2020春人教版九年级数学下册 第28章 全章教学设计

28.2.1解直角三角形

y教学目标

【知识与技能】

理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形

的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学

生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

渗透数形结合思想，在解决问题过程中，感受成功的快乐，树立良好的学习习惯.

【教学重点】

运用直角三角形的边角关系解直角三角形.

【教学难点】

灵活运用锐角三角函数解直角三角形.

¥敦与国睚

一、情境导入，初步认识

问题如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B,塔身中

心线与垂直中心线的夹角为A,过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C,如图（2）,

在RtaABC中，ZC=90,BC=5.2m,AB=54.5m,你能根据上述条件求出图（2）

中/A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流.

（1）（2）

【教学说明】运用锐角三角函数来解决生活中趣味性问题的过程，可激发学生的

学习兴趣，增强运用所学过知识解决问题的信心，教师

适时予以点拨.

二、思考探究，获取新知

在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函

数可求出它的锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，

求出另一个锐角度数，也可以利用勾股定理得到另一条直角边.

一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，

叫做解直角三形

思考(1)直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？

(2)知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？

【教学说明】学生相互交流获得结论，教师再与学生一道进行系统的总结，完善

知识体系.

如图，在RtAABC中，ZC=90°,NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,那么

除直角C外的5个元素之间有如下关系：

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2

(2)两锐角之间的关系：ZA+ZB=90°；

(3)边角之间的关系：

N人的对边N八的邻边

sinA=

斜边斜边

/人的对边—a

——,tanA=

NA的邻边一了

oNB的对边br,NB的邻边

sinB——到L=7'cosB------斛L

NB的对边_b

=—,tanB=

ZB的邻边—a,

通过它们之间的关系，可以发现，知道其中的2个元素(至少有一条是边)，就

可以求出其他所有元素.

三、典例精析，掌握新知

例1如图，在RtAABC中，NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,且

=叵,b=娓,解这个直角三角形.

vT

【分析】由。=血，6=几首先联想到勾股定理可得。=2后,，再利用

$1必=9=*2=匕知/A=30°,从而NB=60°.这是一例除直角外的两个已知

c2V22

元素都是边的情形，在求它的锐角度数时，有时必须借助计算器才行.

例2如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=40°,且b=20,解这个直角

三角形(结果保留一位小数).

【分析】本例是已知一条边和一个锐角，求这个直角三角形的另两边长和另

一个锐角.首先可轻松得到NA=50°,再利用sin8=3,tanB=2可求出a,c

ca

的值，也可由COSA=4C,则cos5()o=型，

ABc

求c的值，再利用勾股定理，或利用锐角的正切函数求出a的值.

注意：由于40°,50°均不是特殊角，它的三角函数值可利用计算器获得.

【教学说明】以上两例在实际教学时，都可先让学生自主探究，独立完成.

教师巡视，对有困难的学生给予指导，让学生在探究中加深对知识的理解.最后

师生共同给出解答，让学生进行自我评析，完善认知.

四、运用新知，深化理解

l.Rt^ABC中，ZC=90°,根据下列条件解直角三角形:

(1)a=30,b=20；(2)ZB=62°,c=16.

2.已知AABC中，AD是BC边上的高，且AD=2,AC=20AB=1.

(1)如图(1),求NBAC度数;

(2)如图(2),试求NBAC的度数.

【教学说明】学生自主探究，也可相互交流，探讨问题的解答.教师巡视，适时

点拨，让学生在练习中巩固本节所学知识.

【答案】1.解：(1)c=/a?=«W=

10工，tanA=m=r=，"・NA―56.3A

。202

.•・NB=90°-NA能33.7°.

(2)/A=180°—90°-62°=28°,a=c•sinA=

16X0.4695^7.51,6=c•sinB=16X0.88304

14.13.

2.略

五、师生互动，课堂小结

1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.

2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必须有一个已知

边，为什么？

【教学说明】师生共同回顾，反思，完善对本节知识的认知

,”课后作业

1.布置作业:从教材P"〜79习题28.2中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

:"教学反思

利用知识回顾，使学生进一步巩固和深化对锐角三角函数和直角三角形知识的理

解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.

28.2.3解直角三角形在实际中的一般应用

产教与目标

【知识与技能】

本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.

【过程与方法】

1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.

2.选择合适的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转

化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力.

【情感态度】

通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜

悦.

【教学重点】

引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问

题转化为解直角三角形的问题来解决.

【教学难点】

使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关

系.

教学国程

一、知识回顾

1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程,

叫做直角三角形

2.直角三角形中诸元素之间的关系：

(1)三边之间的关系：/+62=/(勾股定理)

(2)锐角之间的关系：ZA+ZB=90°；

(3)边角之间的关系：sinA=—,cosA=—,tanA=—.

ccb

二、思考探究，获取新知

我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系解直角三角形，那么请思考：

对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？

如图，河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得NACB=30°,D点测得/

ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为多少米？(结果保留根号)

A

【分析】先根据三角形外角的性质求出NCAD的度数，判断出4ACD的形状，再

由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.

