2019年辽宁省本溪市中考数学试卷解析版

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列各数是正数的是（）

A.0B.5C.-1D.-V2

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.x^rx=xB.(-3?)2=-9x

C.X3,X3=2X6D.(x3)2=x6

4.（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数

据9560000科学记数法表示为（）

A.9.56X106B.95.6X105C.0.956X107D.956X104

5.（3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计

结果:

县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县

气温26262525252322

（℃）

则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

6.（3分）不等式组卜一3>°的解集是（）

l2x-8<0

A.x>3B.%W4C.x<3D.3<%W4

7.（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）

8.（3分）下列事件属于必然事件的是（）

A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

9.（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙

两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人

和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单

价和为140万元.若设甲型机器人每台％万元，根据题意，所列

方程正确的是（）

A.360=480B.360=480

x140-x140-xx

C.360+480=140D.360_-140=%

XXXX

10.（3分）如图，点尸是以A6为直径的半圆上的动点，CA1AB,

PDLAC于点。，连接AP,设A尸=%,PA-PD=y,则下列函数

图象能反映y与％之间关系的是（）

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）若«二在实数范围内有意义，则X的取值范围为.

12.（3分）函数y=5%的图象经过的象限是.

13.（3分）如果关于x的一元二次方程f-4%+左=0有实数根，那么

上的取值范围是.

14.（3分）在平面直角坐标系中，点A,5的坐标分别是A（4,2）,

B（5,0）,以点O为位似中心，相似比为L,把缩小，得

2

到△AiBO,则点A的对应点4的坐标为.

15.（3分）如图，5。是矩形A5CD的对角线，在和上分别

截取BE,BF,使BE=BF；分别以E,尸为圆心，以大于工石厂的

2

长为半径作弧，两弧在NA5D内交于点G,作射线5G交AO于点

P,若AP=3,则点尸到5。的距离为.

16.（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只

在点阵中的小正方形A5CZ）内自由滚动时，则小球停留在阴影区

域的概率为.

BC

17.（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△。45和菱形OCDE

的边。4,0E都在入轴上，点。在05边上，SAABD=M，反比例

18.（3分）如图，点B在直线/：y=界上，点5的横坐标为2,过

所作交入轴于点A”以AiS为边，向右作正方形AiS/G，

延长52G交工轴于点A2；以42星为边，向右作正方形Az/SG，

延长以。2交工轴于点斗3；以43与3为边，向右作正方形AsSSG

延长&G交工轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点Q的横

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

2

19.（10分）先化简，再求值］aY+2,其中。满

a2-4a+42-aa2-2a

足cT+3a~2=0.

20.（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A.机

器人，B.围棋，C.羽毛球，D.电影配音.每人只能加入一个

社团.为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽

取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的

统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为36°.

ABCD项目

图（1）图C2）

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有人；

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生

中有多少人参加了羽毛球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现

优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛.用树状图或列

表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.（12分）如图，在四边形A5CZ）中，AB//CD,ADLCD,/B=

45°,延长到点E,DE=DA,连接AE.

（1）求证：AE=BC；

（2）若A5=3,CD=1,求四边形A5CE的面积.

22.（12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一

个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实

物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆。E,箱长5C,拉杆A3

的长度都相等，B,尸在AC上，。在OE上，支杆。F=30CM,

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,ZCDF=30°,请根据以上信息，

解决下列向题.

（1）求4C的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点4到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）.

图1图2

五、解答题（满分12分）

23.（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16

元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发

量%（件）（%为正整数）之间满足如图所示的函数关系.

（1）直接写出y与％之间所满足的函数关系式，并写出自变量工

的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获

利最大？最大利润是多少?

六、解答题（满分12分）

24.（12分）如图，点尸为正方形的对角线AC上的一点，连

接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,Q0是ADEF

的外接圆，连接。尸.

（1）求证：。尸是。。的切线；

（2）若tanNPDC=L正方形的边长为4,求。0的半径

2

和线段0尸的长.

