2022-2023学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果a<6<0,那么下列式子中一定成立的是（）

A”>abBl/C,^<1D.i<i

2.欧拉公式e»e=cosd+isinB（其中e是自然对数的底数,i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉

发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函

数论里占有非常重要的地位.当8=兀时，恒等式〃兀+1=0更是被数学家们称为“上帝创造

的公式”.根据上述材料判断e-i华表示的复数在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在平行四边形4BCD中，BE=^BC,衣=/屈.若荏=根罚+n荏，则m+n=（）

AB

44c.ID.|

4.在△ABC中，AB-AC=9,sinB=cosAsinC,S^ABC=6,P为线段AB上的动点，且加=x.

蒜+y,箫则鸿最小值为（）

A•"容B《+?C.（DV

二、填空题（本大题共12小题，共53.0分）

5.在复数范围内，-4的所有平方根为.

6.若塞函数/（%）=（m2—5m+1）%血+1为奇函数，则该函数的表达式/（%）=.

7.无论a为何值，函数y=a%-3+l（a>0,a。1）的图像恒经过一个定点，该定点坐标为

8.若log?2=m,则log296=（用含租的式子表示）.

9.若向量五、后满足〈乙另）=60。，\a\=|K|=3，则|有一2另|=.

10.己知集合A={x|言>0},集合B={x||x—a|<2},若力U8,则实数a的取值范围是

11.在平面直角坐标系X0y中，锐角6的大小如图所示，贝！Rem。=/

K

12.已知关于％的一元二次方程%2+2/c%+Ze?一2k+3=0有两个虚根%1、冷，且好+避=

10,则实数k的值为

13.函数/(%)=sin®1+0)(3>0,|wl<今的部分图像

如图所示，则/(当=______.

4

14.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取力和。两斗一(，

点，现测得A8=5km,AD=7km,/-ABD=60°,zCBD=23°,/.BCD=/

117°,据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为km(精确到/

AB

O.lkni).

15.己知4(0,2),点P(sin(2”?cos(2t—灯是平面上一个动点，则当t由0连续变到轲，

线段力P扫过的面积是.

16.已知函数/'(%)=出久|—|cosx|,有以下命题：

①函数y=/(x)的最小正周期为兀；

②函数y=/(x)在［一,刍上为增函数；

③直线x=］是函数y=f(x)图像的一条对称轴；

④函数y=/(x)-1在［0,用上有三个零点；

⑤函数y=/(x)的最小值为-1.

请写出正确命题的全部序号.

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知向量五=(1,2),b=(3,1).

(1)求位，为；

(2)若向量3=(1,2),则当2为何实数时，己〃(2五+3)?平行时它们是同向还是反向？

18.(本小题12.0分)

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快

的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其

重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面

积为48小机2,经过3分钟覆盖面积为64小62,后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y(单

位：nun?)与经过时间了(单位：m讥)的关系现有三个函数模型：(1)y-kax(k>0,a>1),

@y=logbx(/>>1),③丫=p//+q(p>0)可供选择.(参考数据：⑷2=0.301,lg3®

0.477)

(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300nmi2?(结果保留

到整数)

19.(本小题12.0分)

已知复平面上有点4、B,向量成与向量屈对应的复数分别为l+2i和4T.

(1)求点B的坐标；

(2)设点4对应的复数为4,复数Z2满足|Z2|=2门，Imz2>0,且为纯虚数，求复数z2.

20.(本小题12.0分)

已知向量记=(sinx,3cosx),n=(sinx+21^cosx,cosx)，令函数f(x)=m-n.

(1)求函数y=f(x)的表达式及其单调增区间；

(2)将函数y=f(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到函数y=。(久)的图像，且满足g(-x)=

g(x),当t最小时,存在实数X1、%2使得/'(Xl)L9(久2)=4,求出-久21的最小值.

21.(本小题12.0分)

在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余

弦函数，其中双曲正弦函数：sinh{x)=eX-e双曲余弦函数：cosh(x)=七，二(e是自然

对数的底数，e=2.71828-).