解：•.•/ACB=30°，NADB=60°,

/.^ZCAD=30°,AD=CD=60m,

在RtAABD中，AB=AD・sin/ADB=60X

y=30V3（m）.

故答案为30V3m.

【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等

腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.

三、典例精析，掌握新知

例1如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C,

测得AC=m,ZACB=a那么AB等于（）

A.msinaB.ncosa

C.mtanaD.m/tana

【分析】本题易因记错Na的正切或运算关系掌握不好而选错.

答案C

例2如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5

米，风筝飞到C处时的线长BC为30米，这时测得

ZCBD=60°,求此时风筝离地面的高度.（结果精确到0.1米，V3®1.73）

【分析】在RtABCD中，由BC=30米，ZCBD=60°,利用正弦可求得CD,又

DE=AB,从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.

解由题意，得△BCD为直角三角形，四边形

ABDE是矩形，，DE=AB=1.5米，CD=BC・

sin/CBD=30-sin60°=30X三=15箱（米），

・•.风筝离地面的高度CE=CD+DE=159+

1.5—5X1.73+1.5—7.5（米）.

【教学说明】解答本题的关键是利用解直角三角形来求CD的长，利用矩形的性

质求DE的长.

四、运用新知、深化理解

1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成

30°角时，测得旗杆AB在地面上影长BC长为24米，则旗杆AB的

高约是多少？

2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0,直径A河底线，弦

CD水位线，CD//AB,且CD=24m.0E±CD于点E.已测得水面距最高

1?

处有8nl已测得sinNDOE=—.

（1）求半径OD;

（2）根据需要，睡眠要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排

干？

【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指

导.

【答案】1・解：•••太阳光线与地面成30°角，旗杆AB在地面上的影长BC为24

米，，旗杆AB的高度约是：AB=24tan30o=8®m）.

2..分析：解决此题的关键是求出0E的值.由垂径定理易求出DE的长，RtAOED

中，根据DE的长以及/EOD的正弦值，可求出半径0D的长，再由勾股定理即

可求出0E的值.0E的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.

W：RtAOED中，DE=：CD=12m,sinNDOE

1212

=OD=DE+sinZDOE=12+苔=13m.

1OJLO

由勾股定理得：OE=7OD2-DE2=

，132—i22=5m.

•••将水排干需要的时间为：5+0.5=10（小时）.

五、师生互动、课堂小结

1.解直角三角形的关键是找到与己知和未知相关联的直角三角形，当

图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.（作

某边上的高是常用的辅助线）

2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形

成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种问题

时合理运用.

,”课后作业

1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

「教学反思

本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的

兴趣和能力，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解,

培养学生数形结合的思想.

28.1.3特殊角的三角函数值

教字目标

【知识与技能】

1.理解并掌握30°,45°,60°的三角函数值，能用它们进行有关计算；

2.能依据30°,45°,60°的三角函数值，说出相应锐角的度数.

【过程与方法】

经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的

意义.

【情感态度】

在探索特殊角的三角函数值的过程中，增强学生的推理能力和计算能力.

【教学重点】

熟记30°,45°,60°的三角函数值，并用它们进行计算.

【教学难点】

探索30°,45°,60°的三角函数值的指导过程.

教学亘程

一、情境导入，初步认识

问题在前面我们已经得到sin3o°=1,sin45°=立,你能得

22

到30。，45°角的其它三角函数值吗？不妨试试看.

【教学说明】教师可引导学生从所给结论sinA=sin30°=2出发，

2

设BC=1,则AB=2,由勾股定理可得AC=百，可得到30°的其它三角函

数值，同样在图（2）中，仍可设BC=1,则AC=1,AB=0,也能得出45°

的其它三角函数值.这里设BC=1是为了方便计算.

二、思考探究，获取新知

通过对上述问题的思考，可以得到：sin30°=cos30°=―,tan30°

22

.6

sin45°=,cos45°=,tan450=1.

22

【想一想】60°角的三角函数值各是多少？你是如何得到的？在学生的相互

交流中可得出结论：sin60°=B,cos60°=-,tan60°=G.教师再将上

22

述所有结论整理，制成下表.

30°45°60°

1

sma

722

1

cosa

22¥

J3

tana1J3

3

三、典例精析，掌握新知

例1求下列各式的值.

cc)q4-5°

(1)COS60°+sin60°；(2)—tan45°.

22sin45°

解(1)原式=(-)2+(―)2=i+-=1；

2244

也

(2)原式=[-1=0.

