2021春人教版九年级数学下册 第26章反比例函数 教学设计

反比例函数

一、学生知识状况分析

本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比

例函数的概念.通过例题和列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反

比例函数的意义.

由于本节课比较抽象，学生理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概

念的过程中，充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，

引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并逐步加深理解.教学中要提

供直观背景展现反比例函数的经验来源，在获得反比例函数概念之后，经验背景

将成为概念的某种直观解释或实际意义，在活动中，教师应注意提供思考或研究

问题的方向.

二、教学任务分析

教学目标

（一）教学知识点

1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深

对函数概念的理解.

2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函

数的概念.

（二）能力训练要求

结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达

式.

（三）情感与价值观要求

结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具

体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学

活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.

教学重点

经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数

的概念.

教学难点

领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环

节：新课讲解；第三环节：课堂练习；第四环节：课时小结；第五环节：课后作

业。

第一环节：创设问题情境，引入新课

活动目的给学生设置疑问，激发学生学习兴趣。

活动过程

我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y=kx+b

其中k,b为常数且kWO,正比例函数的表达式为丫=1«,其中k为不为零的常

数,但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路

程为1200km,某人开车要从A地到B地，汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之

间的关系式为vt=1200,则t=中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函

V

数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢?这就是本

节课我们要揭开的奥秘.

第二环节：新课讲解

活动目的在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概

念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型。

活动过程

引入我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回

忆一下什么叫函数？

1.复习函数的定义

在某变化过程中有两个变量X,y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一

确定的值与它对应,则称y是x的函数.

能举出实例吗？(要求学生完成)

例如，购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是y

=0.4n,这是一个正比例函数.

又如，等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x,y

是x的一次函数.等

2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式.

复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问

题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函

数关系式.

问题1：电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时.

(1)你能用含有R的代数式表示I吗？

(2)利用写出的关系式完成下表:

R/Q20406080100

I/A

当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢？

(3)变量I是R的函数吗?为什么？

请学生大家交流后回答.

答案为⑴能用含有R的代数式表示I.由IR=220,得1=型.

R

(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11,5.5,3.67,2.75,2.2.

从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越

小时，I越来越大.

(3)变量I是R的函数.

由IR=220得1=当.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因

R

此I是R的函数.

舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或

由黑夜变成白昼的？

请学生互相交流后回答.

答案为：根据1=圆，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变

R

大，灯光较亮.所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短

的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼.

问题2：投影片：(§5.1A)

京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽

车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变

量t是v的函数吗?为什么？

经过刚才的例题讲解，学生可以独立完成此题.如有困难再进行交流.

答案：由路程等于速度乘以时间可知1262=vt,则有1=里.当给定一个

V

V的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是V的函数.

从上面的两个例题得出关系式

1=当和t=1262.它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗?能否根

Rv

据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢？

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=勺(k为常数，

kWO)的形式，那么称y是x的反比例函数.

从y=&中可知x作为分母，所以x不能为零.

X

活动效果及注意事项在教学中，引导学生体会，定义中非零常数K及变量

x,y已经不在局限于只取正值而允许取任意非零数值。这里不宜使用“定义域”

和“值域”等名词。

3.做一做

活动目的前两个问题旨在强化函数和反比例函数的实际意义，在此基础上，

第三个问题进一步明确：确定一个反比例函数关系的关键是求得K的值。

活动内容投影片（§5.1B）

1.一个矩形的面积为20cm2,相邻的两条边长分别为xcm和ycm,那么变

量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么？

2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕

地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么？

3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

£

X-2-113

22

2

2-1

y7

⑴写出这个反比例函数的表达式；

（2）根据函数表达式完成上表.

活动效果及注意事项学生加强了对概念的理解，并初步体会函数表达式

与函数表格的相互转化。

第三环节：课堂练习

活动目的巩固反比例函数概念的理解

活动过程学生自主完成练习1

第四环节：课时小结

活动目的培养学生总结归纳的能力

活动内容本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数

的表达式为y=&（k为常数.kWO）,自变量x不能为零.还能根据定义和表达式

X

判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数.

