最大值为（）

1ln3eln3

A.------B.----C.----D.----

eln3eln32

【解答】解：因为Iog27x-H3""iqo,

所以久一左.3履7^0,

log327

11

所以/og3x—可左•3日20,

33

所以log3x，％・33

1

所以工Iog3x23五,

所以log3k（X）2（3。%,

令3k=a.

则

由>=炉与y=logd互为反函数，可得图象关于直线y=%对称，

所以工=^=108融有解，

贝！Jlnx=xlna,即lna=

可得y=竽，求导得了=二竺，

可得尤>e时，函数y递减；0<x<e时，函数y递增，

则x=e时，y=绊取得最大值为士

xe

1

即/〃公

所以43%反

一一1

所以依丽'

即k的最大值为七.

eln3

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）若尸是双曲线C：号-4=1上一点，C的一个焦点坐标为尸（4,0）,则下列结论中

yTil

正确的是（）

A.m=V5

B.渐近线方程为y=±gx

C.|P日的最小值是1

D.焦点到渐近线的距离是V7

【解答】解：对于A,因为双曲线C：号―1的一个焦点坐标为F（4,0）,

yTil

m+9=42,:.m=7,故错；

对于B,渐近线方程k±"=±2，故正确；

对于C,|尸引的最小值是c-a=4-3=l,故正确；

ber—

对于D,焦点到渐近线的距离是=b=y/7,故正确.

Va2+b2

故选：BCD.

（多选）10.（5分）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为c/u=U^,双

曲正弦函数为5桁=，二.则下列结论中正确的是（）

A.（c/zx）'—shxB.（shx）2+（c/zx）2=1

C.sh2x=2shx*chxD.chx是奇函数

【解答】解：对于A,（chx）'=e"+ej（T）==shx,即选项A正确；

pX_p_x_%2xI——2%

对于3,（s/zx）2+（chx）2=（-------）2+（-------）2=--------Wl,即选项3错误；

22」

2

eX+e-XeX_e-Xe2X_e-2X

2shx•chx=2•----------,------------=---------------=sh2x,即选项C正确；

222

p—X_1_pjC

对于,：ch（-x）=————chx,I.Mx为偶函数，即选项。错误.

故选：AC.

（多选）11.（5分）设函数f（x）=s讥（2%一刍的图象为曲线E,则下列结论中正确的是（）

A.,0）是曲线E的一个对称中心

71

B.若X1WX2，且/（XI）=f（X2）—0,则|xi-12|的最小值为5

71

C.将曲线y=sin2x向右平移］个单位长度，与曲线E重合

771

D.将曲线y=s讥野上各点的横坐标缩短到原来的-，纵坐标不变，与曲线E重合

【解答】解：•..函数〃x）=s讥（2%—卷的图象为曲线E,

令工=—务求得/⑴=-1,为最小值，故/（无）的图象关于直线后-金对称，故A错误；

T127T71

若X1#X2，且/（%1）=f（X2）=0，则田-切的最小值5=鼻X万=3，故3正确；

将曲线y=sin2x向右平移;个单位长度，可得y=sin（2x—等）的图象，故C错误；

将曲线y=s讥（久-刍上各点的横坐标缩短到原来的5,纵坐标不变，可得尸sin⑵-引的图象，与

曲线E重合，故。正确，

故选：BD.

（多选）12.（5分）如图，菱形4BCD边长为2,ZBAD=60°,E为边AB的中点.将△AOE沿OE折

起，使A到A',且平面ADEL平面BCDE,连接AB,A'C.则下列结论中正确的是（）

A.BD.LA'C

B.四面体ACDE的外接球表面积为8n

3

C.与A3所成角的余弦值为二

4

D.直线A6与平面AC。所成角的正弦值为一

4

【解答】解：将△川0£沿。£折起，使A到A',且平面ADEL平面BCDE,连接A3,A'C

：.EB,ED,EA'两两垂直，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，

对于A,B(1,0,0),D(0,V3,0),A'(0,0,1),C(2,V3,0),

BD=(-1,V3,0),A'C=(2,V3,-1),

—>T

,：BD-A'C=-2+3=l#0,与A'C不垂直，故A错误;

对于8,取CE中点F,连接。儿

DELDC,：.FE=FD=FC=|VT+4=；,

过下作R?_L平面CDE,四面体A'CDE的外接球球心O在直线OF上，

设。P=x,由。。=04'=R,得：+/=：+解得xj:.R=JZ+1=V2,

四面体ACZ)£的外接球表面积为：5=4几网=8n，故2正确；

对于C,BC=(1,V3,0),A'D=(0,V3,-1),

设BC与AD所成角的为6,

\BC-A'D\_3_3

则COS0=

\BC\-\^D\月海4

3

；.BC与A3所成角的余弦值为一，故C正确；

4

->-»->

对于O,A'B=(1,0,-1),A'C=(2,V3,-1),A'D=(0,V3,-1),

设平面AC£)的法向量九=(x,y,z),

则=+岛-z=0,取尸],得心(°,],W),

n-A'D=V3y—z=0

直线A'B与平面A'CD所成角的正弦值为：

|48后|=忌=空'故。正确•

sin0=

\^B\-\n\

故选：BCD.