七、解答题（满分12分）

25.（12分）在RtZkA5C中，ZBCA=90°,ZA<ZABC,。是AC

边上一点，且0是A3的中点，CE是△5CD的中线.

（1）如图a,连接0C,请直接写出NOCE和N04C的数量关

系：；

(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线绕点。逆时针旋

转得射线ON,使NM0N=NAQ5,ON与射线C4交于点M

①如图乩猜想并证明线段和线段ON之间的数量关系；

②若N5AC=30°,BC=m,当NAON=15°时，请直接写出线段

ME的长度(用含机的代数式表示).

八、解答题(满分14分)

26.(14分)抛物线y=-^C+bx+c与x轴交于4(-1,0),B(5,

9

0)两点，顶点为C,对称轴交为轴于点。，点尸为抛物线对称轴

CD上的一动点(点尸不与C,。重合).过点。作直线尸5的垂

线交PB于点E,交工轴于点足

(1)求抛物线的解析式；

(2)当下的面积为5时，求点尸的坐标；

(3)当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点尸的坐标.

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列各数是正数的是（）

A.0B.5C.-1D.-V2

【分析】此题利用正数和负数的概念即可解答.

【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；甲口-正都

是负数.

故选：B.

【点评】此题考查正数和负数的概念.大于0的数是正数，正数前

面加上“-”的数是负数.数0既不是正数，也不是负数.

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断.

【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不

符合题意；

B,既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

。、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对

称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样

的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一

个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合，

那么这个图形就叫做中心对称图形.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.x^x=xJB.（-3?）2=-9/

C.x*x=2x6D.（储）2=%6

【分析】直接利用同底数幕的乘除运算法则以及幕的乘方运算法则

分别化简得出答案.

【解答】解：A、xJ^x=x6,故此选项错误；

B、（-3f）2=9/，故此选项错误；

。、x*x=x,故此选项错误；

D、（x3）2=x6,故此选项正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及幕的乘方运算，

正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数

据9560000科学记数法表示为（）

A.9.56X106B.95.6X105C.0.956X107D.956X104

【分析】科学记数法的表示形式为“X10〃的形式，其中IWIMVIO,

〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多

少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时,

〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将数据9560000科学记数法表示为9.56X106.

故选：A.

【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示

形式为QXIO〃的形式，其中1W|Q|＜10,〃为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

5.（3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计

结果：

县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县

气温26262525252322

（℃）

则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

【分析】根据众数和中位数的概念求解即可.

【解答】解：•••在这7个数中，25（℃）出现了3次，出现的次数

最多，

•••该日最高气温（℃）的众数是25；

把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25,

则中位数为：25；

故选：A.

【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最

多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺

序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数

据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均

数就是这组数据的中位数.

6.（3分）不等式组厂一3>^的解集是（）

[2x-8<0

A.x>3B.x<4C.x<3D.3<x<4

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共

部分即可.

[x-3>0①

【解答】解:(2x-840②‘

由①得：%>3,

由②得：%W4,

则不等式组的解集为3<%W4,

故选：D.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解

本题的关键.

7.（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）

正面

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，

故选：B.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是

左视图.

8.（3分）下列事件属于必然事件的是（）

A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案.

【解答】解：4、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是

随机事件，不合题意；

B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题

思；

。、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，

符合题意；

。、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事

件，不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握

相关定义是解题关键.

9.（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙

两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人

和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单

价和为140万元.若设甲型机器人每台％万元，根据题意，所列

方程正确的是（）

A.

360=480B360=480

x140-x140-xx

C.360+480=140D.迪-140=%

XXXX

【分析】设甲种型号机器人每台的价格是％万元，根据“用360万

元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列

出关于％的分式方程.

【解答】解:设甲型机器人每台％万元,根据题意，可得:迎*

x140-x

故选：A.

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关

系，列出分式方程.