(1)计算cosh(2)-2cos%2(i)的值；

(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：cosh(x+y)=,并加以证明；

(3)若对任意te[0,Zn2],关于x的方程s讥h(t)+cosh(x)=a有解，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：对于4a<力<0,.,・小>故A正确；

对于8,a<b<0,.<.a—h<0,a+b<0,

・•.a2—b2=(a+b)(a—b)>0,即小〉/,故吕错误；

对于C,a<力<0,，2>1，故。错误；

对于。，va<b<0,ah>0,b—a>0,

=^-77>0,即工>:，故。错误.

ababab

故选：A.

利用不等式的性质可判断AC,利用作差法可判断8，

本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：欧拉公式e访=cosO+isind,

12023..2023,7r...zr,.,江、

63=-----2023------------2023=COS~~-7T-LSlYi~~—7T—COS(674TT+—15171(^67471+~J

cos他2兀+is沆笠3333

=COsg—isi7^=：-Wi.复数对应的点为(1—?)在第四象限.

故选：D.

利用复数的指数运算法则，化简求解即可.

本题考查复数的指数的运算法则的应用，复数对应点的坐标的判断，是基础题.

3.【答案】D

1111

而

+-而+

【解析】解：由题意可得通=AE+EB=AE2-2-3-

15

*荏

2-

2-6-

所以zn=5，九=2,

Zo

4

所以TH+?!=§,

故选：D.

利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出小，n即可.

本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，设4B=c,BC=a,AC=b,

sinB=cosAsinC,即sin(4+C)=cosAsinC,

^sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,sinAcosC=0,

7T

•・•0<AV7T,•••sinA>0,cosC=0,v0<C<7r,C=-,

AB•~AC-9,WflcbcosA=9,又S>ABC=^bcsinA-6,・•.tanA==2=£

2bcco吗sA3b

-1P=1

S^ABC=-ab—6,贝=12,所以，lb3,

'Vab=12

解得｛:二,c=Va2+h2=5.

以AC所在的直线为%轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

产为线段48上的一点，则存在实数；I使得而=XAB=2(-34)=(-32,4/1)(0<A<1)，

ACP=Cl+XAB=(3-3A,4A),

设同=曷'/=篙则同|=闻=1，

**,el=(1/0)»e2=

,#=x>篙+'湍="二+'孩=®办

二二"，消去4得4x+3y=12,W+"=l,

所以，；+：=C+jG+*=金+卷++£

当且仅当久=?y时，等号成立，

因此，；+3的最小值为5+?.

xy123

故选：B.

在AABC中，设力B=c,BC=a,AC=b,结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求

cosC=0,可得C=],再由已知条件求得a=4,6=3,c=5,考虑建立以AC所在的直线为%轴,

以8C所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12,

然后利用基本不等式可求得;+；的最小值.

本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题.

5.【答案】±2i

【解析】解：一4=4t2,

则-4的所有平方根为±2i.

故答案为：±2i.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

6.【答案】x

【解析】解：由募函数的定义可得，m2-5m+l=1,

解得ni=0或5,

当?n=0时，f(x)=x,为奇函数，符合题意，

当m=5时，/(x)=”为偶函数，不符合题意，

所以/'(x)=%.

故答案为：%.

由哥函数的定义可得爪2-5m+l=1,求出小的值，再利用/(%)为奇函数进行排除即可.

本题主要考查了幕函数的定义和性质，属于基础题.

7.【答案】(3,2)

【解析】解：函数y=a*—+i(a>0,aK1),

令x—3=0,得x=3,此时丫=口。+1=2,

二函数y=谟-3+i(a>0,a41)的图像恒经过定点(3,2).

故答案为：(3,2).

令X—3=0,结合a°=1即可求出结果.

本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题.

8.【答案】5+-

m

-1

【解析】解：由log?2=a,则k)g296=log2(32x3)=log232+log23=5+log32=5+—.

故答案为:5+Z

m

直接根据对数的运算性质求解即可.

