2020-2021学年广西贵港市覃塘区九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年广西贵港市覃塘区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.在平面直角坐标系中，点尸（-3,2）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知％=-1是一元二次方程12+2x+根=0的一个实根，则根的值为（

A.-1B.0C.1D.2

若反比例函数（）的图象经过点（

3.y=K4W02,-1）,则该函数图象一定经过（）

X

(-《，4)

A.(-1,1)B.（4,《）C.(-1,-2)D.

22

且sin(90°-a)=*,则a的度数是()

4.已知a为锐角,

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.用配方法解一元二次方程/+6x-5=0时,配方后得到的方程为)

A.(x+3)2=9B.(x+3)2=14C.(x+6)2=41D.(%-5)2=6

6.在RtZXABC中，若NC=90。,BC=2AC,则cosZA的值为（)

A-2BC.D.返

455

7.下列说法不一定正确的是（）

A.所有的等边三角形都相似

B.所有的等腰直角三角形都相似

C.所有的菱形都相似

D.所有的正方形都相似

8.关于抛物线,=炉-2x+l,下列说法错误的是（）

A.开口向上

B.与x轴有两个重合的交点

C.对称轴是直线x=l

D.当x>l时，y随x的增大而减小

9.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，那么△AOE与四边形DBCE的面积

之比是（）

A

10.如图，已知直线y=Qx+b与双曲线丁=生相交于A(-1,2)和B(2,-1)两点，则

X

不等式乂>办+6的解集是()

X

A.-1<尤<0或x>2B.x<-1

C.x<-1或0cx<2D.x>2

11.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90a,。是AB边的中点,APLCD于点E,交2c边

于点F连接。尸，则图中与AACE相似的三角形共有()

X

A上DB

A.2个B.3个C.4个D.5个

12.如图所示是二次函数y=o?+次;+c图象的一部分，图象经过点A(-3,0),对称轴为

x=-1.给出四个结论：①Z?2>4〃c；②Z?cV0；③2q+Z?=0；④〃+8+c=0,其中错误结论

的序号是()

A.①B.②C.③D.④

二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）

13.函数;y=Jx+1中，自变量x的取值范围是.

14.若a,0是一元二次方程x2-3x=0的两个实数根，则a+0的值是.

15.二次函数y=-/+2x+4的最大值为.

16.如图，在正方形网格中，点A,B,C,。都是小正方形的顶点，AB与C。相交于点P,

则sinZBPD的值是.

17.如图，点A在双曲线y=3上，点8在双曲线y=K上，点C,。都在x轴上，若四边

XX

18.如图，在等腰△ABC中，AB^AC,点P在BA的延长线上，点。在BC边

4

上，PD=PC,则铝■的值是.

BD

三、解答题(本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.(1)计算：|72-21-(n-sin30°)+2cos45°；

(2)解方程：x2-4x+2=0.

20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A(2,1),B(1,3),C(4,1),

若与△ABC是以坐标原点P为位似中心的位似图形，且4的坐标为(4,2),

请画出△A1B1G,并给出顶点3,G的坐标.

21.如图，直线y=2x与双曲线y=K(%>0,x>0)相交于点A,将直线y=2x向右平移相

X

个长度单位后，与双曲线y=K(左>0,尤>0)相交于点2,与无轴相交于点C.

X

(1)求点A的坐标(用含左的式子表示)；

(2)若黑=2,点8的横坐标为4,求双曲线的表达式.

BC

22.某校在“校艺术节”期间，举办了A演讲、B唱歌、C书法、D绘画共四个项目的比赛.要

求每位同学必须参加且限报一项.以九年级（一）班为样本进行统计，并将结果绘制尚

不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，。项的百分率是;

（2）在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是:

（3）请补充完整条形统计图;

（4）若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人？

23.某玩具经销商2017年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模

式,与2017年相比2019年总成本下降了20%,销售总额增加了10.5%.

（1）求该经销商年利润的平均增长率；

（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2020年该经销商获得的利润是

多少万元（结果精确到0.01万元）.

