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文档简介
2022-2023学年上海市宝山区高一(下)期末数学试卷
一、单选题(本大题共4小题,共12.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.如果a<6<0,那么下列式子中一定成立的是()
A”>abBl/C,^<1D.i<i
2.欧拉公式e»e=cosd+isinB(其中e是自然对数的底数,i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉
发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,在复变函
数论里占有非常重要的地位.当8=兀时,恒等式〃兀+1=0更是被数学家们称为“上帝创造
的公式”.根据上述材料判断e-i华表示的复数在复平面对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.在平行四边形4BCD中,BE=^BC,衣=/屈.若荏=根罚+n荏,则m+n=()
AB
44c.ID.|
4.在△ABC中,AB-AC=9,sinB=cosAsinC,S^ABC=6,P为线段AB上的动点,且加=x.
蒜+y,箫则鸿最小值为()
A•"容B《+?C.(DV
二、填空题(本大题共12小题,共53.0分)
5.在复数范围内,-4的所有平方根为.
6.若塞函数/(%)=(m2—5m+1)%血+1为奇函数,则该函数的表达式/(%)=.
7.无论a为何值,函数y=a%-3+l(a>0,a。1)的图像恒经过一个定点,该定点坐标为
8.若log?2=m,则log296=(用含租的式子表示).
9.若向量五、后满足〈乙另)=60。,\a\=|K|=3,则|有一2另|=.
10.己知集合A={x|言>0},集合B={x||x—a|<2},若力U8,则实数a的取值范围是
11.在平面直角坐标系X0y中,锐角6的大小如图所示,贝!Rem。=/
K
12.已知关于%的一元二次方程%2+2/c%+Ze?一2k+3=0有两个虚根%1、冷,且好+避=
10,则实数k的值为
13.函数/(%)=sin®1+0)(3>0,|wl<今的部分图像
如图所示,则/(当=______.
4
14.如图,为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离,在岸上选取力和。两斗一(,
点,现测得A8=5km,AD=7km,/-ABD=60°,zCBD=23°,/.BCD=/
117°,据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为km(精确到/
AB
O.lkni).
15.己知4(0,2),点P(sin(2”?cos(2t—灯是平面上一个动点,则当t由0连续变到轲,
线段力P扫过的面积是.
16.已知函数/'(%)=出久|—|cosx|,有以下命题:
①函数y=/(x)的最小正周期为兀;
②函数y=/(x)在[一,刍上为增函数;
③直线x=]是函数y=f(x)图像的一条对称轴;
④函数y=/(x)-1在[0,用上有三个零点;
⑤函数y=/(x)的最小值为-1.
请写出正确命题的全部序号.
三、解答题(本大题共5小题,共60.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题12.0分)
已知向量五=(1,2),b=(3,1).
(1)求位,为;
(2)若向量3=(1,2),则当2为何实数时,己〃(2五+3)?平行时它们是同向还是反向?
18.(本小题12.0分)
流行性感冒简称流感,是流感病毒引起的急性呼吸道感染,也是一种传染性强、传播速度快
的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其
重要的意义,某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面
积为48小机2,经过3分钟覆盖面积为64小62,后期其蔓延速度越来越快;菌落的覆盖面积y(单
位:nun?)与经过时间了(单位:m讥)的关系现有三个函数模型:(1)y-kax(k>0,a>1),
@y=logbx(/>>1),③丫=p//+q(p>0)可供选择.(参考数据:⑷2=0.301,lg3®
0.477)
(1)选出你认为符合实际的函数模型,说明理由,并求出该模型的解析式;
(2)在理想状态下,至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300nmi2?(结果保留
到整数)
19.(本小题12.0分)
已知复平面上有点4、B,向量成与向量屈对应的复数分别为l+2i和4T.
(1)求点B的坐标;
(2)设点4对应的复数为4,复数Z2满足|Z2|=2门,Imz2>0,且为纯虚数,求复数z2.
20.(本小题12.0分)
已知向量记=(sinx,3cosx),n=(sinx+21^cosx,cosx),令函数f(x)=m-n.
(1)求函数y=f(x)的表达式及其单调增区间;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到函数y=。(久)的图像,且满足g(-x)=
g(x),当t最小时,存在实数X1、%2使得/'(Xl)L9(久2)=4,求出-久21的最小值.
21.(本小题12.0分)
在数学中,双曲函数是与三角函数类似的函数,最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余
弦函数,其中双曲正弦函数:sinh{x)=eX-e双曲余弦函数:cosh(x)=七,二(e是自然
对数的底数,e=2.71828-).