NO

D

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)曲线/(%)=xsirix在％=5处的切线方程为x-y=0.

【解答】解：求导数可得/(x)=sinx+xcosx,

・,・%=*时,/弓)=1

TC7T

又•.了匕)

...曲线/(x)=xsin%在x=3处的切线方程为y-3=x即x-y=0

故答案为：x-y=0.

14.(5分)设抛物线y=2px(p>0)的焦点为R抛物线上一点M(3,yo)到尸的距离为6,则vo=土

6_.

【解答】解：抛物线C；>2=2.(p>0)的焦点为尸(p0),准线为/：x=~l，

由抛物线的定义可得，也用=3+岑=6,

解得p=6,即有抛物线的方程为>2=12%,

将x=3代入抛物线方程，可得yo=±6.

故答案为：士6.

15.(5分)中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”.他发明的“三系法”釉型杂交水稻，

创建了超级杂交稻技术体系.某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760公斤，到第二期亩产

810公斤，第三期亩产860公斤，第四期亩产1030公斤.将第一期视为第二期的父代，第二期视为第

三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分

析的方法预测第五期的产量为每亩1384公斤.

附：用最小二乘法求得线性回归方程为y=bx+a,其中匕=第1®一幻仇了),a=y-bx.

【解答】解：设期数为即册=1,2,3),亩产为》(=1,2,3),

[71,1—760+810+860—810+860+1030

则％=------5---------=810n,y=-----------5----------=9n0n0n,

所以中匕=£陶（々一君吃歹）=告=2.2,

%（―）5

则a=9一6元=900-810X2,2=-882,

则线性回归方程为y=2.2x-882,

当x=1030时，y=1030x2.2-882=1384,

所以预测第五期的产量为每亩1080公斤.

故答案为：1384.

357

16.（5分）英国数学家泰勒发现了公式：s讥x=x-蓑+1r-a+…，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的

数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明.1+4+当+当+….

234

其发现过程简单分析如下：

,,sinxx0

当xWO时，有----=1一二7+77-二+…，

%3!5!7!

SITLX

容易看出方程----=0的所有解为：±冗，土如，…，土"TT,…，

X

SITIX

于是方程----=0可写成：（/-互2）[^2-（211）2]…[f-（HIT）2]…=0,

X

改写成：（1一^!）[1一法]…[1一忌]…=（*）

,y2-y4-y6-111TT2

比较方程（*）与方程1—予■+可—yp+…=0中/项的系数，即可得1+”+7~+$•+,••=•

.兀

【解答】解:方程（1—^2）[1—~22]…[1—2]…=0中/项的系数为—1（1+摄+最+…+'+…），

又方程1—货+今—今■+…=o中/项的系数为一1，

11111

由题意可知，7（1-1—?"I—7—"I—7"I—）="

7142乙3乙n乙o

所以1+—7+—7+—7+,,,=-y-.

2346

7T2

故答案为：—.

6

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinAcosB=2sinC+sinB.

(1)求角A;

(2)若a=4,b+c=2V5,求△ABC的面积.

【解答】解：(1)因为2sinAcosB=2sinC+sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)+sinB,

所以可得2cosAsinB+sinB=O,

因为sinBWO,

所以cosA=一守

因为AC(0,n),

所以4=等

(2)因为A=詈，a=4,b+c=2V5,

所以由余弦定理。2=廿+°2-26CCOSA,可得16=廿+。2+儿=(6+C)2-6c=20-6c,

解得be—4,

所以SAABC=|z?csinA=；X4X学=V3.

18.(12分)已知等差数列｛为｝的前“项和为S”数列｛氏｝为等比数列，满足的=历=2,S5=30,庆+2是

3与打的等差中项.

