2020-2021学年山西省吕梁市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年山西省吕梁市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数盒-的虚部为（）

.1.„1„2「2.

A.—IB.—C.--D.--I

5555

2.甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7,两人下成平局的概率是0.5,则甲胜的概率是（）

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.7

3.设a,0是空间两个不重合的平面，/,相是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的

是（）

A.若/J_a,/±p,则a〃BB.若/J_a,则/〃机

C.若/La,/〃0,贝D.若/La,a±p,则/〃0

4.圆锥的母线长是2,侧面积是2ir,则该圆锥的高为（）

A.5y3B.yfsC.MD.2

5.“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，

黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称.下面是黄鹤楼的示意图,

某位游客（身高忽略不计）从地面。点看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进37.5米

到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45°,则楼高AB约为（）

（参考数据：73^1,73）

D.73米

6.已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示,

则下列四个选项中判断正确的是（）

A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

7.如图，在边长为2的正方形ABC。中，E,尸分别是AB,BC的中点，将△AED,ABEF,

△DCE分别沿DE,EF,。尸折起，使A,B,C三点重合于点4,则四面体4-DEF的

外接球的表面积为（）

A.24nB.12TTC.6HD.3H

8.如图，在△ABC中，。是BC的中点，£在线段A3上，且BE=3EA,AD与CE交于点

O.设访=x7E+y而则x+y=（）

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2

个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（）

A.2个小球都是黑色

B.2个小球恰有1个是红色

C.2个小球都不是红色

D.2个小球至多有1个是红色

10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6=6,C=30°,则使得角B

有两个解的c的值可以是（）

A.3B.3>/3C.5D.7

11.如图，由Ai,4，4,4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能

正常工作的概率均为P,则（）

A.甲、乙系统都正常工作的概率为*4

B.甲系统正常工作的概率为2P2-04

C.乙系统正常工作的概率为1-（1-/?）2

D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率

12.如图，正方体用4Qi的棱长为1,线段BQi上有两个动点E,F（尸靠近3），

且EF］，则下列结论中正确的是（）

A.AC±BF

B.存在点E,尸使得AF,BE相交

C.三棱锥A-BEE的体积为定值

D.AF+BF的最小值为4

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额(单位：万元)进行统计得到的数据为12,

18,24,21,25,32,28,23,30,则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是.

14.已知向量|彳|=2，b=(l,1)，且向量力与E的夹角为十，则|2+2三|等

于.

15.已知正三棱柱中4BC-4BC1中，AB=2,BBi=4,D,E分别是棱4G,3囱的中点，

则异面直线BiD与AE所成角的正切值为.

16.如图，在△ABC中，COSZBAC=-4>AC=2,。是边BC上的点，且BO=2OC,AD

=DC,则4B等于.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知平面向量彳=(3,-2),b=(l.-y)且E-Z与w=(2,1)共线.

(1)求y的值；

(2)若i=2；+E，n=a-c-求向量7与向量三所夹角的余弦值.

18.在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培

养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准

扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农,

品牌强农等方面的积极作用.某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收

益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播.现从观看过甲，乙村播

的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分

布表：

乙村播所得分数频数分布表

分数区间频数

[4.5,5.5)20

[5.5,6.5)10

[6.5,7.5)46

L7.5,8.5)84

[8.5,9.5]60

(1)若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被

评为年度优秀村播？(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(2)对于(1)中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200

名观众中对其评分为[4.5,6.5)的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽

取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评

分为[5.5,6.5)的概率.

甲村播所得分数频率分布直方图

而立

0.33............................

0.30......................

0.22.................................

010---1—

0.05--

0^---------------------------------

4.55.5657.58595得分

19.已知直三棱柱ABC-4SG中，侧面为正方形.AB=BC=2,AF=3,E,F

分别为BC和CG的中点.

(1)求三棱锥P-ACE的体积；

(2)证明：AF±BiE.

20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要

通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加

科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目

考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若

前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过

几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为冷,

D

女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为号3.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试,

在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机

会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过

也互不影响.