24.将一副直角三角板如图所示放置，点C,D,尸在同一直线上，AB//CF,ZACB=ZF

=90°,ZA=60°,ZE=45°,若AB=20,求CD的长.

25.如图，已知抛物线＞=加+尿+。经过A(-1,0),B(3,0)和C(0,3)三点，其

顶点为E,直线加〃y轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求tan/BEC的值；

(3)当直线机将△BCE的面积分成1：2两部分时，求点尸的坐标.

26.如图，在正方形ABCD中，尸是A3边上的一个动点(尸与A,2均不重合),将线段

产。绕点P顺时针旋转90。后，得到线段尸E,且尸石交BC于点跖过点E作斯，

的延长线于点足连接DW,CF.

(1)求证：CF=PE且CF上PE；

(2)当点P在何处时，AMDPs^MPB?请说明理由.

B

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.在平面直角坐标系中，点尸（-3,2）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.

解：点尸（-3,2）在第二象限，

故选：B.

2.已知x=-1是一元二次方程/+2%+m=0的一个实根，则根的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把》=-1代入一元二次方程可得到关于相的方

程，直接求得加的值即可.

解：..”=-1是一元二次方程x2+2x+wi=0的一个实根，

1-2+机=0,

故选：C.

3.若反比例函数y=K（AWO）的图象经过点（2,-1）,则该函数图象一定经过（）

X

A.（-1,1）B.（4,—）C.（-1,-2）D.（--,4）

22

【分析】将（2,-1）代入丫=区（ZWO）即可求出女的值，再根据左=个解答即可.

X

解：..•反比例函数y=KgO）的图象经过点（2,-1）,

X

:・k=2X（-1）=-2,

A、-1X1=--2；

B、4x/=2W-2；

C、-IX（-2）=2W-2,

D、-—X4=-2.

2

故选：D.

4.已知a为锐角，且sin(90°-a)=，■,则a的度数是()

A.30°B.45°C.60°D.75

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.

解：Ta为锐角，且sin(90°-a)=£,

.*.90°-a=30°,

则a的度数是：60°.

故选：C.

5.用配方法解一元二次方程/+6工-5=0时，配方后得到的方程为()

A.(x+3)2=9B.(x+3)2=14C.(x+6)2=41D.(x-5)2=6

【分析】根据配方法即可求出答案.

解：*/x2+6x-5=0,

.•・/+6x=5,

.*.x2+6x+9=5+9,

(x+3)2=14,

故选：B.

6.在RtZXABC中，若NC=90。,BC=2AC,贝ljcosNA的值为()

A.—B.返C.D.逅

2255

【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可.

解：在Rt^ABC中，若NC=90。，BC=2AC,

设AC=左，则BC=2左，由勾股定理得,

AS=VAC2+BC2=V5^

AC

cosA

AB5

故选：D.

7.下列说法不一定正确的是()

A.所有的等边三角形都相似

B.所有的等腰直角三角形都相似

C.所有的菱形都相似

D.所有的正方形都相似

【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可.

解：A、所有的等边三角形都相似，正确；

2、所有的等腰直角三角形都相似，正确；

C、所有的菱形不一定都相似，故错误；

。、所有的正方形都相似，正确.

故选：C.

8.关于抛物线y=%2-2x+l,下列说法错误的是（）

A.开口向上

B.与x轴有两个重合的交点

C.对称轴是直线x=l

D.当x>l时，y随x的增大而减小

【分析】利用配方法求出顶点坐标即可判断；

解:'."y=x2-2x+l=（x-1）2,

.•.顶点坐标（1,0）,对称轴x=l,

1>0,

...开口向上，抛物线的顶点在X轴上，

；.A、B、C正确，

故选：D.

9.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积

之比是（）

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】由DE〃BC,得且相似比为1：2,从而得面积比为1：4,则可

推出△AOE与四边形DBCE的面积之比.

解：■:DE//BC

：.AADE^AABC

.AD

,*AB"2

.S2IADE=1

^AABC4

SAADE=1__1

S四边形DBCE4-13

故选：c.

