2020-2021学年上海市徐汇区位育高一（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年上海市徐汇区位育高一(上)期末数学试卷

一、填空题(共12小题).

1.设全集U={-1,0,1,2,3},若集合A={-1,0,2),则％=.

2.不等式2三>0的解集为_________.

x+3

3.函数/(x)=Y运的定义域是_______________.

X-1

4.设。>0且〃WLb>0,若logj?・log5〃=3,贝!|Z?=.

5.函数y=/-1,xe(-°°,0)的反函数为y=.

6.不等式logK+2'V2的解集为.

7.函数的值域是_________________.

2X-1

2X,x40

8.若函数/&)={的值域为(-8,1],则实数机的取值范围是___________.

-x2+in»x>0

9.函数y=/(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数丫=F的图像关于y轴对

称，则/(x)=•

10.设函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=2x+2x+b6为常数)，则

/(-1)的值为.

11.已知定义在R上的偶函数y=/(x)在[0,+8)是严格增函数，如果/(如+1)可(2)

对于任意xe[l,2]恒成立，则实数。的取值范围是.

12.设/(x)=x-\,g(x)=--,若存在X"X2,•">4],使得f(X|)+f(X2)

+•••+/-(xn-|)+g(xn)=g(Xl)+g(X2)+…+g(Xn-|)+f(X»)成立，则正整数n的最

大值为•

二、选择题

13.若函数(x)的反函数为y=f।(x),则方程(x)=0()

A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解

C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解

14.设a,6是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是()

A.a2Vb2B.atr<ic^b

15.若函数y=f(x)在区间[小加上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是

()

A.若>0,不存在实数ce(a,b)使得f(c)=0

B.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数ce(“，b)使得/(c)=0

C.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数馆(a,h)使得/(c)=0

D.若"a)f(b)<0,有可能不存在实数ce(a,b)使得/(c)=0

16.已知函数)，=f(x)的定义域为R,有下面三个命题，

命题P：存在aCR且aWO,对任意的xeR,均有/(x+a)<f(x)+f(a)恒成立,

命题切：y=/(x)在R上是严格减函数，且/CO>0恒成立；

命题伙：y=f(x)在R上是严格增函数，且存在xo<O使得/(x)=0.

则下列说法正确的是()

A.4卜都是p的充分条件

B.只有切是p的充分条件

C.只有⑴是p的充分条件

D.⑺、伙都不是p的充分条件

三、解答题

17.设胆为实数，/(x)=(，/-机-1)x'2'",已知暴函数y—f(x)在区间(0,+8)上

是严格增函数，试求满足/(x)>/的x的取值范围.

x

18.设/•(x)=2'+“・2),其中a€R.

(1)若函数)，=/(x)的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；

(2)若函数y=/(x)在(-8,2］上是严格减函数，求a的取值范围.

19.设/(x)=/g(2a-x),其中a为实数.

(1)设集合A={xB=/a)},集合8={九=-2,，xWO},若照A,求实数a的取值

范围；

(2)若集合C={x|/g(x-1)+lg(3-x)=/(x)}中的元素有且仅有2个，求实数a

的取值范围.

20.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的

危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、

乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种

黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入。与投入。(单

位：万元)满足P=80+4缶，Q=//+120,设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每

年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元).

(1)求/(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益/(x)最大？

21.对于函数y=/(x),若定义域中存在实数a、b满足Qa>0且fQ)=f(b)=2f^^产。，

则称函数y=/(x)为“P函数”.

(1)判断y[=(x-l)2,xER是否为“P函数”，并说明理由；

(2)设吒N且">0,若函数丫2=|!』|,x€(0,n)为“尸函数”，且〃的最小值为

5,求实数k的取值范围.

参考答案

一、填空题:

1.设全集U={-1,0,1,2,3),若集合A={-1,0,2],则：={1,3}

解：•••全集U={-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,2),

•,4={1，3}.

