2020-2021学年荆州中学高二年级上册期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年荆州中学高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设i是虚数单位，则±=（）

r，1.1.cl1.

A.i4--2iB.i--2iC.-2+2D.-2--21

2.若五=(1,九2),5=(2,—1,2)，c=(1,4,4),且五，方,缺面,则;1=()

A.1B.—1C.1或2D.±1

3.椭圆5M+4y2_60=0的焦点坐标为（)

A.(±3百,0)B.(±73,0)c.(0,±3>/3)D.(0.±V3)

4.已知曲线y=在点（64（6））处的切线方程为y=-2x+3,则”6)+以6)=()

A.-11B.-18C.17D.30

5.给出下列四个命题：

①如果平面a外一条直线a与平面a内一条直线b平行，那么a〃a；

②过空间一定点有且只有一条直线与己知平面垂直；

③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直;

④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.若｛.｝为等差数列,首项由>0,a1009+aioio>0,309•«ioio<0,则使得前n项和又>0成

立的最大自然数71是（）

A.2017B.2018C.2019D.2020

7.若直线7nx+y-2m=0与直线（3zn-4）x+y+1=0垂直，则m的值是（）

A.-璃B.璃C.或-1D.一沏

8.直线y=kx+3与圆刀2+y2=1相切，贝味的值是（）

A.2V2B.V2C.±272D.+V2

9.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离

之和的最小值为（）

R、万9

A.3D.------------C.后D.一

22

10.如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱48、AD,AC上，且4Q=QO,,=居=去分别记二

面角A—PQ—R,A-PR-Qt4一。/?一「的平面角为*/?、y,贝心）

A.<y<a

11.在△ABC中,a、b、

T()

7BC.土噜D,回

T6

12.已知双曲线C：提一5=19（。>0*>0）的离心率为争则C的渐近线方程为（）

A.y=±；xB.y=±|xC.y=±xD.y=±1x

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

一4

13.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所不，若。=Aa+劭（九"R）,贝U—=

1121

14.数列｛即｝满足;7+^-=--,%=1,。8=—»b=aa,则数列｛b｝的前n项和为____

un+2an+i15nnn+1n

15.若曲线y=正与直线y=k（x-2）+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是

16.已知椭圆C：^+^=1的左焦点为尸，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，。是椭圆的中点，

259

\0N\=4,则点M到椭圆C的左准线的距离为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在平面直角坐标系中，直线n过点Q(8,4遮)且与直线TH：x+2y=0垂直，直线n与久轴交于点

M,点M与点N关于y轴对称，动点P满足|PM|+|PN|=4.

(1)求动点P的轨迹C的方程

(2)过点。(1,0)的直线I与轨迹C相交于4B两点,设点E(l,4),直线4E,BE,4B的斜率分别为自，

k2,上问心+B-2k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由

18.已知平面向量沅=(国5讥3%,2sin3x)，n=(2cosa)x,sina)x),a)>0,函数/'(x)=沆•元图象的

两条相邻的对称轴之间的距离是看

(I)求函数/(X)的单调递减区间；

(D)求函数/㈤在区间［―，币上的最值.

19.已知椭圆C：捺+《=1(。>6>0))的右焦点为尸，离心率e=孝，过原点的直线(不与坐标轴

重合)与C交于P,Q两点，且|PF|+|QF|=4.

(I)求椭圆C的方程；

(11)过「作「七，》轴于七，连接QE并延长交椭圆于M,求证：以QM为直径的圆过点P.

20.如图，四棱锥P-ABCC的底面4BCD为菱形，平面PAD1平面4BCD,

PA=PD=5,AD=6,ADAB=60°,E为4B的中点.

(1)证明：AC1PE;

(2)求二面角。-PA-B的余弦值.

21.若是等比数列，a2=2,a5=i.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(口)求和:ag+a2a3T---(与。九+1(九WN*).

22.已知抛物线：y2=4x,过点P(8,—4)的动直线，交抛物线于4B两点.

(1)当P恰为48的中点时，求直线2的方程；

(2)抛物线上是否存一个定点0,使得以弦为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标；若不存在,

请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：C

&力Anii(l-i)1+i1,1.

解析：解：乖=(1+)1)=h=//，

故选：C.

利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共聊复数，运算求得结果.

本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的暴运算性质，属于基础题.

