2020-2021学年衡阳市衡阳县高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年衡阳市衡阳县高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知M=｛（x,y）|y=/一1｝,N=｛（x,y）|y=x-1],那么MCN的真子集的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

2.常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3,函数/（x）=|sin（2|x|+§|的一个单调区间（）

A.(J,。)B.(-看有C.(0)5D.(=.=)

22

4.已知F是双曲线E：京-a=l（a>0">0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为

P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到£的两条渐近线的距离之积为序，若|”|=2d,则该双曲

线的离心率是（）.

A.V2B.2C.3D.4

5.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面2BCD是矩形，P41底面48CD,

E是PC的中点，4B=2,AD=2V2,PA=2,则异面直线BC与4E所

成的角的大小为（）

6.过抛物线C：y2=2Px（p>0）的焦点且倾斜角为锐角的直线/与C交于4B两点，过线段4B的中

点N且垂直于的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|4B|,贝Ui的斜率为（）

A.|B.更C.更D.1

332

7.以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于不同的四点，顺次连接四个交点和两个焦点恰好围成一

个正六边形，则这个椭圆的离心率为（）

A.5-小lB.$—1C.苴D.或

LJ

8.设AABC的内角a,B,C所对的边分别为a,b,c,若。=bs讥4则AdBC的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9,下列有关命题的说法正确的是()

A.命题“若x=1,则/=1”的逆否命题是真命题

B.命题“若无=1,则/=1”的否命题是“若久=1,贝次2丰1”

C.命题“Vx>0,都有/>o”的否定是“mx>0,使得/<o"

D.若pAq为假命题，则p、q都为假命题

10.“0,1数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列.设力是一个有限0,

1数列，/缶)表示把a中每个o都变为1,0,每个1都变为0,1,所得到的新的0,1数列，例如

4(0,1,1,0)

,则/(㈤=(1,0,0,1,0,1,1,0).设4是一个有限0,1数列，定义Ak+1=k=l,2,3,…厕下

列说法正确的是()

A.若43=(1,0,0,1,1,0,0,1),则4=(0,0)

B.对任意有限0,1数列71n(n22,neN)中0和1的个数总相等

C.4n+1中的0,0数对的个数总与4“中的0,1数对的个数相等

D.若&=(0,0),则42021中0，0数对的个数为—1)

11.设几何体力BCD-4/道1。1是棱长为a的正方体，&C与BiD相交于点0,贝式)

A.XjBi-AC=a2B.AB-A^C=V2a2

C.CD-~AB[=-a2D.AB-A^O=|a2

12.下列命题中，正确的是()

A.对于任意向量落3，有.+E|W|矶+|方|

B.对于任意向量Eb^若五-b=0>则N=6或b=0

C.对于任意向量落K，有[五㈤<\a\\b\

D.若向量落3共线，则五.。=±叩|㈤

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.求值：log315-|/O^325=.

14.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a不是最大边，已知小一炉=7nbe

其中m为大于零的常数，若temA-25tcmB的最小值为-4,贝1bn=.

15.若双曲线的渐近线方程为y=±?x,则双曲线的离心率是.

16.已知等差数列｛即｝的首项为a,公差为b；等比数列伯„｝的首项为b,公比为a,其中a,b均为正

整数，且a[<<a2<b2<a3,若存在关系式^^+1=bn,贝!|6=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(5-C)T=6cosEcosC.

⑴求meK；

(2)若口=3,AABC的面积为20，求b,c.

18.随着时代的发展，科技的进步，“网购”已经成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上

买到自己想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某研究机构调查了某地去年第一个

月至第七个月的网店销售收入如表：

时间(月份)1234567

收入(万元)815244266105182

根据以上数据绘制散点图.

(1)为了更深入的了解网购发展趋势，机构需要派出人员进行实地考查，拟从4B,C,D,E五

名员工中随机抽取2人前往，则4B至少有一人被抽到的概率是多少？

(2)根据散点图判断，y=a比+b与y=c•#哪一个适宜作为网店销售收入y关于月份x的回归方

程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你判断的结果及表中的数据，求出y关于久的回

归方程；(结果保留两位小数)

(3)根据(2)中求得的回归方程预测8月份该地区的网店销售收入.

参考数据与参考公式：

7777

WXiui100.72101.76

i=li=li=li=l

44211.18251250.935.2557.54

其中n=Zgy,u=lgy,夕=啊看厂管,

tt2a=y—(ix

Li=1xf-nx

19.如图，在正方体4BCD中，E是4al的中点.

(1)求证：41c〃平面8。£；

(2)求证：ArC1BD.

20.记数列的前几项和为工,已知点(n,SQ在函数〃久)=久2+2%的图象上.