10.（3分）如图，点尸是以A5为直径的半圆上的动点，CA±AB,

尸。，AC于点。，连接AP,设A尸=%,PA-PD=y,则下列函数

图象能反映y与％之间关系的是（）

【分析】设圆的半径为R,连接PB,则sinNA5P=更，X，则

2R2R

PD=APsina=xXJi_=A.x1,即可求解.

2R2R

【解答】设：圆的半径为凡连接尸5

'：CA±AB,即4。是圆的切线，则NPZM=NPB4=a,

则PD=APsina=xX_1_=,

2R2R

贝!Jy=PA-PD=-_iy+%,

2R

图象为开口向下的抛物线，

故选：C.

【点评】本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的

切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关

系，列出函数表达式.

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）若g在实数范围内有意义，则％的取值范围为.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得％-220,再解即可.

【解答】解：由题意得：X-2三0,

解得:

故答案为：入22.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次

根式中的被开方数是非负数.

12.（3分）函数y=5%的图象经过的象限是一、三.

【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即

可.

【解答】解：函数y=5%的图象经过一三象限，

故答案为：一、三

【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数丁="（左W0）,

左＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当左＜0时，图象在二四

象限，呈下降趋势.

13.（3分）如果关于工的一元二次方程%2-4%+左=0有实数根，那么

左的取值范围是kW4.

【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0,列

出关于左的不等式，求出不等式的解集即可得到上的范围.

【解答】解：根据题意得：左三0,

解得:左W4.

故答案为：女W4.

【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有

两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的

实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.

14.（3分）在平面直角坐标系中，点A,5的坐标分别是A（4,2）,

B（5,0）,以点O为位似中心，相似比为L把△人5。缩小，得

2

到△A15。，则点A的对应点Ai的坐标为（2,1）或（-2,-

1）.

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【解答】解：以点O为位似中心，相似比为L把△斗台。缩小，点

2

A的坐标是4（4,2）,

则点4的对应点Ai的坐标为（4X\2X1）^（-4X1,-2X1）,

2222

即（2,1）或（-2,-1）,

故答案为：（2,1）或（-2,-1）.

【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如

果位似变换是以原点为位似中心，相似比为左，那么位似图形对应

点的坐标的比等于k或-k.

15.（3分）如图，5。是矩形的对角线，在5A和上分别

截取5E,BF,使BE=BF；分别以E,尸为圆心，以大于工石厂的

2

长为半径作弧，两弧在NA5D内交于点G,作射线5G交于点

P,若A尸=3,则点一到5。的距离为3.

【分析】首先结合作图的过程确定5尸是NA5。的平分线，然后根

据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可.

【解答】解：结合作图的过程知：BP平分/ABD,

VZA=90°,AP=3,

.••点尸到50的距离等于AP的长，为3,

故答案为：3.

【点评】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等

知识，解题的关键是根据图形确定50平分NA5Z）.

16.（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只

在点阵中的小正方形A5CZ）内自由滚动时，则小球停留在阴影区

域的概率为红.

••・>•

.4Pzz・

BC

••♦•

【分析】如图所示，A。与直线的交点为E,A5与直线的交点为厂,

分别求出AE、A尸所占边长的比例即可解答.

【解答】解：如图所示，AO与直线的交点为E,A3与直线的交点

为F,

根据题意可知杷卷四，

▲AB

根据相似三角形的性质可得

2AF

*'•研

3

.1—11I1

SAEAF=XABXABAB9?

,,AAEF乙^'V乙f乙TJ^JV.4

•••小球停留在阴影区域的概率为：

1212

故答案为：目

12

【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相

应的面积与总面积之比.

17.(3分)如图，在平面直角坐标系中，等边△QA5和菱形OCDE

的边。4,0E都在入轴上，点。在05边上，S"=M，反比例

函数y=K(x>0)的图象经过点'则上的值为—亚

X

【分析】连接0。，由4。45是等边三角形，得至UNAO5=60°,

根据平行线的性质得到NDEO=NAO5=60°,推出△£>2)是等

边三角形，得到NZ)OE=NR4O=60°,得至U0D//AB,求得

=SAAOD^推出S/\AOB=S&ABD=过5作BH^LOA于H,由等边

三角形的性质得到0"=A",求得S^BH=返，于是得到结论.