(1)计算cosh(2)-2cos%2(i)的值;
(2)类比两角和的余弦公式,写出两角和的双曲余弦公式:cosh(x+y)=,并加以证明;
(3)若对任意te[0,Zn2],关于x的方程s讥h(t)+cosh(x)=a有解,求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:对于4a<力<0,.,・小>故A正确;
对于8,a<b<0,.<.a—h<0,a+b<0,
・•.a2—b2=(a+b)(a—b)>0,即小〉/,故吕错误;
对于C,a<力<0,,2>1,故。错误;
对于。,va<b<0,ah>0,b—a>0,
=^-77>0,即工>:,故。错误.
ababab
故选:A.
利用不等式的性质可判断AC,利用作差法可判断8,
本题主要考查了不等式的性质,考查了作差法比较大小,属于基础题.
2.【答案】D
【解析】解:欧拉公式e访=cosO+isind,
12023..2023,7r...zr,.,江、
63=-----2023------------2023=COS~~-7T-LSlYi~~—7T—COS(674TT+—15171(^67471+~J
cos他2兀+is沆笠3333
=COsg—isi7^=:-Wi.复数对应的点为(1—?)在第四象限.
故选:D.
利用复数的指数运算法则,化简求解即可.
本题考查复数的指数的运算法则的应用,复数对应点的坐标的判断,是基础题.
3.【答案】D
1111
而
+-而+
【解析】解:由题意可得通=AE+EB=AE2-2-3-
15
*荏
2-
2-6-
所以zn=5,九=2,
Zo
4
所以TH+?!=§,
故选:D.
利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出小,n即可.
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:在△ABC中,设4B=c,BC=a,AC=b,
sinB=cosAsinC,即sin(4+C)=cosAsinC,
^sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,sinAcosC=0,
7T
•・•0<AV7T,•••sinA>0,cosC=0,v0<C<7r,C=-,
AB•~AC-9,WflcbcosA=9,又S>ABC=^bcsinA-6,・•.tanA==2=£
2bcco吗sA3b
-1P=1
S^ABC=-ab—6,贝=12,所以,lb3,
'Vab=12
解得{:二,c=Va2+h2=5.
以AC所在的直线为%轴,以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
产为线段48上的一点,则存在实数;I使得而=XAB=2(-34)=(-32,4/1)(0<A<1),
ACP=Cl+XAB=(3-3A,4A),
设同=曷'/=篙则同|=闻=1,
**,el=(1/0)»e2=
,#=x>篙+'湍="二+'孩=®办
二二",消去4得4x+3y=12,W+"=l,
所以,;+:=C+jG+*=金+卷++£
当且仅当久=?y时,等号成立,
因此,;+3的最小值为5+?.
xy123
故选:B.
在AABC中,设力B=c,BC=a,AC=b,结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求
cosC=0,可得C=],再由已知条件求得a=4,6=3,c=5,考虑建立以AC所在的直线为%轴,
以8C所在的直线为y轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12,
然后利用基本不等式可求得;+;的最小值.
本题主要考查平面向量的基本定理,属于中档题.
5.【答案】±2i
【解析】解:一4=4t2,
则-4的所有平方根为±2i.
故答案为:±2i.
根据已知条件,结合复数的四则运算,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,属于基础题.
6.【答案】x
【解析】解:由募函数的定义可得,m2-5m+l=1,
解得ni=0或5,
当?n=0时,f(x)=x,为奇函数,符合题意,
当m=5时,/(x)=”为偶函数,不符合题意,
所以/'(x)=%.
故答案为:%.
由哥函数的定义可得爪2-5m+l=1,求出小的值,再利用/(%)为奇函数进行排除即可.
本题主要考查了幕函数的定义和性质,属于基础题.
7.【答案】(3,2)
【解析】解:函数y=a*—+i(a>0,aK1),
令x—3=0,得x=3,此时丫=口。+1=2,
二函数y=谟-3+i(a>0,a41)的图像恒经过定点(3,2).
故答案为:(3,2).
令X—3=0,结合a°=1即可求出结果.
本题主要考查了指数函数的性质,属于基础题.
8.【答案】5+-
m
-1
【解析】解:由log?2=a,则k)g296=log2(32x3)=log232+log23=5+log32=5+—.
故答案为:5+Z
m
直接根据对数的运算性质求解即可.