(/)求数列｛&J的通项公式；

(□)设“=7^，求数列｛bn｝的前几项和.

anan+l

21.已知椭圆r：应+e=1的左、右焦点分别为民、F,过F2的直线z与椭圆r相交于P、Q.

432

(1)求A&PQ的周长；

(2)设点4为椭圆厂的上顶点，点P在第一象限，点M在线段4尸2上，若锁=|印，求点P的横坐标;

(3)设直线I不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与无轴交于点N求△QF?N面积的最大

值.

22.已知函数/'(x)=(%+l)Znx—ax+a.

(I)若曲线y=/(久)在点(l,f(l))处的切线倾斜角为3，求a的值;

(口)若/(乃在(0,+8)上单调递增，求a的取值范围；

(HI)请直接写出f(x)的零点个数.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

求出集合的交集元素，结合真子集的公式进行求解即可.

解：将y=x-1代入y—x2—1,得y—x2—1=x—1,

即/=久，得久=1或x=0,当久=1时，y=0,当x=0时，y=-1,

即MCN={(1,0),(0,-1)},

集合有2个元素，则MCN的真子集的个数为22-1=3个，

故选：B.

2.答案：B

解析：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，

根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.

所以“好货”="不便宜”，

所以“不便宜”是“好货”的必要条件,

故选：B.

根据逆否命题的等价性和充分条件必要条件的定义进行判断.

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题.

3.答案：D

解析：解：画出函数的图象，如图所示，由图象可

知函数单在区间e谭)是单调区间.

OD

故选：D.

根据正弦函数的图象即可得到函数的单调区间.

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，

4.答案：B

解析：

本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题.

£上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d/2=喙萨=罢=d2,F(c,0)到渐近线b光-

。、=()的距离为卷=6=2乙求出可求双曲线的离心率.

解：E上任意一点QQ,y)到两条渐近线的距离之积为did2=与鬻=詈=d2,

F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为方寒=b=2d,

ab_b

T=2'

故选艮

5.答案：B

解析：解：以力为原点，4B为无轴，4D为y轴，4P为z轴,

建立空间直角坐标系，

5(2,0,0),C(2,2V2,0),P(0,0,2),

4(0,0,0),E(1,a,1),

Ay

~BC=(0,2V2,0),荏=(1,夜,1),

设异面直线BC与AE所成的角为氏

cos<菰,赤>=SU*=g

\BC\-\AE\2V2-V42

••・异面直线BC与ZE所成的角的大小为?

故选：B.

以4为原点，4B为久轴，4。为y轴，2P为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线BC与2E所

成的角.

本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意

向量法的合理运用.

6.答案：B

解析：解：抛物线C：*=2p久Q>0)的焦点为g,0),准线方程为％=

设直线4B的方程为y=k(x—k>0,

设力Qi，%)，8(久2，%)，

代入抛物线的方程可得k2K2_p(fe2+2)%+卓=0,

即有久1+久2=P+居,

可得弦长|4B|=%+冷+P=2P（1+4）,

中点N的坐标为g+强电，

可得VM=卷+9,

可得|MN『=（p+《）2+（_（_看）2,

由|MN|=\AB\,可得4P2（1+专）2=（p+劫2+凯

化为解得k=立.

33

故选：B.

求得抛物线的焦点和准线方程，设直线力B的方程为y=k（久一今，k>0,设4（打,力），B（x2,y2）,

代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得N的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之

积为-1,可得M的坐标，运用弦长公式和两点的距离公式，解方程可得k.

本题考查抛物线的定义和方程，考查直线和抛物线的方程联立,注意运用韦达定理和中点坐标公式，

考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1,考查运算能力，属于中档题.

7.答案：B

解析：解：设椭圆的两个焦点为Fi，F2,圆与椭圆交于力，B,C,D四个不同的点，

设|Fi6|=2c,则|DR|=c,\DF2\=V3c.

椭圆定义，得2a=||。&|+|。尸21=，c+c,

所以6=（=岛=8—1，

故选艮

8.答案：B

解析：解：,•・在△ZBC中，a=bsinA,

•••由正弦定理可得sin/=sinBsinA,

sinA0,同除以sinA可得：sinB=1,可得：B=|,

・•.△ABC一定是直角三角形.

故选：B.

由正弦定理可得sinA=sinBsinA,可得s讥B=1,B=],可作出判断.

本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题.

9.答案：AC

解析：解：命题“若X=l,则/=1”正确，由原命题与其逆否命题同真同假，所以其逆否命题是

真命题，故A正确；

命题“若X=1,贝k2=1”的否命题是“若X丰1,则/丰1”，故8错误；

命题“Vx>0,都有/>0”的否定是“mx>0,使得久2W0”，故c正确；

若pAq为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故。错误.