10.如图，已知直线y=ax+6与双曲线y=K相交于A(-1,2)和8(2,-1)两点，则

A.-IVxVO或x>2B.x<-1

C.x<-1或0VxV2D.x>2

【分析】根据两个函数图象的位置关系即可求解.

解：直线y=or+b与双曲线y=K相交于A(-1,2)和2(2,-1)两点，

X

观察图象，不等式区>办+匕的解集是-1<%<。或x>2,

x

故选：A.

11.如图，在Rt^ABC中，44cB=90°,。是AB边的中点，AF_LC。于点E,交BC边

于点尸，连接。尸，则图中与△ACE相似的三角形共有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案.

解：•.•/ACB=90°,。是AB边的中点，

：.CD=AD,

ZACD=ZCAD9

又•・・NAEC=NAC3=90°,

AACE^ABAC,

VCEXAF,

・・・ZACE=ZAFC,NAEC=ZACF,

AACE^AAFC,

VZECF+ZACE=ZACE-^-ZCAE=90o,

ZECF=ZCAE,

又丁ZAEC=ZCEF,

：.AACE^ACFE,

・・・图中与AACE相似的三角形共有3个：ABAC,AAFC,ACFE.

故选：B.

12.如图所示是二次函数尸加+"+。图象的一部分，图象经过点A(-3,0),对称轴为

x=-1.给出四个结论：①尻〉4砒；②bcVO；③2a+b=0；@a+b+c=O9其中错误结论

的序号是()

A.①B.②C.③D.④

【分析】由抛物线的开口方向判断。与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断。与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与X轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：・・,抛物线开口向下，

由图像可知抛物线的顶点在X轴的上方，

2

/.4ac--b>Q)

4a

4ac-按VO,

4ac<b2,

①符合题意，

,/抛物线与y轴的交点在x轴上方，

：.c>0,

..•抛物线的对称轴为x=-1,

——=-1,即b=2a,

2a

：.b<Q,

bc<Q,

②符合题意，

•••抛物线的对称轴为x=-1,

——=-1,即b=2a,

2a

/.2a-6=0,

•.”0,

2a+6W0,

③不合题意，

•点A（-3,0）,

•••抛物线与x轴的另一个交点为（1,0）,

.,.当x=l时，y=a+b+c=0,

④符合题意，

故选：C.

二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）

13.函数;V=A/X+1中，自变量x的取值范围是xN-1.

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.

解：由题意得，x+l?0,

解得G-1.

故答案为：X》-1.

14.若a,0是一元二次方程/-3x=0的两个实数根，则a+B的值是3

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出a+0=3.

解：•••（!，0是一元二次方程T-3X=0的两个实数根，

a+p=3,

故答案为3.

15.二次函数y=-N+2x+4的最大值为5.

【分析】先利用配方法得到y=-(x-1)2+5,然后根据二次函数的最值问题求解.

解：Vy=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,

由a=-1<0知当x=1时，y取得最大值5,

故答案为：5.

16.如图，在正方形网格中，点A,B,C,。都是小正方形的顶点，AB与C。相交于点P,

则sin/3PD的值是返

【分析】连接AE、BE.通过平行四边形的判定说明AE〃CD,从而得到尸8.再

利用勾股定理的逆定理判断△AEB的形状，最后求出sinZBPD的值.

解：如图所示：连接AE、BE.

VAC=E£>=1,AC//ED,

・・・四边形AEDC是平行四边形.

J.AE//CD.

：.ZEAB=ZDPB.

,；BE=AE=Y32+12=^/T5,

AB=yj22+42=V20=2V5,

:.AB2=AE2+B^.

：.AAEB是等腰直角三角形.

：・/EAB=NDPB=45°.

五

sinZBPD=sin45°=——.

2

故答案为：返.

2

17.如图，点A在双曲线y=3上，点3在双曲线y=K上，点C,。都在x轴上，若四边

xx

形ABC。是矩形，且它的面积是6,则3的值是9.

【分析】延长BA交y轴于E,根据反比例函数k的几何意义得到S矩形BCOE—\k\,S矩形ADOE

=|3|=3,则肉-3=6,解得即可.