2.答案：A

解析：

【试题解析】

本题考查了空间向量的共面定理，属于基础题.

向量Zb,3共面，存在实数n使得芸五+TIB，即可得出.

解：向量市E，C共面，又值与方不共线，

••・存在实数m,九使得=ma+nb»

1=m+2n

4=Am-n,解得A=1.

.4=2m+2n

故选A.

3.答案：D

解析：解：根据题意，椭圆5/+例2-60=0的标准方程为："+三=1,

其中a=V15>b=V12,且其焦点在丫轴上，

则c=V15-12=追，

则椭圆的焦点坐标为(0,±V3)，

故选：D.

根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，求出a、b的值，分析可得c的值，以及焦点的位置，即可

得答案.

本题考查椭圆的标准方程，注意将椭圆的方程变形为标准方程.

4.答案：A

解析：解：•.•曲线y=/(x)在点(6,f(6))处的切线方程为y=—2x+3,

“⑹=-2,

又点(6,/(6))在切线y=-2x+3上，

•••/(6)=-2x6+3=-9.

.-./-(6)+f(6)=-9-2=-ll.

故选：A.

由题意直接求得((6),再由点(6,/(6))在切线y=-2x+3上求解/(6),则答案可求.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题.

5.答案：C

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

能力，是中档题.

在①中，由线面平行的判定定理得a〃a；在②中，由线面垂直的性质定理得过空间一定点有且只有

一条直线与已知平面垂直；在③中，这条直线与这个平面不一定垂直；在④中，由面面垂直分析可

得这两个平面的交线垂直于第三个平面.

解：在①中，如果平面a外一条直线a与平面a内一条直线b平行，那么由线面平行的判定定理得可/a,

故①正确；

在②中，由线面垂直的性质定理得过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故②正确；

在③中，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面不一定垂直，故

③错误；

在④中，若两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个

平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于

这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故④正确.

故选C.

6.答案：B

解析：解：T<2]>0,<21009,CZioiO<0，

：-d<0且。]009>0，^IOIO<0，

又S2018=迎蛹手触必=io09(a1009+aioio)>0，

2。19（。1+。2019）

而S2019=2019alon<0

2

故使得前n项和%>0成立的最大自然数n是2018,

故选：B.

由已知可得的。09>0,a1010<0,然后结合等差数列的求和公式及性质即可直接求解.

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题.

7.答案：B

解析：试题分析：当直线的斜率不存在时，求出m的值，检验是否满足直线k和直线，2垂直，当两直

线的斜率都存在时，由斜率之积等于-1可得关于机的方程，解得机的值.

当m=0时，直线小y=0,斜率等于0,l2；-4x+y+l=0,不满足直线k和直线％垂直.

当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于一1可得一小•(4-3m)=-1,解得爪=1或

综上得，用的值是1或也

故选：B.

8.答案：C

解析：解：直线y=kx+3即kx-y+3=0,

2

由题意可得，圆/+y=1的圆心0(0,0)到此一y+3=0的距离等于半径1,

即喘百=L解得k-±2V2.

故选：C.

根据题意可得圆心0(0,0)到依一y+3=0的距离等于半径1,即高=1,由此解得k的值.

本题主要考查直线和圆的相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题.

9答案:B

解析：

本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学

思想.

先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=\PF\+\PM\>\MF\,再求出|MF|的值即可.

解：依题设P在抛物线准线的投影为P',

抛物线的焦点为凡贝肝G，。)，

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=\PF\,

则点P到点M(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和,

d=\PF\+\PM\>\MF\=J：+4=字.

即有当M,P,F三点共线时，取得最小值，为巨.

2

故选B.

10.答案:D

解析：解：观察可知，a>0>丫,

a为钝角，£,y均为锐角，/?平缓一点，y陡急一点,

•,<>”/，

则a>0>丫,

故选：D.

由四面体为正四面体，结合AQ=QD,==通过图形

roKAZ

直观分析得答案.

本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生通过读图进行直观分析问题与解决问题的能力，是中

档题.

11.答案：B

解析：解：在△ABC中，vc-cosB=b-cosC,二由正弦定理可得sinCcosB=sinBcosC,

即sin(C-B)=0.

再结合一TT<C—B<7T,可得C—B=0,即C=B,■-A=Tt-B—C=TT-2B,•-B=.