故答案为：{1，3}.

2.不等式答>0的解集为(-3,2).

x+3-----------

解：不等式空>0可化为

x+3

，2-x>0f2-x<0

<、，或<’,

x+3>0x+3<0

解得-3VxV2,或0；

，不等式的解集为(-3,2).

故答案为：(-3,2).

函数/(x)=立亘的定义域是{小》-2且)学1}.

3.

X-1

xT#0

解：由题意，要使函数有意义，则

x+2>0,

解得，xWl且xN-2；

故函数的定义域为：{一小2-2且XW1},

故答案为：且xWl}.

4.设〃>0且。Hl,/?>0,若log滴・log5a=3,则>=125.

解：jogJHog5a=3,

...lgb」ga_3,...lgb.3,

,Igalg5lg5

：.lgb=3lg5=/g125,.*./?=125,

故答案为：125.

5.函数y=/-1,xw(-8,o)的反函数为y=_->工+1，xE(-1,+8)

解：由y=^-1,(-8,o),

可得y>-l，且可得％=-Ny+1，

x,y互换，可得其反函数为丫=-Jx+LxG(-1，+8).

故答案为：y=-Vx+l>(-1,+°°).

t

6.不等式log2x+2<2的解集为(0,式.

解：由题意，设/(X)=log2%+2*-2,xe(0,+8).

则f⑴在定义域(0,+8)上是单调增函数，且f(1)=log2l+2-2=0,

所以f(x)在定义域(0,+8)有唯一的零点是1,

所以/(x)<0的解集为(0,1),

即不等式1082*+2'<2的解集为(0,1).

故答案为：(0,1).

7.函数y=-—的值域是(-8,-1)U(0,+8).

2X-1

解：由于2((0,+8),

故2'-1C(-1,0)U(0,+8)；

—(-8,-l)U(O,3).

2X-1

故答案为：(-8,-1)U(0,+8).

’2'x40

8.若函数/(x)=1'的值域为(-8,1],则实数，”的取值范围是(0,

-x2tm,x>0

U_.

解：xWO时：f(x)=2xe(0,1].

x>0Bt，/(x)=-x^+m,函数的对称轴x=0,f(x)在(-8,0)递增，(x)=

-x1+m<m,

fnxx40

函数/(X)=,"的值域为O8,1],

-x2tm,x>0

故OVmWl,

故答案为：(0,1].

9.函数y=f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=F的图像关于y轴对

称，则/(x)="山.

解：根据题意，函数y=2'的图象关于)，轴时称的图象对应的解析式为：丫=。一，，

将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y="<句>

即f(x)=e*r,

故答案为："X，

10.设函数，（x）为定义在R上的奇函数，当x20时，/（x）=2x+2x+b。为常数），则

/（-1）的值为-3.

解：•.•函数f（x）为定义在R上的奇函数，

'.f（0）=l+b=0,解得6=-1,

则当xNO时，f（x）=2r+2x-1,

：.f（-1）--/（I）--（2+2-1）=-3,

故答案为：-3.

11.已知定义在R上的偶函数y=f（x）在［0,+8）是严格增函数，如果f（分+1）勺（2）

对于任意2］恒成立，则实数。的取值范围是」屋，工.

解：f（x）是定义在R上的偶函数，且/（x）在［0,+8）上是增函数，

由/（ox+1）守（2）对于任意在［1,2］恒成立，

可得欣+1IW2在A-G［1,2］恒成立，

即-2Wox+lW2在位［1,2］恒成立，

即一gWaW工在xG［l,2］恒成立，

XX

由y=-2•在正［1,2］上单调递增，可得y的最大值为-］•；

x2

y=上在XCU，2］上单调递减，可得），的最小值为《，

x2

则-—,

22

即实数”的取值范围是［一宗-1j.