(1)求数列｛斯｝，｛瓦｝的通项公式;

(2)若Cn=。”•瓦,以是数列｛加｝的前〃项和,求兀

【解答】解:(1)设等差数列｛斯｝的公差为d,等比数列｛瓦｝的公比为4,

由的=历=2,*=30,%+2是加与庆的等差中项，

可得biq=2,5X2+106/=30,2(加+2)=b3+b5,

即2(61/+2)=b\q2+b\q[,

解得d=2,Z?i=l,q=2,

贝。丽=2+2(.n-1)=2n；氏=2"一1；

(2)因为cn=a"，b"="2"；

所以数列｛c“的前〃项和7^=1X21+2X22+3X23+……+(〃-1)・2”-1+叱2”,

27；,=1X22+2X23+……+(〃-2)・2"+(«-l)-2n+if2n+i,

两式相减可得-r„=2+22+23+……+2"-力2/1=(1-n)«2n+1-2,

：.Tn=5-1)・2叫2.

19.(12分)如图，在五面体ABCDEF中，面ADE尸为矩形，且与面ABCD垂直，ZBCD=9Q°,AD=

CD=^BC=1,DE=V2.

(1)证明：AD//BC；

(2)求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值.

【解答】(1)证明：因为面ADEF为矩形，则AO〃ER

又AOC平面EEBC,EFBC,

所以AD〃平面

又AOu平面ABCD,平面ABCDn平面EFBC=BC,

所以AO〃BC；

(2)解：由题意，平面E胡。_L平面ABC。，平面跖WC平面ABCO=AO,

又E"A£),EDu平面瓦AD

所以EZ)_L4BC。，

由(1)可知，AD//BC,又/BCD=90°,则CD_L4。，

故ED,AD,CD两两互相垂直，

以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则D(0,0,0),4(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,夜)，尸(1,0,夜)，

—>—>

所以4。=(一1,1,0),AE=(-1,0,V2),

T->

CE=(0,-1,V2),EF=(1,0,0),

设平面ACE的法向量为£=(久，y,z),

_>—>

联”=。，即尸十:。，

{n-AE=0—+岳=0

令z=l,贝h=y=a,

故ri=(V2/V2/1),

设平面8c灯的法向量为蔡=(a,b,c),

•TT

则m-CE=0^则—b+V2c=0

m-EF=0a=0

令c=l,贝!Jb=V2,

故m=(0,V2/1),

所以|c°sV亡m>|=|^2+1_V15

V5xV3一

V15

故平面ACE与平面BCEP所成的锐二面角的余弦值为《一.

20.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如

下频率分布表和频率分布直方图.

分组频数频率

[2.5,7.5)20.002

[7.5,12.5)m0.054

[12.5,17.5)1060.106

[17.5,22.5)1490.149

[22.5,27.5)352n

[27.5,32.5)1900.190

[32.5,37.5)1000.100

[37.5,42.5)470.047

合计10001.000

(1)求相，n,a的值;

(2)求出这1000件产品质量指标值的样本平均数元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(山。2),其中以近似为样本平均

数元，。2近似为样本方差$2,其中已计算得。2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50),

企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外，企业每件产品要

损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利

润，求EX.

附：,52.6a7.25,P(|i-o<x<^+o)=0.6826,P(H-2o<x<n+2o)=0.9544.

♦频率/组距

【解答】解：（1）结合频率分布表可以得到:

2_m

吗°2喈4，解得m=54,w=0.352,

0.002-n

(2)这1000件产品质量指标值的样本平均数为：

%=5X0.002+10X0.054+15X0.106+20X0.149+25X0.352+30X0.190+35X0.1+40X0.047=25.

(3)VV5Z6«7.25,由(2)知Z〜N(25,52.6),

：.P(10.50<Z<39.50)=P(25-2X7.25<Z<25+2X7.25)=0.9544,

设y为随机抽取20件产品质量指标值位于(10.50,39.50)之外的件数，

依题意知Y〜3(20,0.0456),：.E(Y)=20X0.0456=0.912,

：.E(X)=-100XE(y)+10X20X0.9544=99.68.

21.(12分)已知椭圆C：表■+方=l(a>6>0)的长轴长为4,离心率为

(1)求椭圆C的方程；

—>—>

(2)过椭圆C上的点A(xo,yo)(xoyoWO)的直线/与x,>轴的交点分别为N,S.AN=2MA,

过原点O的直线机与/平行，且与C交于B,。两点，求面积的最大值.

【解答】解：（1）因为长轴长为4,离心率为次,

所以2a=4,且《=髀苧，

解得〃=2,c=V3,

所以b1=a2-『2=1,

所以椭圆。的方程为丁+F=1.

（2）设直线/的方程为丁=女（x-xo）+yo，

令x=0,得>=-京o+yo，即N（0,-芯o+yo）,

令y=0,得x=-^+xo，即M（―^+xo,0）,

Kk

因为ZN=2MA,

y

所以（-刈，-卮o）—2（―n,yo）,

K.

』=要，即上驾,

所以