本题考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

9.【答案】

【解析】解：已知向量五、至满足〈五花)=60。，|五|=|后|=3，

则方•b=|a||K|cos<a,b>=3x3x|=

贝”五一2石|=Ja2-4a-b+4b2=J9-4x|+4x9=3c-

故答案为：3c.

由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

10.【答案】[—1,1]

【解析】解：由芒|>0可得(％+1)(%-1)V0,解得一故A={%[-1<%<1},

由<2可得一2<%—a<2,即a—2<x<a+2,故B={x\a-2<x<a+2},

若A=则有即一iWaWL

la+2>1

实数a的取值范围是[-1,1].

故答案为：[—1,1].

用分式不等式的解法解出集合4,绝对值不等式的解法解出集合B,再根据集合的包含关系的定义,

找到端点关系，从而解出参数a.

本题考查了分式不等式，绝对值不等式的解法以及集合的包含关系的应用，属简单题.

n.【答案】|

【解析】解：由已知有tan(8+》=蜉吟=p

4，l—tan3tan-4r1

即署露=5,解得tan”今

1—tany3

故答案为：|.

根据三角函数定义可得tan(8+5=5,由此可得1加仇

本题考查三角函数定义，两角和差公式，属于基础题.

12.【答案】-4

【解析】解：因为于久的一元二次方程/+2"+1-2k+3=0有两个虚根%1、%2,

3

所以4=(2fc)2-4(/c2-2/c+3)=4(2fc-3)<0,2-

2

由韦达定理可得%i+x2=—2k,=fc—2/c+3,

=22

所以后+%2(%i+%2)2—2%I%2=4k2—2(fc—2fc+3)=2(k+2fc-3)=10,

所以在2+2k-3=5,fc2+2/c-8=0,解得k=-4或k=2,

又因为k<|,所以k=—4.

故答案为：-4.

根据4<0可得k<I，再结合韦达定理求解即可.

本题考查了一元二次方程的求解、韦达定理，属于中档题.

13.【答案】?

【解析】解：由已知，r=G)X4=7

又T=—,ci)=2,则/'(x)=sin(2x+(p),

60

图象过点©,i),对应五点法中的第二点，

则有2x2+0•••(P=-

DZO

W(X)=sin(2x-5=sin(y-1)=sin(^-1)=cos1

故答案为：?.

根据图象上的点确定解析式，再求函数值即可.

本题考查三角函数的图象，属于基础题.

14.【答案】5.8

【解析】解：由题意得在AABO中，AB=5km,AD=7km,^ABD=60°,

2

由余弦定理得=AB2+BD-2-AB-BD-COS600,

即49=25+-2x5xBDx点

解得BD=8或BD=-3（不合题意，舍去），

在ABC。中，乙CBD=23°,ABCD=117°,

上CDB=40°,

利用正弦定理BD_BC即BC=g震=5.8.

sinl17°—sin400,sinll"

故答案为：5.8.

首先利用余弦定理的应用求出BD的长，进一步利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果.

本题考查正弦定理，余弦定理，三角函数的值，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.

15.【答案】cy

【解析】解：由sin2(2tY)+cos2(2t*)=1可知,

点P在圆心在原点，半径为1的单位圆上.

如图，当t=o时，P(—?W)'此时，NPoa=60°，

又。P=1,0A=2,PA10P.

t=轲，点P运动到Q(yW),同理可得力Q10Q,

故当点P运动到点Q时，线段4P扫过的面积S=S”OQ-

c

。扇形POQ，

又

SAPOQ=2xx1xV_3=y/~39

由NPOQ=120。可得S扇衿。Q=彳x兀x12.

故线段AP扫过的面积为，石-泉

故答案为：-热

首先找出点P的轨迹，然后利用图形找到线段4P扫过的图形，解答时注意切线位置是关键.

本题在几何背景下考查了三角函数的定义，求值，扇形面积等知识，属简单题.