故答案为：

12.设/（x）=x-\,g（X）=--,若存在Xl,X2,XnG［-1-,4］,使得F（X1）+f（X2）

+•••+/（Xw-I）+g（Xrt）=g（X1）+g（X2）+…+g（%/:-1）+f（Xn）成立，则正整数II的最

大值为6.

解：由题意知，存在X］,如…，4］,

使得f（X|）V（X2）+…+g（x„）=g（xi）+g（X2）+…+g+f（x„）成

立，

即f（乃）-g（Xl）+/,（%2）-g（X2）+•,•+/*（x«-l）-g（Xn-1）=f（X〃）-g（Xw）成立.

而/(x«)-g(x,j)=XnT1=3,

当且仅当X“=2e[、，4]时等号成立，

又J(即)-g(Xl)+f(X2)-g(%2)+•••+/(XW-1)-g(Xn-1)=/(%n)-g(X〃)，

:・fQx〃)-g(xM)23(n-1),而x〃曰4],即/(尤〃)-g(x“)G[3,

仅需3(n-1)W号成立即可，有”＜不，故正整数〃的最大值为6.

故答案为：6.

二、选择题

13.若函数y=/(x)的反函数为y=f।(x),则方程f।(x)=0()

A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解

C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解

解：因为函数y=/(x)有反函数为y=f।(x),

所以y=f(x)是一个单射函数，设其定义域为/,

故若0日，设/(0)=46R,由函数定义知a有唯一值，

故(a)=0只有一实数a,

若0"，/(0)无意义，故不存在x,使得fl(x)=0,

故方程(x)=0无解，

综上：f'(%)=0至多有一个实数解，

故选：C.

14.设a,6是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是()

A.a2V匕2B.ab2<a2b

C.-D.—<—

ababab

解：A选项不正确，因为。=-2,8=1时，不等式就不成立；

3选项不正确，因为。=1,/?=2时，不等式就不成立;

。选项正确，因为-故当〃Vb时一定有一号<-9；

ab'/bab"a'b

。选项不正确，因为。=1,b=2时，不等式就不成立;

故选：C.

15.若函数y=/a)在区间3,切上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是

()

A.若>0,不存在实数ce(a,b)使得/(c)=0

B.若于(a)f(b)>0,有可能存在实数ce(a,h)使得/(c)=0

C.若/(a)/(b)<0,存在且只存在一个实数诧(a,b)使得/(c)=0

D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数企(a,b)使得f(c)=0

解：首先，设函数)，=/(x)在区间［a,回上的图象如下图:

上图满足/(a)/")>0,有可能存在实数ce(“，b)使得/(c)=0,故A错误，B

正确；

其次，设函数(x)在区间口，句上的图象如下图:

上图满足/(a)/")<0,但C都错误，

D、根据零点存在定理，一定存在实数作(a,b)使得/(c)=0,所以O错误，

故选:B.

16.已知函数y=f(x)的定义域为R,有下面三个命题，

命题P：存在aeR且aWO,对任意的xeR,均有了(x+a)</(x)+f(a)恒成立,

命题3：y—f(X)在R上是严格减函数，且/(x)>0恒成立；

命题42：y^f(X)在R上是严格增函数，且存在加<0使得/(X)=0.

则下列说法正确的是()

A.qi、伙都是p的充分条件

B.只有S是〃的充分条件

C.只有我是〃的充分条件

D.qi、仇都不是〃的充分条件

解：命题⑺成立，即y=/(x)在R上是严格减函数，且/CO>0恒成立，

故取。>0时，对任意的在R,x+a>xf则/(无+。)<f(x),f(a)>0即0V/(a),

故/(x+a)<f(x)+f(6f),即命题0可推出命题p,即％是p的充分条件；

命题仇成立，y=f(x)在R上是严格增函数，且存在xoVO使得/(祀)=0,

故取。=xo〈O时，对任意的工ER,x+a<x,则/(x+a)<f(x),f(a)=f(xo)=0,

f(x+a)</(x)(〃)，即命题G可推出命题p,即仅是p的充分条件；

故乡1、碘都是〃的充分条件.