故选：B.

由条件利用正弦定理求得sin(C-B)=0.再结合-7T<C-B<兀，可得C-B=0,再由cosB=

计算求得结果.

本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式、半角的余弦公式的应用，属于基础题.

12.答案：D

解析：

本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a,b和c基本关系，属于

基础题.

先根据双曲线的方程求得渐近线方程，通过离心率a和c的关系，求得a和b的关系，进而求得渐近线

方程.

解：•••双曲线的渐近线方程为y=±",离心率6=?=当

可得：¥=♦，解得3=也

则C的渐近线方程为：y=±|x.

故选：D.

13.答案：4

解析：可设a=-i+j,i,，为单位向量且i1j,

则b=6i+2c=-i-3j.

由c=4a+=(6〃-A)i+(4+2〃)j,

A——2,

6〃-4=-1,

/c.解得I1

4+2〃=—3,Ll=——.

2

14.答案：就

解析：解：数列5｝满足止+3—=5一，

anan+2an+i

则：数列｛分是以2=1以7d=《-2=14,

即d=2的等差数列.

所以:…占

所以：bn=anan+1=(2n_J(2n+1)=\，

所以:%=…+表一盛),

=-(1

212n+ly

n

2n+l

故答案为：$7

首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察

学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

15.答案：舄考

解析：解：由题意，直线、=上。-2)+3过定点「(2,3),

曲线y=V?三正表示圆心为(0,0),半径r=2的圆的上半部分.

当直线过点(-2,0)时，直线与曲线有两个交点，

此时，斜率卜=错=7

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=霄=2.

vl+k2

解得，

.•・实数k的取值范围是(卷

故答案为：(\，：］•

直线y=k2)+3过点P(2,3),求出两个特殊位置直线的斜率，可得结论.

本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的应用，考查数形结合以及计算能力.

16.答案：|

解析：

本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查三种圆锥曲线统一定义的应用，是

中档题.

由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案.

解：如图，

由椭圆C：应+”=1,知a2=25,b2=9,

259

・••c2=a2—b2=16,：•c=4.

赃=£=g

■.•点N是M尸的中点，。是椭圆的中心，|0N|=4,

\MF'\=8,贝=2a-\MF'\=10-8=2,

设点M到椭圆C的左准线的距离为d,则号=e=±得d=;.

d52

故答案为：|.

17.答案：解：(1)直线n过点Q(W,4g)且与直线小：％+2y=0垂直，

可得n的方程为y-4g=2(%-遮)，

由y=0,可得％=—百，即M(-g,0),

由题意可得N(b,0)，

动点P满足|PM|+\PN\=4>\MN\=2V3>

由椭圆定义可得P的轨迹为以M，N为焦点的椭圆，

且a=2,c=V3,b=1,

则动点P的轨迹C的方程为正+y2=l；

4

(2)点。(1,0)的直线(设为y=fc(x-1),联立椭圆方程/+4y2-4=0可得

(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,

设A(X1，%),B(%2，y2)>可得Xi+%2=LM'=：：狄；'

%=Kxi-1)，y2=k(.x2-1)，

则向+k2-2k=^77+^17-2k

4411

=k-----------+k------------2k=-4(--------+--------)

—1-1X]-1%2—1

4%i+%2~28k2-2-8k2

222

X1X2-(*1+冷)+1-4fc-4-8fc4-1+4fc

=*为定值.

解析：(1)求得直线n的方程，可得交点M和N的坐标，由椭圆定义可得轨迹方程；

(2)设出直线I：y=/c(x-l),联立椭圆方程/+4y2-4=0,运用韦达定理和直线的斜率公式，

化简整理可得灯+k2-2k为定值.

本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理,

以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

18.答案：解：/(%)=m-n

=2y/3sina)x-cosa)x+2sin2cox

=y/3sin2a)x+1-cos2a)x

=2sm(2a)x—-)+1.

6

・••函数f(x)图象相邻的两条对称轴之间的距离是壬

•••最小正周期7=2X*等，解得3=1.

・•・/(x)=2sin(2x--)+1.

6

(I)令2%—6C+2fc/r,77+2/CTT],kEZf则x6[—+ku,—+kit\，kGZ.

62236

••・函数/(x)的单调递减区间为g+k兀，挈+Er],kGZ.