本题考查了对数的运算性质,考查了运算求解能力,属于基础题.
9.【答案】
【解析】解:已知向量五、至满足〈五花)=60。,|五|=|后|=3,
则方•b=|a||K|cos<a,b>=3x3x|=
贝”五一2石|=Ja2-4a-b+4b2=J9-4x|+4x9=3c-
故答案为:3c.
由平面向量数量积的运算,结合平面向量的模的运算求解即可.
本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了平面向量的模的运算,属基础题.
10.【答案】[—1,1]
【解析】解:由芒|>0可得(%+1)(%-1)V0,解得一故A={%[-1<%<1},
由<2可得一2<%—a<2,即a—2<x<a+2,故B={x\a-2<x<a+2},
若A=则有即一iWaWL
la+2>1
实数a的取值范围是[-1,1].
故答案为:[—1,1].
用分式不等式的解法解出集合4,绝对值不等式的解法解出集合B,再根据集合的包含关系的定义,
找到端点关系,从而解出参数a.
本题考查了分式不等式,绝对值不等式的解法以及集合的包含关系的应用,属简单题.
n.【答案】|
【解析】解:由已知有tan(8+》=蜉吟=p
4,l—tan3tan-4r1
即署露=5,解得tan”今
1—tany3
故答案为:|.
根据三角函数定义可得tan(8+5=5,由此可得1加仇
本题考查三角函数定义,两角和差公式,属于基础题.
12.【答案】-4
【解析】解:因为于久的一元二次方程/+2"+1-2k+3=0有两个虚根%1、%2,
3
所以4=(2fc)2-4(/c2-2/c+3)=4(2fc-3)<0,2-
2
由韦达定理可得%i+x2=—2k,=fc—2/c+3,
=22
所以后+%2(%i+%2)2—2%I%2=4k2—2(fc—2fc+3)=2(k+2fc-3)=10,
所以在2+2k-3=5,fc2+2/c-8=0,解得k=-4或k=2,
又因为k<|,所以k=—4.
故答案为:-4.
根据4<0可得k<I,再结合韦达定理求解即可.
本题考查了一元二次方程的求解、韦达定理,属于中档题.
13.【答案】?
【解析】解:由已知,r=G)X4=7
又T=—,ci)=2,则/'(x)=sin(2x+(p),
60
图象过点©,i),对应五点法中的第二点,
则有2x2+0•••(P=-
DZO
W(X)=sin(2x-5=sin(y-1)=sin(^-1)=cos1
故答案为:?.
根据图象上的点确定解析式,再求函数值即可.
本题考查三角函数的图象,属于基础题.
14.【答案】5.8
【解析】解:由题意得在AABO中,AB=5km,AD=7km,^ABD=60°,
2
由余弦定理得=AB2+BD-2-AB-BD-COS600,
即49=25+-2x5xBDx点
解得BD=8或BD=-3(不合题意,舍去),
在ABC。中,乙CBD=23°,ABCD=117°,
上CDB=40°,
利用正弦定理BD_BC即BC=g震=5.8.
sinl17°—sin400,sinll"
故答案为:5.8.
首先利用余弦定理的应用求出BD的长,进一步利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果.
本题考查正弦定理,余弦定理,三角函数的值,考查运算能力和逻辑推理能力,属于基础题.
15.【答案】cy
【解析】解:由sin2(2tY)+cos2(2t*)=1可知,
点P在圆心在原点,半径为1的单位圆上.
如图,当t=o时,P(—?W)'此时,NPoa=60°,
又。P=1,0A=2,PA10P.
t=轲,点P运动到Q(yW),同理可得力Q10Q,
故当点P运动到点Q时,线段4P扫过的面积S=S”OQ-
c
。扇形POQ,
又
SAPOQ=2xx1xV_3=y/~39
由NPOQ=120。可得S扇衿。Q=彳x兀x12.
故线段AP扫过的面积为,石-泉
故答案为:-热
首先找出点P的轨迹,然后利用图形找到线段4P扫过的图形,解答时注意切线位置是关键.
本题在几何背景下考查了三角函数的定义,求值,扇形面积等知识,属简单题.