故选：A.

三、解答题

22,n

17.设机为实数，f(x)=(w-m-1)x'9已知募函数y=f(x)在区间(0,+°°)Jt

是严格增函数，试求满足/(x)>/的x的取值范围.

x

解：设m为实数，f(x)=(w2-tn-1)x2m,

・・•基函数y=f(x)在区间(0,+8)上是严格增函数，

r2

,解得m=-1.

(x)—x2-,

11

•••/(x)>xJ>•>•x2>x7>

.,.当xVO时，x>1；当xVO时，成立，

满足"x)>"I"的x的取值范围是(-8,0)U(1,+8).

X

18.设f(x)=2'+。・2),其中aeR.

(1)若函数y=f(X)的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；

(2)若函数),=/(》)在(-8,2］上是严格减函数，求a的取值范围.

解：(1)因为函数y=/(x)的图像关于原点成中心对称图形，

所以/CO为奇函数，

所以/(-X)=-f(X),

即2一*+少2*=-2*-，厂2'即(a+1)(2*+2一*)=0,

因为2，+2一，＞0,

解得〃=-1.

（2）函数y=/（x）在（-8,2］上是严格减函数，

所以对任意的X1＜X2W2,都有了（XI）-f（X2）＞0,

xi-2Xz）（1-F：X2）＞o恒成立，

即/（XI）-f（X2）=

由2乂1-2勺＜°，知1-2勺；一＜0恒成立，即2,2V。恒成立'

由于当XI<X2=2时，(之力,2,2)

所以。216,

即〃的取值范围是［16,+8).

19.设/(x)—lg(2a-%),其中a为实数.

(1)设集合4=(x)),集合8={»仗=-2》，xWO},若8UA,求实数a的取值

范围；

(2)若集合C={x|/g(X-1)+lg(3-x)=/(x)}中的元素有且仅有2个，求实数a

的取值范围.

解：(1)A={x\y=f(x)}={x\y=lg(2«-x)}={x\x<2a］,

B={y|y=-2、xWO}={y|-1WyVO},

又BUA,；.2心0,.•.心0,

••.a的取值范围为［0,+8).

(2)由C={x|/g(x-1)+lg(3-x)=f(x)},

#2a=-x2+5x-3,且l<x<3,

设g(x)=-J?+5X-3,对称轴x="|",

则g(x)在(1,反)上单调递增，在(2，3)上单调递减，

22

且g与=学g⑴=1'g⑶=3,

24

若直线y=2a与函数g(x)=-3+5%-3在(1,3)上恰有两个交点时，

则3<2〃<型，

428

的取值范围为仔，导

20.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的

危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、

乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种

黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入。与投入。(单

位：万元)满足P=80+4亿，。=彳,+120,设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每

年两个大棚的总收益为(单位：万元).

(1)求/(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益/(x)最大?

解：(1)•••甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，

•••f(50)=80+4V^U+X150+120=277、万元•

(2)f(x)=80+4^-^(200-x)+120=-1x+W2^+250，依题意得

卜>20=»20<x<180,

1200-x>20

故f(x)=-[x+乳@+250(20<x<180)-

令心6V51-贝心a)=曰2+4>/^+250=—“8扬2+2的

当近,即x=128时,f(x)〃的=282万元.

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.

21.对于函数y=/(x),若定义域中存在实数人人满足3>〃>0且fQ)=f(b)=2f普之)关

则称函数y=/(x)为“P函数”.

(1)判断yi=(x-l)2,xER是否为“尸函数”，并说明理由；

(2)设〃6N且”>0,若函数y=|2-k|,x€(0,n)为“P函数”，且〃的最小值为

5,求实数k的取值范围.

解：(1)若y「(x-l)2,xER是“P函数”，则满足