30

(口)•・•XE[_U・•・2x_3€U

n

:.sin(2x——)G[—1,

・,•当2%_(=一],即％=一1时,/(X)min=2X(-1)4-1=-1;

当2%-鸿,即％=即寸，/,(X)m«x=2X^+l=V3+l.

故函数/(X)在区间[一，白上的最小值为-1，最大值为遍+1.

解析：结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可将函数化简为/(久)=

2sin(2a)x-^)+l,由题易知，最小正周期7=兀="，从而求得3的值以及函数/(%)的解析式.

(I)令2K—[€g+2kn■，?+2/nr],kGZ,解之即可；

622

（n）由化€[-3勺，得2支一年[一或勺，再结合正弦函数的图象与性质即可得解.

本题考查平面向量与三角函数的综合运用，包含平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角

公式和正弦函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

19.答案：解：（/）设柳圆的左焦点为F',根据对称轴，

\PF\+\QF\=\PF\+\PF'\=4=2a,a=2,又离心率e=-=

2a

所以c=V2»b=V4-2=V2,

所以椭圆的方程为：-+^=1;

42

（〃）设过原点的直线方程为y=kx（k丰0）,

则%£=等言=T上故直线QE为y=?（x-%）,

（k/、

y=-（%—%!）

由《丫2，得（2+上2）%2一2攵2%6+左2后-8=0,

（T+T=1

则Xp+xM=XM=+Xi，

故VM-/）=黑’

所以所=（-2%,-25），丽=（翳，券），

则而而=-竺等+里=0,

y2+k22+k2

故直线PQ与PM垂直，所以NMPQ=90°,

故以QM为直径的圆过点P.

解析：（/）设椭圆的左焦点为F',根据对称轴，结合定义，求出a,再求出c,b,求出椭圆的方程；

（〃）设过原点的直线方程为y=kx（k中0）,设P（akxi）,Q（-Xi，-kxi）,EQ[,。），求出向量而，而，

判断出PQ与PM垂直，得出结论.

考查了椭圆的定义，性质和求椭圆的方程，考查了直线与椭圆的综合，向量法判断直线的垂直，考

查运算能力和逻辑推理能力，中档题.

20.答案：（1）证明：取4。的中点0,连接OP,OE,BD,

•••底面4BCD为菱形，BDLAC,

•••。、E分别为AC,48的中点，OE〃BD,

•••AC1OE.

•:PA=PD,。为4。的中点，;POLAD,

又....平面PA。，平•面ABC。，平®P40n平面4BCD=AD,POu平面PAD,

POL^ABCD,：.PO1.AC,

OEQOP=O,OE、OP都在平面POE中，

AC1•平面POE,

vPEu平面POE,

•••AC1PE；

(2)解:连接。B,

•••底面4BCD为菱形，:.AD=AB,

•••N£MB=60°,.•.△DAB为等边三角形,

又。为4。的中点，•••BO_LAD,

vPO_L平面ABCD,

POLOA,PO1OB,

OP.OA,OB两两垂直，

以。4、OB、OP所在直线分别为%轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系。-xyz,

则做3,0,0),g(0,3V3,0).P(0,0,4),

OB=(0,3b,0)为平面P4C的法向量，

设平面PAB的法向量元=(x,y,z),

vAP=(-3,0,4)-AB=(-3,373,0),

唱北盆黑,取…贝哈。，黑)，

OB-n

COS<OB,n>=

\OB\\n\

由题意可知，二面角。一PA-B为锐角,

所以二面角。-PA-B的余弦值为港.

91

解析：本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解

二面角的平面角，是中档题.

(1)取4。的中点。，连接OP,OE,BD,由已知可得BDJ.4C,又。、E分别为ZD,AB的中点，可得

OE//BD,得到AC10E,再由24=PD,。为4D的中点，得到P014D,结合面面垂直的性质可得P01

AC,再由线面垂直的判定可得平面POE,从而得到AC_LPE；

(2)证明OP、。4、。8两两垂直.以04、OB、0P所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直接坐标

系O-xyz,得到4,B,P的坐标，可得平面PAD的一个法向量，再求得平面PAB的一个法向量，即

可求得二面角D-PA-B的余弦值.

21.答案：解：(I)根据题意可得q3=£=],

1a

;q=5，=—2=4A,

二数列｛即｝