活动效果及注意事项在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的

某种直观解释或实际意义，通过举例，说理，讨论等活动，使学生体验如何用数

学眼光来审视某些实际问题

第五环节：课后作业

习题5.1

四、教学反思

在教学反比例的定义时，我首先通过复习，巩固学生对正比例函数的理解。

然后安排从中发现不成正比例，从而引入学习内容和学习目标。这通过复习、比

较，不成正比例，那么它成不成比例呢？又会成什么比例？通过设疑不仅激发了

学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新

知创造了条件并激发了积极的情感态度。在教学时，我以学生学习的正比例的意

义为基础，在学生之间创设了一种自主探究、相互交流、相互合作的关系，让学

生主动、自觉地去观察、分析、概括、发现规律，培养了学生的自主探究的能力。

反比例函数的图象和性质

教学目标

（一）、知识技能：

1、进一步熟悉用描点法作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；

2、体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认知上的整和；

3、逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要

性质。

（二）、过程与方法

通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究,

归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。

（三）、情感态度与价值观：

1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法；

2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的

习惯。

教学重点、难点和关键

1、重点：会画反比例函数的图象，会理解反比例函数的性质；

2、难点：理解反比例函数的性质，并能灵活应用

3、关键：画图中描点必须明确、密度适中、连线必须光滑。

教法、学法：

教法：诱导法与讲解法相结合

学法：自主探究与他人合作学习。

学法解析：采用教师引导，师生互动，动手画图，动脑筋思考的方式进行学习。

课型和课时

1、课型：本课为新授课

2、课时：本节“反比例函数的图象和性质”共2课时，本课为第1课时，

待学习了函数的图象和能根据函数图象探究其性质后，在下一课时主要研究如何

利用函数图象性质解决数学问题。

授课方法：合作探究式

教具和学具：三角板或直尺、铅笔

教学活动设计板块：

活动一情景导入激发兴趣

活动二类比联想探索交流

活动三探索比较发现规律

活动四运用新知拓展训练

活动五归纳总结强化巩固

教学过程

活动一情景导入激发兴趣

复习巩固

1、什么是反比例函数？

2、作出一次函数y=6x的图象，图象是什么形状？作图的步骤是什么？

学生活动：由一个学回答，其他的学生作出评价。

教师活动：加强引导，对学生进行及时、正确的评价。

引入课题

由问题2,猜测：反比例函数y=9的图象会是什么形状呢？我们可以用什

X

么方法画这个反比例函数的图象？

师生活动：学生自由猜测，教师引导学生对比反比例函数与一次函数，它们

有什么不同？让个别几个学生说出自己的猜想。师引导学生进行评价。

这就是我们这节课所要学习的内容：（板书课题）

活动二类比联想探索交流

问题：画一次函数图象一般步骤是什么？根据画一次函数图象一

般步骤猜想一下画反比例函数我们应做哪些？

师生活动：先让学生回答画一次函数图象一般步骤后，再鼓励学

生大胆猜想。师生共同评价。

师生小结得：

反比例函数的图象作图步骤：

描点法作图列表~描点**连线

1、画出反比例函数y=2与y=-6的图象（图一）

师生活动：教师引导学生思考，示范画出反比例函数y=g的图象再让学生

尝试画出反比例函数y=-9的图象。在教学过程中，教师巡视指导学生画图。

［教学设计说明：通过师先示范作图，让学生学习画图的方法以及画图中要

注意的问题。再让学生画图，培养了学生动手画图的能力。］

2、学生分组画出反比例函数y=上与y=-9的图象。（图二）

（图二）

:班学生分成两个大

3

y=-士的图象，比一比，看哪一组先完成？教师巡视并加以指导。然

后，师生共同评价同学们劳动成果。

［教学设计说明：通过学生们动手画图，让学生掌握了画图的方法，培养了

学生动手能力。］

问题:请同学们与同桌一起观察这四个函数的图象，它们具有什么样的共同

占。

八、、•

师生活动：引导学生观察、讨论、归纳、总结，并由学生回答问题。

师生共同总结：

1、反比例函数的图象是双曲线，双曲线的两支是段开的，每一支随着X的

不断增大（或减小），曲线会越来越接近坐标轴。

2、反比例函数的图象是轴对称图形，图象关于一、三象限角平分线、二、

四象限角平分线对称。

活动三探索比较发现规律

以四人小组为单位做游戏：每人手中拿一种函数的图象，观察函数y=9与

X

y=-9的图象以及y=a与y=-3的图象，找一找它们之中谁和谁可以成为好朋

XXX

友？

学生讨论分类：

分类一：观察y=9与y=3的图象特征,它们的函数图象都具有什么样的共

XX

同点，由此可得出什么结论？（图四）

分类二：观察y=—9与y=的图象特征,它们的函数图象都具有什么样的

XX

共同点，由此可得出什么结论？（图五）

分类三：观察y=与丁=自的图象特征，它们的函数图象都具有什么样的

xX

特征，由此可得出什么结论？（图六）

教师活动：引导学生参与小组合作字刁,，开及呵51导和鼓劲。

学生活动：主动与同伴进行合作分析、讨论、归纳、总结得出结论。每组由

中心发言人汇报得出的结论。

师生活动:对同学们回答，及时给予正确的评价。

师生共同归纳总结：

1、当女＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x

值的增大而减小。

2、当左＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x

值的增大而增大。

3、在同一直角坐标系内两个反比例函数的即关于y轴对称，也关于x轴对

称，具有对称关系的两个反比例函数的女值互为相反数。

［教学设计说明：通过小组合作学习，让学生得出反比例函数的性质。同时培养