解：延长5A交y轴于E,如图，

,/S矩形8c0七=|川，S矩形AQOE=|3|=3,

而矩形ABC。的面积为6,

S矩形BCOE一S矩形ADOE=6,

即的-3=6,

而k>0,

:・k=9.

18.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点P在54的延长线上，PA=^-AB,点。在BC边

上，PD=PC,则黑的值是4

BC-4-

【分析】过点尸作PE〃AC交。C延长线于点E,根据等腰三角形判定与性质，平行线

的性质可证再证△PCE0ZVPDS可得BD=CE,再利用平行线分线段成比例

的玲薛，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论-

ABBC

解：如图，过点尸作尸E〃AC交0c延长线于点区

：.ZB=ZACB,

9：AC//PE,

：.ZACB=ZE,

：./B=/E,

：.PB=PE,

■:PC=PD,

：.ZPDC=ZPCD,

：./BPD=/EPC,

・•・在石和△尸03中，

'PC=PD

<ZBPD=ZEPC，

PB=PE

AAPCE^APDB(SAS),

:・BD=CE,

•：AC//PE,

・PACE

••—一,，

ABBC

'：PA=—AB,

4

.CE

••—,

BC4

.BD

••—，

BC4

.CD_^3

•.而N

故答案为：4-

4

三、解答题(本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.(1)计算：|&-2卜(n-sin30°)+2cos45°；

(2)解方程：x2-4x+2=0.

【分析】(1)原式利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

(2)方程利用配方法求出解即可.

解：(1)原式=2--$y2-n+-^-+2X

_9

一5冗；

(2)x2-4x+2=0,

x2-4x=-2,

x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2,

x-2=±

：.X[=2他,X2=2-V2.

20.如图，在平面直角坐标系中，3c的顶点为A(2,1),B(1,3),C(4,1),

若△AiBCi与△ABC是以坐标原点尸为位似中心的位似图形，且4的坐标为(4,2),

请画出△A1B1G,并给出顶点囱，G的坐标.

fy

【分析】（1）根据点A与4的坐标特征得到位似比为2,然后把B、C的横纵坐标都乘

以2得到历、G的坐标，然后描点即可.

解：如图，△A16G为所求；Bi（2,6）,Ci（8,2）.

123456789x

21.如图，直线y=2尤与双曲线y=K（左>0,x>0）相交于点A,将直线y=2x向右平移m

x

个长度单位后，与双曲线丁="（左>0,%>0）相交于点8,与x轴相交于点C.

x

（1）求点A的坐标（用含上的式子表示）；

（2）若黑=2,点8的横坐标为4,求双曲线的表达式.

BC

【分析】(1)解析式联立成方程组，解方程组即可求得A点的坐标;

(2)作AE_Lx轴，M_Lx轴，垂足分别为E,F,通过证得RtZkBC/sRt/iAOE,求得

BF』AENIE，即可得出叵，L，解得左=8.

2224

解:(1)-：k>o,

y=2xV2kV2k

，由，k解得：，2或2,

yqy=V2ky=~V2k

Vx>0,

...点A的坐标为,V2k),

(2)如图，作AELc轴，87口轴,垂足分别为E,F.

,SBC//AO,

：.ZBCF=ZAOE,

则RtABCF^RtAAOE,

,AE_A0«

••——/,

BFBC

又杷二倔，

.nr1V2k

••BF万皿口一，

又点B的横坐标为4,

.W的纵坐标巧,

由返正且%>0,解得：笈=8,

24

双曲线的表达式为

22.某校在“校艺术节”期间，举办了A演讲、8唱歌、C书法、。绘画共四个项目的比赛.要

求每位同学必须参加且限报一项.以九年级(一)班为样本进行统计，并将结果绘制尚

不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题：

(1)在扇形统计图中，。项的百分率是4%；

(2)在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是72。；

(3)请补充完整条形统计图；

(4)若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人?

【分析】(1)根据A的人数及其百分比得出总人数，绘画人数除50即可.