故选：AC.

由原命题和其逆否命题的等价性可判断4由命题的否命题的形式可判断B；由命题的否定的形式可

判断C;由复合命题的真假可判断》

本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定与四种命题的关系、复合命题的真假，考查推理能力，

属于基础题.

10.答案:BC

解析：解:若&=(0,0),则&=(1,0,1,0),X3=(0,1,1,0,0,1,1,0),A错误；

由f(4)的定义知，8正确；

因为4n+i中的每一个。，。数对只能由41中的一个o，1数对变来，且2九中的每一个0,1数对必生成

一个4计1中的0,0数对，C正确；

记An中的。，0数对与0，1数对的个数分别为册，bn,由C选项知与+1=%.

又因为An中的每一个0,1数对只能由41T中的一个1或者一个0,0数对变来，

且由B选项知，中有2n-2个1,

n-2

从而61=an_1+2"-2.所以=anl+2(n>2),

故。2021=Zfc=i°(a2fc+i-«2fc-i)+=Xfc=i°22k~2+0=1(41010-1),。错误，

故选：BC.

根据新定义依次判断各个选项即可.

本题属于新定义问题，解题时要通过阅读，理解所给出的新定义，并将其应用在解题中，此类问题

主要考查学生的阅读理解和应用新知识的解决问题的能力，属于难题.

11.答案：ACD

解析：

本题考查了空间向量的数量积运算，考查了计算能力，是中档题.

建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算，逐一判断，即可得出结论.

解：建立空间直角坐标系，如图所示；

则。(0,0,0),AQa,0,0)>B(a,a,0),

B^a,a,a),2i(a,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),O(p|,^)；

对于4，&于=(0,a,0),AC=(-a,a,0),所以4B；•前=选项A正确.

对于8,AB=(0,a,0)，A^C=(-a,a,-a)>所以南•飞=CJ2,选项8错误.

对于C,而=(0,—a,0),福=(0,a,a),所以而•何=-a?,选项C正确.

对于D,AIO=(―1a,|a,—1a),所以4B,4。=ga?,选项Z)正确.

故选：ACD.

12.答案：ACD

解析：解：根据向量加法的三角形法则，可知选项A正确，

当日1至时，a-K=0，故选项B错误，

"\a-b\=\a\\b\-cosd<同年|故选项C正确,

当日,3同向时，a-b=\a\\b\cos0=\a\b\，

当乙方反向时,ab=|a||d|cosl80°=-|a|F|'故选项。正确.

故选：ACD.

运用向量数量积的定义和运算法则，依次判断，即可求解.

本题考查向量加法的性质，以及对向量数量积的运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

13.答案：1

解析：

本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.

直接利用对数的运算性质即可求解.

1

解：log315--log325=log315-log35=log33=1.

故答案为1.

14.答案：4

解析：解：a?-b?=mbcsinA,m>0,

由正弦定理可得：

sin2X—sin2F=msinAsinBsinC,

1-C0S2Al-cos2B

=msinAsinBsin(A+B),

22

sin(>l+8)sin(/—=msinAsinBsin(A+B),

由sin(/+B)>0,可得：

sinAcosB—cosAsinB=msinAsinB,

BP771=----------------------,

tanBtanA

tanA

即有tcmB=

l+mtanAf

贝UtcmA—25tanB=tanA--------------,

1+mtanA

令1+mtanA—t(t>0),

即txmA=—,

m

可得tcniZ-25td7iB-------25,—

mmt

t2616

mmm

由题意可得一4二一?

解得m=4,

故答案为：4.

由正弦定理和二倍角的余弦公式、和差公式和弦化切、结合基本不等式，可得最小值,解方程可得小.

本题考查正弦定理、三角函数的恒等变换和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的变形和运

算能力，属于中档题.

15.答案：叱或叵

23

解析：解：若双曲线焦点在X轴上，贝物=理,

a2

...e=£=国=泛=〃+(与2=

aya2AJa27va72

若双曲线焦点在y轴上，则"争即”专，

.e叵_忖+块_Ib2_叵

故答案为：虫或耳.

23

由已知分焦点在X轴或y轴分类求解得答案.

本题考查双曲线的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题.

16.答案：3

解析：

本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是中档题.

由题设可求得出i，6小结合已知的<br<a2<b2<a3,以及a,b为正整数可求得a2,由+1=

“可求得b=叩J…,由6>a=2且6为正整数可求出结果.

n

解：由题设知，an=a+(n-1)6,bn=b•c1一1,

由的<br<a2<b2<的可得,

a<b<a+b<ab<a-\-2b,

又a,b均为正整数，

・•・b<ab,可得a>1,

・•・ab<a+2b<3bf可得a<3,

・・・a为正整数，・・.a=2,

am+1=4i，

a+(m—l)b+1=b-an-1,

a=2,

••・3+(m—l)b=b-2n-1,

•b=_________

“2…-(m-1)'

-：b>a=2且b为正整数，

271T—(m—1)=1,...b=3.