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面尸。UL平面ABC。，AD//BC,AD±DC,PD±PB,

AD^-BC=bCD=3,E是尸C的中点.

(1)证明：OE〃平面尸49；

(2)证明：尸£＞，平面P2C；

(3)已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为柒，求尸。的长.

5

22.在锐角△ABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,现有以下三个条件：

①。2+。2-序=(4c2-2Z?c)cosA；②b二acosC+^^csinA；③asin(A+B)=csin^^.请

从以上三个条件中选择一个完成下列求解.

(1)求角A的大小；

(2)若△A2C的面积为2«,求边。的取值范围.

参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中,

只有一项是最符合题目要求的.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.

1.复数盒-的虚部为（）

1.1厂2「2.

AA.—iBD.—C.--D.--i

5555

铲・・1_"iJ_2.

'l+2i-（l+2i）（l-2i）-5T1'

i2

，复数7*的虚部为-9

1+21t>

故选：C.

2.甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7,两人下成平局的概率是0.5,则甲胜的概率是（）

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.7

解：甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.7,两人下成平局的概率是0.5,

则甲胜的概率是P=0.7-0.5=02.

故选：A.

3.设a,0是空间两个不重合的平面，I,m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的

是（）

A.若/J_a,/±p,则a〃0B.若/J_a,贝U/〃加

C.若/La,/〃d则D.若/La,a±p,则/〃B

解：对于A,由面面平行的判定定理得A正确；

对于8,由直线与平面垂直的性质定理得B正确；

对于C,Z±a,/〃印则在日中一定0存在直线与/平行，由面面垂直的判定可得

故C正确；

对于，若La,a±p,则/〃0或/u0,故£>正确；

故选：D.

4.圆锥的母线长是2,侧面积是2m则该圆锥的高为（）

A.B.C.D.2

解：设圆锥的高为心底面圆的半径为r,

由题意可知，母线长/=2,侧面积是2m

则^'叩冗广1=兀广2=2兀，解得厂=1，

所以h=712-r2=V3-

故选：A.

5.“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，

黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称.下面是黄鹤楼的示意图,

某位游客（身高忽略不计）从地面。点看楼顶点A的仰角为30。，沿直线前进37.5米

到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45°,则楼高48约为（）

（参考数据：^3^1.73）

A.45米B.51米C.62米D.73米

解：因为在△AED中，ZD=3Q°,ZEAD=45°-30°=15°,DE=3T.5

[5X]

由F核定理——匹——=杷•TH■得AE=DEFnD=37.5X—=_2

~sinz_EADsinDsinz_EAD.oV6V2

sinl1bR,

4

37-5xl加

7573+7575X1.73+75

在△ABE中，可得AB=AEcos45°=—r=LX”

44

4

51.

故选：B.

6.已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示,

则下列四个选项中判断正确的是（）

A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

解：对于4甲的成绩的平均数为：

一1

乂甲=启(5+6X2+7X2+8X2+9X2+10X1)=7.5,

乙的成绩的平均数为：

一1

X-=-^-(6+7X3+8X2+9X3+10X1)=8,

乙10

•••甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A错误；

对于8,甲的成绩的中位数为等=7.5,

乙的成绩的中位数为等=8.5,

.•.甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故2错误；

对于C,由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对集中，

甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故C正确；

对于。，甲的成绩的极差为10-5=5,乙的成绩的极差为10-6=4,

甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故。错误.

故选：C.

7.如图，在边长为2的正方形ABC。中，E,尸分别是AB,3c的中点，将/XBEF,

△DCF分别沿DE,EF,折起，使A,B,C三点重合于点4,则四面体A-D所的

外接球的表面积为()

B.12nC.6irD.3n

解：由题意可知AA'Eb是等腰直角三角形，且A'。，平面A'EF.

三棱锥的底面A，EF扩展为边长为1的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：V12+12+22=V6-

•••球的半径为阵，

2_

则四面体A'-DEF的外接球的表面积为4nX（半）2=6TT.