(2)两图结合，按频数和频率的关系知c=20%,由此即可求出相应圆心角的度数；

(3)总人数减去其余各组人数得出C组人数，即可补全图形；

(3)利用样本估计总体即可.

解：(1)•参加比赛的总人数为13・26%=50(人),

参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比是义X100%=4%;

50

故答案为：4%；

(2)根据题意得:

360°X(1-26%-50%-4%)=72°.

则参加书法比赛的C项所在的扇形圆心角的度数是72。.

故答案为：72。；

(4)500X(50%+26%)=380,

答：九年级参加演讲和唱歌比赛的学生约有380人.

23.某玩具经销商2017年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模

式，与2017年相比2019年总成本下降了20%,销售总额增加了10.5%.

(1)求该经销商年利润的平均增长率；

(2)如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2020年该经销商获得的利润是

多少万元(结果精确到0.01万元).

【分析】(1)设该经销商年利润的平均增长率为X,根据该经销商2017年及2019的年

利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

(2)利用2020年该经销商获得的利润=2019年该经销商获得的利润X(1+增长率)，

即可求出结论.

解：(1)设该经销商年利润的平均增长率为尤，

依题意得：(20-12)(1+x)2=20(1+10.5%)-12(1-20%),

即：8(1+x)-=12.5,

解得：xi=0.25=25%,愈=-2.25(不符合，舍去).

答:该经销商年利润的平均增长率为25%.

(2)V2019年获得的利润12.5万元，

.\12.5X(1+25%)=15.625^15.63(万元).

答：2020年该经销商获得的利润约是15.63万元.

24.将一副直角三角板如图所示放置，点C,D,P在同一直线上，AB//CF,ZACB=ZF

=90°,ZA=60°,NE=45°,若AB=20,求CD的长.

【分析】作皮LCP于点人在RtZ\A2C中，ZACB=90°,ZA=60°,则乙4BC=

30°,由AB=20,得2C=10«,在RtZXBCH中，可求出CH=15,而DH

=BH,即可求出CD的长.

解：（1）如图，作于点”，

在RtZiABC中，ZACB=90°,ZA=60°,

AZABC=30°,

'：AB//CF,

：.ZBCH=ZABC=30°,

"：AB=20,

•■•BC=ABXsin60°=20乂亨=14，

在RtZkBC”中，•:NBCH=30°,

BH=BCXsin30<>=5>/3，CH=BCXcos30°=15,

在RtZkDEF中，VZE=45°,

ZEDF=ZE=45°,

在中，DH=BH=5«,

•,.CD=CH-DH=15-5^3.

25.如图，已知抛物线>="2+反+,经过A(-1,0),B(3,0)和C(0,3)三点，其

顶点为E,直线m〃y轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求tanNBEC的值;

(3)当直线机将△BCE的面积分成1：2两部分时，求点尸的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的表达式；

(2)先利用配方法得到顶点E的坐标为(1,4),再利用勾股定理的逆定理证明△BCE

是直角三角形，且/BEC=90°,然后根据正切的定义求解；

(3)先计算出SMCE=3,直线/将ABCE分成面积分别为1和2的两部分，讨论：①当

直线I经过点E时，利用E的横坐标为1,B点的横坐标为3可判断/将△BCE分成面积

分别为1和2的两个三角形，于是点P的坐标为(1,4)；②当直线/不经过点E时(如

图),设直线/与BC,BE分别交于点M,N,则S四边形CMNE=2,&BMN=1,设点尸坐标

为(3-产+2什3)(0〈尤<3),则可表示出MN=7+3,禾U用三角形面积公式得到

(~?+3)(3-力=1,解方程可得此时点P的坐标.

解：(1);抛物线经过>=办2+版+0经过A(-1,0)、B(3,0)和C(0,3)三点，

a-b+c=0a=~l

；•<9a+3b+c=0>解得，b=2)

c=3c=3

抛物线的表达式为y=-X2+2X+3；

(2)\"y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

顶点E的坐标为(1,4),

又•；3^=32+32=18,B£2=4