故答案为：3.

17.答案：解：(1)3(cos5cosC+sinSsinC)-l=6cosScosC,

得J?mS-3sin后sinC=-1.

即3cos出+。=-1,

仍+C)=；.

从而cosX=-cos

(2)由于。v/vf,所以sinA=士叵.

3

X=^-bcsinA=2-J2,解得be=6.①

由余弦定理a〉=7?+J-ZArms4,得〃2+62=13.②

由①②两式联立可得:

b—2,c=3或£>=3,c—2.

解析：本题考查两角和与差的三角函数公式及面积公式.

(1)先将cos(B-C)展开，再利用二角和的余弦公式得结果；

(2)面积公式结合余弦定理可求解.

18.答案：解：(1)从4B,C,D,E五名员工中随机抽取2人的所有情况为A8,AC,AD,AE,BC,

BD,BE,CD,CE,DE,共10种，

其中A,8至少有一人被抽到的情况有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,共7种，

故A,B至少有一人被抽到的概率为P=泉

(2)根据散点图判断，y=c-dx适宜作为网点销售收入y关于月份x的回归方程，

对y=c-dx两边取对数，可得，gy=Ige+xlgd,

,.,%=](1+2+3+4+5+6+7)—4-)u=gy1=—x11.18=1.6,

£7=i呼=l2+22+32+42+52+62=140,

T，iXiUi-7x-u_50.93-7X4X1.66.13

Igd==1=——«0n.22,

£品总-7%2140-7X4228

Ige=u—\gdx=1.6—0.22X4=0.72,

c=io0-72=5.25,

贝“Igy=0.72+0.22『

22x

故y关于X的回归方程为y=100.72+0.22x_525X100--

22x8

(3)当x=8时，丫=525x100-=5.25x57.54=302.085(万元)，

故预测8月份的销售收入为302.085万元.

解析：(1)根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解.

(2)根据已知条件，结合最小二乘法和回归方程的公式，即可求解.

(3)将％=8代入(2)的回归方程，即可求解.

本题主要考查了线性回归方程的求解，以及列举法和古典概型的概率公式，属于中档题.

19.答案：(1)证明：如图，连接EO,

•••E是4A1的中点，。是4c的中点，

£。是△44C的中位线，

EO//AC.

又2。u平面8DE,ACC平面BDE,

•••41c〃平面BDE；

(2)证明：由(1)知，EO//AC.

•••在在正方体4BCD中，E是的中点.

EB=ED.

又点。是BD的中点,

EOLBD,

■■ArC1BD.

解析：(1)连接EO,欲证明&C〃平面8DE,只需推知4C〃E。即可；

(2)只需推知E。1BD即可.

靠查了直线与平面平行的判定，直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只

需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得

到线面平行.

20.答案：解：（I）由题意点8s九）在函数/（%）=/+2%的图象上,

知S口=n2+2n.

当几>2时，an=Sn-Sn_1=2n+1；

当几=1时，的=Si=3,适合上式.

所以：an=2n+1.

、,221_____1

(口)丁力九=-----=

'a-n^n+l(2n+l)(2n+3)2n+l2九+3'

_11+11_|_11

贝31+%+…+6九

35572?1+12?1+3

_11

32n+3

2n

6九+9

解析：（/）利用已知条件结合n22时，an=Sn-Sn_1,求解数列的通项公式即可.

（口）化简勾=一9二，利用裂项相消法求解数列的和即可.

anan+l

本题考查数列与函数的综合，数列的通项公式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力.

21.答案：解：(1)由题意可得a=2,

则40PQ的周长=IPaI+IQ&I+|PQ|=|Pa|+IQ&I+\PF2\+\QF2\=4a=4X2=8,

(2)设P(%o，y()),0<%o<2,

.•・毯+%=1,

43

•••X(0,V3),F2(l,0),

二直线4F的方程为y=-V3x+V3,

设M的坐标为(XM，VM)，

•••yM=-V3XM+V3,

,2,

•・•FrM=-FrP,

2

Q

--%+y

3o

12

-,yM--

330f

2§

+

-X)-

3,

即yo=-V3（%0-2）,代入到牛+得=1，整理化简可得5/-16%0+12=0,

解得&=2（舍去）或久o=

故点P的横坐标为:

(3)设P(a，yi),Q(x2,y2),设直线［的方程为％=my+1,

(X=my+1

联立上2y2_］,得(3m2+4)y2+6my—9=0.

(43—

6m9

.,