16.【答案】①③⑤
【解析】解:当xe[2/OT,2k?r+》keZ时,/(x)=V-3|sinx|—\cosx\—yj~3sinx—cosx—
2sin(x—
当%E[2/CTT+,2/C7T+TT),keZ时,f(x)=y/~^\sinx\—\cosx\=V_3smx+cosx=2sin(x+,
当%e[2/CTT+TC,2kn+-TT),/cGZ时,/(%)=V3|sinx|—\cosx\=—\3sinx+cosx——2sin{x—
6人
3____
当汽E[2/CTT+27T,2/CTT+2兀),keZ时,/(%)=y/~^\sinx\—\cosx\=V-3sinx—cosx=
—2sin(x+\);
r2sm(x-3xG[2kn,2kn+:)
2sin(x+£),无€[2/CTT+2/CTT+TT)
所以/(%)={兀3兀,kEZ,
—2sin(x—-),xG[2/CTT+TI,2/CTT+—)
-2sin(x+^),xG[2/CTT+^-,2kn+2TT)
作出f(%)的图象,如图所示:
由此可得y=/(x)的最小正周期为兀,故①正确;
y=/(x)在[-为]上不为增函数,故②错误;
直线%=5是函数y=/(久)图像的一条对称轴,故③正确;
y=f(x)与y=1在[0,兀]上有2个交点,即函数y=f(%)-1在[0,兀]上有2个零点,故④错误;
函数y=/(X)的最小值为一1,故⑤正确.
所以说法正确的有:①③⑤.
故答案为:①③⑤.
讨论%的范围,去绝对值可得/(%)的解析式,作出/(尤)的图象,结合图象逐一判断即可.
本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及数形结合思想,作出图象是关键,属于中档题.
17.【答案】解:(1)3=(1,2),b=(3,1)>
则N・B=3+2=5,|a|=7-5,\b\=
故c°s<2,3>=部=7^^=苧,
(a,b)e[0,TT],
(a,b)=热
(2)2a+b=(2,4)+(3,1)=(5,5),
c=(1,2),c//(2a+b),
则54=5,解得2=1,
它们为同向共线.
【解析】(1)根据已知条件,结合平面向量的夹角公式,即可求解;
(2)根据已知条件,结合向量共线的性质,即可求解.
本题主要考查向量的夹角公式,以及向量共线的性质,属于基础题.
18.【答案】解:(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,
y=logbx(fo>1)和y=pC+q(p>0)的增长速度越来越慢,
所以应选函数模型y=kax(k>0,a>1).
由题意得{卷;:普,解得卜=2,
Ka—64Ik=27
所以该函数模型为y=27x(尸0>0);
(2)由题意得27x6尸>300,即《尸>早,
所以久〉log^-,
39
1100
Pl1001。歹2-2功32-2x0.477
XZo54—=—i-«8.368,
3,%21g2—lg32x0.301-0.477
所以至少经过97n讥培养基中菌落的覆盖面积能超过300nwi2.
【解析】(1)根据题意,分析三个函数模型的增长速度快慢,选择y=并求出解析式;
(2)根据题意,27x(g)x>300,求出久的取值范围,进而得出结果.
本题主要考查函数在实际问题中的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
19.【答案】解:⑴讪=(1,2),AB=(4,-1),
OB=AB-XO=(4,-1)+(1,2)=(5,1),
故点B的坐标为(5,1);
(2区=1+2Kz2=a+bi(b>0),
则Z1Z2=(1+2i)(a+bi)=Q-2b+(a+2b)i为纯虚数,即{:_|_26即。=如,
\z2\=2V-
・•・M+62=20,即b=2,a=4,
故Z2=4+2i.
【解析】(1)根据已知条件,结合向量的坐标运算,即可求解;
(2)根据已知条件,结合纯虚数的定义,以及复数的四则运算,复数模公式,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,属于基础题.
20.【答案】解:(1)/(%)=sinx(sinx+2A/-3cosx)+3cos2x=sin2%+21^sinxcosx+3cos2x=
1+V_3sm2x+3Q+:"2")=y/~^i2x+cos2x+2=2+2sin(2x+g),
22sn6
由由2/CTT—<2%+^<2kn+号,kGZ,得2/CTT—<2%〈2kn+fkEZ,得E—<x<kir+
乙。乙33J
7o,kEZ,
即f(久)的单调递增区间为Mg,/OT+Jkez.
(2)将函数y=/(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到函数y=g(x)的图像,
g(x)—2+2sin[2(x—t)+g=2+2sin(2x—2t+^),
:满足g(-x)=g(x),二g(x)是偶函数,则一2t+*=/OT+5,kez,
即t=_"
L6
,:t>0,・,•当A=—1时,t最小,此时t=,一〈=],此时g(%)=2
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