16.【答案】①③⑤

【解析】解：当xe[2/OT,2k?r+》keZ时，/(x)=V-3|sinx|—\cosx\—yj~3sinx—cosx—

2sin(x—

当％E[2/CTT+，2/C7T+TT),keZ时，f(x)=y/~^\sinx\—\cosx\=V_3smx+cosx=2sin(x+，

当％e[2/CTT+TC,2kn+-TT),/cGZ时，/(%)=V3|sinx|—\cosx\=—\3sinx+cosx——2sin{x—

6人

3____

当汽E[2/CTT+27T,2/CTT+2兀)，keZ时，/(%)=y/~^\sinx\—\cosx\=­V-3sinx—cosx=

—2sin(x+\)；

r2sm(x-3xG[2kn,2kn+：)

2sin(x+£),无€[2/CTT+2/CTT+TT)

所以/(%)={兀3兀，kEZ,

—2sin(x—-),xG[2/CTT+TI,2/CTT+—)

-2sin(x+^),xG[2/CTT+^-,2kn+2TT)

作出f(%)的图象，如图所示:

由此可得y=/(x)的最小正周期为兀，故①正确；

y=/(x)在［-为］上不为增函数，故②错误；

直线％=5是函数y=/(久)图像的一条对称轴，故③正确；

y=f(x)与y=1在［0,兀］上有2个交点，即函数y=f(%)-1在［0,兀］上有2个零点，故④错误；

函数y=/(X)的最小值为一1,故⑤正确.

所以说法正确的有：①③⑤.

故答案为：①③⑤.

讨论％的范围，去绝对值可得/(%)的解析式，作出/(尤)的图象，结合图象逐一判断即可.

本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题.

17.【答案】解：(1)3=(1,2),b=(3,1)>

则N・B=3+2=5，|a|=7-5,\b\=

故c°s<2,3>=部=7^^=苧，

(a,b)e［0,TT］，

(a,b)=热

(2)2a+b=(2,4)+(3,1)=(5,5)，

c=(1,2),c//(2a+b)，

则54=5,解得2=1,

它们为同向共线.

【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解;

(2)根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解.

本题主要考查向量的夹角公式，以及向量共线的性质，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,

y=logbx(fo>1)和y=pC+q(p>0)的增长速度越来越慢，

所以应选函数模型y=kax(k>0,a>1).

由题意得｛卷;：普，解得卜=2,

Ka—64Ik=27

所以该函数模型为y=27x(尸0>0)；

(2)由题意得27x6尸>300,即《尸>早,

所以久〉log^-,

39

1100

Pl1001。歹2-2功32-2x0.477

XZo54—=—i-«8.368,

3,%21g2—lg32x0.301-0.477

所以至少经过97n讥培养基中菌落的覆盖面积能超过300nwi2.

【解析】(1)根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择y=并求出解析式;

(2)根据题意，27x(g)x>300,求出久的取值范围，进而得出结果.

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴讪=(1,2),AB=(4,-1),

OB=AB-XO=(4,-1)+(1,2)=(5,1)，

故点B的坐标为(5,1)；

(2区=1+2Kz2=a+bi(b>0),

则Z1Z2=(1+2i)(a+bi)=Q-2b+(a+2b)i为纯虚数，即｛:_|_26即。=如，

\z2\=2V-

・•・M+62=20,即b=2,a=4,

故Z2=4+2i.

【解析】(1)根据已知条件，结合向量的坐标运算，即可求解；

(2)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

20.【答案】解：(1)/(%)=sinx(sinx+2A/-3cosx)+3cos2x=sin2%+21^sinxcosx+3cos2x=

1+V_3sm2x+3Q+："2")=y/~^i2x+cos2x+2=2+2sin(2x+g),

22sn6

由由2/CTT—<2%+^<2kn+号，kGZ,得2/CTT—<2%〈2kn+fkEZ,得E—<x<kir+

乙。乙33J

7o，kEZ,

即f(久)的单调递增区间为Mg,/OT+Jkez.

(2)将函数y=/(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到函数y=g(x)的图像，

g(x)—2+2sin[2(x—t)+g=2+2sin(2x—2t+^),

:满足g(-x)=g(x),二g(x)是偶函数，则一2t+*=/OT+5,kez,

即t=_"

L6

,:t>0,・,•当A=—1时，t最小,此时t=,一〈=],此时g(%)=2