2

【解答】解：连接0。，

•二△。45是等边三角形，

ZAOB^60°,

•.•四边形OCDE是菱形,

J.DE//OB,

：.ZDEO=ZAOB=60°,

.•.△DEO是等边三角形，

：.ZDOE=ZBAO=60°,

J.OD//AB,

••S&BDO=S^AOD，

•S四边形ABOO=SzX40o+SzXABO=Sz\EOo+SzviOB，

••SAAOB=SAABD=

过5作于”,

Z.OH=AH,

SAOBH=^-,

2

•.•反比例函数y=k(%>0)的图象经过点5,

X

•••左的值为

故答案为：M.

3

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的

性质，菱形的性质，同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线

是解题的关键.

18.（3分）如图，点S在直线/：尸费上，点5的横坐标为2,过

所作51Al_U，交入轴于点A”以A15为边，向右作正方形Ai^/G，

延长52G交工轴于点A2；以42星为边，向右作正方形Az/SG，

延长华。2交工轴于点斗3；以43与3为边，向右作正方形4与3与4。3

延长&G交工轴于点44；…；按照这个规律进行下去，点Q的横

坐标为—工+（在）n-l_（结果用含正整数〃的代数式表示）

y

【分析】根据点8的横坐标为2,在直线/：y=率上，可求出点

8的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边

的比都是1：2,然后依次利用相似三角形的性质计算出G、Q、

G、。4……的横坐标，根据规律得出答案.

【解答】解：过点氏、G、。2、。3、。4分别作B.DLx轴，C1D1

轴，C2O21.%轴，轴，轴，.垂足分别为。、

D\＞。2、。3、。4...........

..•点5在直线/：尸会上，点B的横坐标为2,

•••点Bi的纵坐标为1,

即：00=2,BQ=1,

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,

B।D]DA।CJD।D।A2

OD-2飞2一人通1—JD1一

...点G的横坐标为:2+1+(3)。，

22

点G的横坐标为：2+L+(3)°+(1)°xl+(2)1=反+(2)0

2224222

XA+(1)1

42

点G的横坐标为：2+1+(2)°+(1)°xl+(2)]+(1)叹上+

2224224

(1)2=3+(S)°x3+(1)'xl++2

2224249

1+(1)°X1+(3)1义5+(S)2xl+(1)

点C4的横坐标为:

22424242

3

点3的横坐标为：=$+(上)°xA+(2)1x3+(1)2xA+(2)

22424242

3X1+(W)4X1+(2)n-l

4242

=A+A[(W)°+(2)'x+(3)2+(S)3+(I)4]+(2)n-]

24222222

尸

在计算探索的过程中发现规律，得出一般性的结论.

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

2

19.（10分）先化简，再求值1aY一4+2,其中。满

a2-4a+42-aa2-2a

足a'+3a-2=0.

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据

cr+3a-2=0,可以求得所求式子的值.

o

[解^答]角狷

a-4a+42-aa2-2a

=[(a+2)(a-2)、1]a(a-2)

(a-2)2f

=(a+2*1)ra(a-2)

a-2a-2.-2-

=a+3产仁-2)

7^.~2-

=a(a+3)

a2+3a

=---,

2

,：cT+3a-2=0,

/+3。=2,

•'•原式=2=1.

2

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化

简求值的方法.

20.（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A.机

器人，B.围棋，C.羽毛球，D.电影配音.每人只能加入一个

社团.为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽

取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的

根据以上信息，解答下列问题:

(1)这次被调查的学生共有，人;

(2)请你将条形统计图补充完整；

(3)若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生

中有多少人参加了羽毛球社团；

(4)在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现

优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛.用树状图或列

表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

【分析】(1)由4类有20人，所占扇形的圆心角为36°,即可求

得这次被调查的学生数；

(2)首先求得。项目对应人数，即可补全统计图；

(3)该校1000学生数X参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即

可得到结论；

(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的

结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得

答案.