故选：C.

8.如图，在AABC中，。是BC的中点，E在线段上，且BE=3EA,与CE交于点

0.设苗=乂族+7正，贝1Jx+y=（）

解：（1）△A2C中，。是BC的中点，BE=3EA,AD与CE交于点0.

.•.•..

则AO=xAB+yAC=4xAE+yAC，

因为E,O,C三点共线，

所以4x+y=l①，

因为A,0,。三点共线，

..[..*1...1.

所以A0=〉AD=5）（AB+AC）=51（4AE+AC）=2入AE+q入AC，

所以由平面向量的基本定理可得4x=2入，y=^X,

所以x=y②,

由①②组成方程组解得x=y=^,

D

2

所以x+y=—.

D

故选：D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2

个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（）

A.2个小球都是黑色

B.2个小球恰有1个是红色

C.2个小球都不是红色

D.2个小球至多有1个是红色

解：盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，

总的基本事件有：“2个小球都是红色”，“2个小球都是黄色”，“2个小球都是黑色”，

“2个小球分别为1红1黑”，“2个小球分别为1红1黄”，“2个小球分别为1黄1

里，，

选项A：“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故A正确，

选项B：“2个小球恰有1个红色”包含“1红1黑与1红1黄”，与“2个小球都是红

色”互斥不对立，故2正确，

选项C：“2个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故C正确，

选项D：“2个小球至多有1个是红色”的对立事件为“2个小球都是红色”，故D错误，

故选：ABC.

10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6,C=30°,则使得角B

有两个解的c的值可以是（）

A.3B.3yC.5D.7

解：如图，过A作垂足为，

CDB

•：b=6,C=30°,且使得角2有两个解，

：.AD<c<AC,即3<c<6.

故选：BC.

11.如图，由4,42,4,4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能

正常工作的概率均为p(0<p<l),则()

A.甲、乙系统都正常工作的概率为8犷

B.甲系统正常工作的概率为2P2-p4

C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2

D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率

解：甲系统正常工作的对立事件是4,4中至少一个元件不能正常工作，

且4,4中至少一个元件不能正常工作，

甲系统正常工作的概率为：

P=1-(1-P2)(1-P2)=2p2-p4,

故A错误，B正确；

乙系统正常工作的情况为：

Ai,4中至少一个元件能正常工作，且A3,4中至少一个元件能正常工作，

乙系统正常工作的概率为：

P=[l-(1-p)2][1-(1-0)2]=p4-4p3+402,故C错误；

VO<P<1,

22

(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=_2p(1-p)<0,

...甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率，故。正确.

故选：BD.

12.如图，正方体ABCO-AiBCOi的棱长为1,线段B01上有两个动点E,F(尸靠近囱)，

且EF-"，则下列结论中正确的是()

A.AC±BF

B.存在点E,尸使得AF,BE相交

C.三棱锥A-BEE的体积为定值

D.AF+BF的最小值为4

解：对于A,连接B。，交AC于O,则ACLBD,又22」平面ABC。，则AC_LBBi,

则有AC_L平面BDD山i,BDDyBx,所以AC_LBR故A对；

对于3,由于BE是平面2D。出i内一直线，尸不在直线BE上，且尸在平面BDDIi内,

点A不在平面8DAB1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故8错；

对于C,由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DDiBiB的距

离为定值，故可得三棱锥A-BE尸的体积为定值，故C正确;

对于。，如图建立空间直角坐标系，可得A(1,1,0),2(0,1,0),设厂(1-f,

1)哼WW1),

22+22=2+2

AF+BF=yjt+(t-l)+lV(1-t)+(t-l)+lV2<Vt-t+l^t-2t+y)，

令于G)=(Vt2-t+l+^t2-2t+-^-)=J。总)(t-1)2+(0-^^'

f⑺可以看作在平面直角坐标系内的点尸G,0)到点A(p亨)和点B(1,零)

的距离之和,

如图8关于x轴的对称点C(l,-乎)，连结AC交x轴于点尸(m0),显然劭£哼

1］，

G)的最小值为AC=

：.AF+BF的最小值为收坛,故。正确.