了学生与他人合作的能力，增强了学生的团队合作意识。］

活动四运用新知拓展训练

问题：

1、你问我答：请一位同学构造一个反比例函数，他的同桌指出这个反比例

函数图象所在的象限，以及函数值随自变量变化的变化情况。

2、已知反比例函数》=匕^,分别根据下列条件求出字母攵的取值范围，

X

(1)、函数图象位于第一、三象限；

(2)、在第一象限内，y随x的增大而减小

Q

3、在函数＞的图象上有三点(―3,y),(—1,%)，(2,%)，则函数值X，%，必

X

的大小关系是？

教师活动：引导学生分析思考，指导和鼓励学生写出解答过程。

学生活动：自主参与分析思考、讨论，并解答。

［教学设计说明：拓展练习是为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问

题，学生在研究每一个问题特点时，能够紧扣性质进行分析，达到理解并掌握

性质的目的。］

活动五归纳总结强化巩固

归纳总结：

1、本节课你学习了哪些知识？

2、本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问？

布置作业：1、教科书P53复习巩固3(必做)

2、选做：补充作业

板书设计

反比例函数的图象和性质

一、反比例函数的图象作图一般步骤：

描点法作图：1、列表2、描点3、连线

二、反比例函数的图象特征：

1、2、

三、反比例函数的性质：

1、2、3、

四、应用举例

教学反思：

本节课的教学力求在每一个环节上都能以学生为主体，让学生主动完成知识

的探索，体会他们的学习是有意义、有科学性、有创造性的。他们在本课的学习

活动中始终是主动的探索者、研究者。通过探

究、合作学习，培养学生的探究能力和与同伴合作学习的能力。同时，培养了学

生的创新思维能力。

建立反比例函数模型解决实际问题

一、知识与技能

1.从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深

对函数、函数概念的理解.

2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的

概念.

二、过程与方法

1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点.

2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意

识.

三、情感态度与价值观

1.经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习

数,学的兴趣.

2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神.

教，学重点：理解和领会反比例函数的概念.

教学难点：领悟反比例的概念.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动1

问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函

数有什么共同特点？

（1）京沪线铁路全程为1463km,乘坐某次列车所用时间t（单位力）随该列车平

均速度v（单位:km/h）的变化而变化；

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的

变化；

（3）已知北京市的总面积为1.63X10"平方千米，人均占有上地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位：

人）的变化而变化.

师生行为：

先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，/解所讨论的函敛的表达形

教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.

在此活动中老师应重点关注学生：

①能否积极主动地合作交流.

②能否用.语言说明两个变量间的关系.

③能否了解所讨论的函数表,达形式，形成反比例函数概念的具体形

象.

分析及解答：（1），=理

1.68xl04

（3）s=--------

n

其中V是自变量，t是V的函数；

X是自变量，y是x的函数；

n是自变量，s是n的函数；

上面的函数关系式，都具有y=七的形式，其中k是常数.

X

二、联系生活，丰富联想

活动2

下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？

（1）一个游泳池的容积为2000m',注满游泳池所用的时间随注水速度u的

变化而变化；

（2）某立方体的体积为1000cm3,立方体的高h随底面积S的变化而变化;

（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积

S的变化而，变化.]

师生行为

学生先独立思考，在进行全班交流.

教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重

点关注学生：

(1)能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；，

(2)能否积极主动地参与小组活动；

(3)能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念.

/,、2000

分析及解答:(1)t=----

V

⑵力=侬

S

⑶T

概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成旷=&的形式，那么y是x

X

的反比例函数，反比例函数的自变量X不能为零.

活动3

做一做：

一个矩形的面积为20cm2,相邻的两条边长为xcm和ycm.那么变量y是

变量K的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

师生行为：

学生先进行独立思考，再进行全班交流.教师提出问题，关注学生思考.此

活动中教师应重点关注：

①生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；

②学生能否顺利抽象反比例函数的模型；

③学生能否积极主动地合作、交流；

活动4

问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？,

y=4x,—=3