【解答】解：(1).「A类有20人，所占扇形的圆心角为36°,

，这次被调查的学生共有：20+旦=200(人)；

360

故答案为：200；

(2)。项目对应人数为：200-20-80-40=60(人)；

补充如图.

人数（人）

80

60

40

20

BC。项目

图（2）

(3)1000X_§2_=300(人)

200

答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团;

（4）画树状图得:

/N/N/1\/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•••共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种,

：.P（选中甲、乙）=-2_=1.

126

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计

图.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.（12分）如图，在四边形4BCD中，AB//CD,AD±CD,ZB=

45°,延长CD到点E,使。E=D4,连接4E.

（1）求证：AE=BC；

（2）若A5=3,CD=1,求四边形A5CE的面积.

【分析】（1）通过证明四边形A5CE是平行四边形，可得结论；

（2）由平行四边形的性质可求。E=AZ）=2,即可求四边形A5CE

的面积.

【解答】证明：（1）,JAB//CD,ZB=45°

AZC+ZB=180°

/.ZC=135°

"：DE=DA,ADVCD

―45°

VZE+ZC=180°

C.AE//BC,^AB//CD

：.四边形ABCE是平行四边形

：.AE^BC

（2）•..四边形A5CE是平行四边形

：.AB^CE=3

：.AD=DE=AB-CD=2

J四边形A5CE的面积=3X2=6

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形

的判定是本题的关键.

22.（12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一

个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实

物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆。E,箱长5C,拉杆A3

的长度都相等，B,尸在AC上，。在DE上，支杆。尸=30c机，

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,/CDF=30°,请根据以上信息，

解决下列向题.

（1）求4C的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）.

【分析】（1）过户作FHLDE于H,解直角三角形即可得到结论;

（2）过A作AGLED交的延长线于G,根据等腰直角三角形

的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）过F作FHLDE于H,

:.NFHC=/FHD=90°,

,：ZFDC=30°,DF=30,

：.FH=LDF=15,DH=®DF=15M，

22

VZFCH=45°,

：.CH=FH=15,

CD=CH+DH=15+15V3,

•：CE：CD=1：3,

DE=1CD=20+2073，

3

•：AB=BC=DE,

：.AC=（40+40后cm；

（2）过4作AGJ_ED交ED的延长线于G,

VZACG=45°,

：.AG=^1AC=20停20注，

答：拉杆端点4到水平滑杆位）的距离为（20佟20注）cm.

图2

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本

概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题.

五、解答题（满分12分）

23.（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16

元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发

量%（件）（%为正整数）之间满足如图所示的函数关系.

（1）直接写出y与％之间所满足的函数关系式，并写出自变量工

的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获

利最大？最大利润是多少？

A1'（元）

20406080x(件)

【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，

定义域取值全部是整数；

（2）根据利润=（售价-成本）X件数，列出利润的表达式，求

出最值.

【解答】解：（1）当0<%W20且％为整数时，尸40；

当20<x<60且x为整数时，y=-4+50；

2

当%>60且％为整数时，y=20；

（2）设所获利润w（元）,

当0<%W20且%为整数时，y=40,

.*.w=（40-16）X20=480元,

，当20<%W60且x为整数时，y=-4+50,

2

•*.w=(y-16)x=(--kx+50-16)%,

2

-区2+34%,

2

-1(x-34)2+578,

2

2

•\当％=34时，w最大，最大值为578元.

答:一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元.

【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出

函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键.

六、解答题（满分12分）

24.（12分）如图，点尸为正方形A5co的对角线AC上的一点，连

接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,Q0是4DEF

的外接圆，连接。尸.

（1）求证：。尸是00的切线；

（2）若tanNPDC=L正方形A5C。的边长为4,求。0的半径

2

和线段0尸的长.