AB

\I

-------^-1----

O

•C

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12,

18,24,21,25,32,28,23,30,则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是21.

9

解：：9X25%=子，

此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是从小到大排序后的第3个数，

而此门店1至9月份的营业额从小到大排序的前三个数是12,18,21,

故此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是21,

故答案为：21.

14.已知向量|a|=2,b=（l,1），且向量；与E的夹角为子，则|7+2三|等于_2泥_.

解:Ia+2bI=V|a|2+4|b|2+4a»b-^4+4X2+4X2X-\/2Xcos-^-=V20-

2后,

故答案为：2^/g-

15.已知正三棱柱中ABC-A/iG中，A8=2,BBi=4,D,石分别是棱4G,的中点，

则异面直线与AE所成角的正切值为率.

—3―

解:以C为原点，过C作3c的垂线为X轴，C3为y轴，CG为Z轴，建立空间直角坐

标系，

C(0,0,0),A(«,1,0),B(0,2,0),Al(遮，1,4),Bi(0,2,4),

Cl(0,0,4)

则D(半，y,4),£(0,2,2),

所以彳=(除0),标=(-«,1,

2),

设异面直线BiD与AE所成角为0,

BjD'AE-3Lv'6

则COS0=|-iBpD|-|AEII,X2加~T

2=2/10

则正弦值sin®=

4

710

sin©

・•・异面直线BiD与AE所成角的正切值tan9=

cos8加3

T

-4,AC=2,。是边BC上的点，1.BD=2DC,AD

o

=DC,则AB等于3

解：设AB=c,BD=2CD=2AD=2x,

在△ABC中，由余弦定理BC1=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC,

、、、14.

可得9\2=。2+22-2*cX2X(--),BP9x2=c2+4+—c，"•©"

oo

-*—»9—►1—»9—>

AD=AB号BC=与AB号AC，

.痴2吗而尊）2,

整理可得：x24-c2-^-lf••…②，

yunf

联立①②消去x可得c=3.

故答案为：3.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知平面向量短⑶-2），b=（l,-了）且石三与混（2,1）共线.

（1）求y的值；

（2）若三=2彳+石，n^-'c;求向量7与向量W所夹角的余弦值.

解：（1）由题意得：b-a=（~2,2~y）,c=（2,1）,

因为b-a与c共线,

所以（-2）XI-2（2-y）=0,

解得>=3.

（2）由（1）可知E=（l,-3），

于是m=2a+b=(7,-7)，n=a-c=(l>_3)>

设向量7与向量：夹角为0>

m，n_28

则cos9

Im||n|7企,V105

18.在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培

养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准

扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农,

品牌强农等方面的积极作用.某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收

益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播.现从观看过甲，乙村播

的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分

布表：

乙村播所得分数频数分布表

分数区间频数

[4.5,5.5)20

[5.5,6.5)10

[6.5,7.5)46

[7.5,8.5)84

[8.5,9.5]60

（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被

评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200

名观众中对其评分为［4.5,6.5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽

取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评

分为［5.5,6.5）的概率.

甲忖播所得分致贩率分布直方图

解：（1）由甲村播所得分数频率分布直方图，得

x甲=0.05X5+0.10X6+0.30X7+0.33X8+0.22X9=7.5

；

由乙村播所得分数频数分布表，得元=20X5+10X6+4^7+64X8+60X9=7.67

200

因为x甲＜x乙,

所以乙能被评为年度优秀村播

（2）因为乙能被评为年度优秀村播，200名观众中对乙评分为［4.5,6.5）的观众有30名,

其中评分为［4.5,5.5）有20名,评分为［5.5,6.5）有10名.

用分层抽样从中抽取6人，则其中评分为［4.5,5.5）的有20琮6=4名,

oU

评分为［5.5,6.5)的有景X6=2名.

记评分为［4.5,5.5)的4名观众为4,A2,A3,A4,

评分为［5.5,6.5)的2名观众为Bi,B2,

从中随机选取2人，结果可以是：

(Ai,4)，(Ai,A3),(Ai,4),(Ai,Bi),(Ai,&),

(A2,A3),(A2,A4),(A2,Bi),(A?,B2),(A3,4),

(A3,Bi),(A3,&),(A4,BI),(A4,B2),(Bi,&),共15种.

其中事件4=“至少有1人评分为［5.5,6.5)”包括的结果有：

(Ai,B\),(Ai,&),(A2,Bi),(A2,B2),(As,Bi),(A3,B?),

(A4,BI),(A4,B2),(Bi,B2)共9种.

所以深入座谈的观众中至少有1人评分为［5.5,6.5)的概率为P(A)=3.

b

19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形.AB=BC=2,AF=3,E,F

分别为BC和CG的中点.

(1)求三棱锥F-ACE的体积；

(2)证明：AF_LBiE.

解：(1)为正方形，且AB=2,：.CCi=2,

又尸为CG的中点，，尸C=l,

则AC=7AF2-FC2=2V2-

又AB=BC=2,：.AB-+BC2=AC2,

.•.△ABC为等腰直角三角形.

是CB的中点,：.CE=1,

•••VACE=yXCFxsAACE-xlX-^xIX2=4-；

r川匚OOO

证明：（2）连接BR

由（1）知ABLBB\,BCCBBi=B,CC\BiB,

又BiEu平面CCBB,C.AB^BiE.

BE1pc1

,.,tanZBBiE=g^-=y,tan/FBC嗡甘，且这两个角都是锐角,

/BBiE=ZFBC,得BF±BiE.

y.AB_LBiE,ABCBF=B,平面ABP,

：AFu平面ABF,：.BiE±AF.

20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要

通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加

科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目

考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若

前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过

几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为看，

5

2

女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为等.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，

在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机

会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过

也互不影响.

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.

解：（1）设4=“丈夫在科目二考试中第i次通过"，Bi="妻子在科目二考试中第i

次通过”，

则P（A］）=4，

其中i=l,2,3,4,5.

设事件A="丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，

事件2=”妻子参加科目二考试不需要交补考费”，

事件C="这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”

——41494

则P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)-1-tyXy=^-，

——31315

，

P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)^4TX-=I^

P(O=P(AB)41xf4-

Q

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为完

(2)设事件"丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,

事件E="妻子参加科目二考试需交补考费200元”，

事件F="这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”

--------1144--------1122

则P(D)=P(A]A2A3)=yX至X石下，P(E)=P(B1B2B3)=Tx-x-^,

D玲

P(F)=P(AE+BD)爱X弓虐X』条

/J4?lb5?4U

因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为二.

40

21.如图，在四棱锥尸-ABCL(中，平面PDC_L平面ABCD,AD//BC,AD±DC,PDLPB,

AD=yBC=bCD=3,E是PC的中点.

(1)证明：DE〃平面PAB；

(2)证明：尸。_L平面尸2C；

(3)已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为柒，求尸。的长.

5

【解答】(1)证明：取尸8中点E连接EF,AF.

Pi

因为E是尸。的中点，

所以E尸〃BC,且EF=^BC，

因为AO〃BC,AD-^BC，

所以EP〃A£>,且£F=AD,

所以ADEE为平行四边形，DE//AF.

又DEC平面FABAFc^F®PAB,

所以〃平面PAB.

(2)证明：因为AO〃BC,AD±DC,

所以8CLLOC.

因为平面PDCJ_平面ABCD,平面PDCC1平面ABCD=OC,BCu平面ABCZ),

所以BC_L平面PDC.

因为PDu平面PDC,

所以BCL尸。.

XPDLPB,BCCPB=B,

所以PO_L平面PBC.

(3)解：过D作DG〃A2