［分析】（1）连接0D,可证△CDPZ△CBP,可得NCDP=ZCBP,

由/CBP+/BEC=90°,/BEC=N0ED=/0DE,可证出N0DP

=90°,则。尸是。。的切线；

（2）先求出CE长，在RtZkDE尸中可求出E尸长，证明△。尸Es

△FPD,由比例线段可求出E尸长，则。尸可求出.

【解答】（1）连接0。，

,正方形A5C。中，CD=BC,CP=CP,ZDCP=ZBCP=45°,

:.ACDPQACBP(SAS),

：./CDP=/CBP,

：.ZCBP+ZBEC=90°,

,：OD=OE,

：.ZODE=ZOED,

ZOED=ZBEC,

：.NBEC=ZOED=ZODE,

：.ZCDP+ZODE=90°,

.•.ZODP=90°,

J。尸是。。的切线；

(2)'：ZCDP=ZCBE,

,Jan/cBE二tanNCDP=

fDgC=%Z

CE—l-x4=2，

2

:.DE=2,

•：/EDF=90°,

•••E/是。。的直径,

：.ZF+ZDEF^90°,

：.ZF=ZCDP,

在/中，述』,

DF-2

Z.DF=4,

,,EF=VDE2+DF2=V42+22=

JOE二旗，

•：/F=/PDE,ZDPE=ZFPD,

.,.ADPE^AFPD,

PE_PD_DE；

・•丽=PF=DF'

设PE=x,则尸。=2%,

'x(x+2j^)=(2x)2，

解得％=然，

：.OP=OE+EP诉

【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性

质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三

角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进

行计算是解决问题的关键.

七、解答题（满分12分）

25.（12分）在RtZ\A5C中，ZBCA=90°,ZA<ZABC,。是AC

边上一点，且0是A3的中点，CE是△5CD的中线.

（1）如图。，连接0C,请直接写出NOCE和N04C的数量关系：

ZOCE=ZOAC；

(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线绕点。逆时针旋

转得射线ON,使NM0N=NAD5,ON与射线C4交于点M

①如图乩猜想并证明线段和线段ON之间的数量关系；

②若N5AC=30°,BC=m,当NAON=15°时，请直接写出线段

ME的长度(用含机的代数式表示).

【分析】(1)结论：ZECO=ZOAC.理由直角三角形斜边中线定

理，三角形的中位线定理解决问题即可.

(2)①只要证明△COMZ/VION(ASA),即可解决问题.

②分两种情形：如图3-1中，当点N在CA的延长线上时，如图

3-2中，当点N在线段AC上时，作于".分别求解即

可解决问题.

【解答】解：(1)结论：ZECO=ZOAC.

理由：如图1中，连接OE.

图1

VZBCD=90°，BE=ED,BO=OA,

♦：CE=ED=EB=LBD,CO=OA=OB,

2

：.ZOCA=ZA,

•：BE=ED,BO=OA,

：.OE//AD,OE=1AD,

2

：.CE=EO.

：.ZEOC=ZOCA=ZECO,

：.ZECO=ZOAC.

故答案为：ZOCE=ZOAC.

(2)如图2中,

VOC=OA,DA=DB,

：.ZA=ZOCA=ZABD,

：.ZCOA=ZADB,

,：ZMON=ZADB,

：.ZAOC=ZMON,

：.ZCOM=ZAON,

ZECO=ZOAC,

，ZMCO=ZNAO,

OC=OA,

.,.△COMQAAON(ASA),

：.OM=ON.

②如图3-1中，当点N在。A的延长线上时,

VZG4B=30°=/OAN+/ANO,ZAON=15°,

：.ZAON=ZANO=15°,

.'.OA=AN=m,

♦：△OCMQAOAN,

:.CM=AN=m,

在Rt45CZ)中，'：BC=m,ZCDB=60°,

3

•：BE=ED,

：.CE=LBD=Jim,

23_

Z.EM=CM+CE=m+运n.

3

如图3-