V2

2

例2(1)如图(1),在RtAABC中，ZC=90°,AB=而，BC=瓜

求NA的度数；

(2)如图(2),已知圆锥的高A0等于圆锥的底面半径0B的百倍，求a.

解(1)VsinA=匹=里=交，...NA=45°；

AB762

/..._OA_\/3OB_/-._cn。

(29>).tana==-----=43,..a=60.

OBOB

【教学说明】以上两例均可先由学生自主完成，然后教师在展示解答过程,

加深学生对本节知识的理解，并指明两例题的侧重点不一样，例1侧重于运用

特殊角的三角函数值来参与计算，而例2则是通过计算一个角的某一三角函数

值后，利用锐角的三角函数值与锐角之间的一一对应关系，从而确定锐角的度

数.这样处理，可让学生熟记特殊角的三角函数值.

1八

1.在AABC中，ZA,NB都是锐角，且tanA=cosB=—,则AABC

22

的形状是()

A.直角三角形B.C.锐角三角形D.

2.计算：(1)3tan30°-tan45°+—sin60°=.

2

(2)-si-n-6-Q-°-+工----1--s.in“4u5。=.

1-CO5600S〃30°

3.在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=近，AC=6I,试求NA、NB的度数.

4.边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，且N

0BC=30°,试求A、D两点坐标.

【教学说明】四道题均可让学生自主探究，也可小组内讨论，达到解决

问题的目的.教师巡视，发现问题给予指导，对优秀者和积极参与者给予鼓励，

增强学生的学习信心.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时

的“名师导学”部分.

h1

1.B【解析】VcosB=ZB=30°,XVtanA=—

22

6

=tan30°,AZA<30°,ZA+ZB<60°,：.ZC=180°-(ZA+Z

B)

>120°.

即4ABC是钝角三角形，故选B.

2.(1)--1(2)2^/3--

42

【解析】(1)原式=3速一1工昱=V3-1+—=--1

32244

昱

(2)原式=鼻+二—电=G+g-也=2百-也

]_1在222

2T

3.由题意易得：tanA==—^==-4==--,tanB=，/.NA

AC旧63BC

=30°,

ZB=60°.

4.解：；OB=BC-cosB=2x—=73,0C=BC•sinB=2xi=1,

32

AB点的坐标是(-G,0).

过D点作DE垂直于y轴，交y轴于E点，易证AECD,

/.ZDCE=ZCBO=30°.

ACE=cosZDCE•CD=—x2=>/3,

2

AOE=0C+CE=1+V3.DE=-CD=\,

2

AD点的坐标是(-1/+百).

五、师生互动，课堂小结

1.如何理解并熟记特殊角的三角函数值？同学间相互交流.

2.运用特殊角的三角函数值可解决哪两类问题？

【教学说明】师生共同回顾，对于问题1,可引导学生利用图形进行

推理计算，也可通过表格中横排的数的变化规律来记忆.

.‘课后作业

1.布置作业：从教材P.T。习题28.1中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

教学反思

本课时教学以“自主探究”为主体形式，所以应先给学生自主动手的时间,

给学生提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会,

培养学生独立探究和合作学习的能力.

28.1.4一般角的三角函数值

户教与目标

【知识与技能】

掌握用计算器求锐角的三角函数值以及已知一锐角的某一三角函数值，利用

计算器求出这个锐角的度数的方法.

【过程与方法】

在运用计算器求锐角的三角函数值的过程中，锻炼动手操作能力.

【情感态度】

运用计算器来解决问题的过程中，可激发学生的学习兴趣.

【教学重点】

运用计算器求锐角三角函数的值或锐角.

【教学难点】

用计算器进行有关直角三角形的计算.

教学国在

一、情境导入，初步认识

问题当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求出这些角

的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角时，怎样得到它的三角函数

值呢？

二、思考探究，获取新知

利用计算器可求出非特殊角的三角函数值.

1.用计算器求下列函数值：

(1)sinl8°；(2)sin27°36'53"；(3)cos27°16'；(4)cos43°57'19〃；

(5)tan63°24'36".

2.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(1)sinA=0.8347

(2)cosA=0.6252(3)tanA=4.834

【教学说明】不同的计算器的按键方式可能不同，教学时，给学生充分

交流的时间和空间，引导学生利用自己所使用的计算器探索具体操作步骤.教师

巡视，注意观察学生操作是否规范，可给予适当帮助，达到解决问题的目的，引

入教材P68练习加深理解.

三、运用新知，深化理解

1.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能得出什么猜想？

(1)sin83°,cos7°；(2)sin56°,cos34°；(3)sin27°36',cos62024z.

2.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能得出什么猜想？

(l)sinl3°,sin25°,sin36°,sin44°,sin57°,sin68°,sin79°17',

sin83°27r53ff；

(2)cosl7°34',cos34°27'53",cos53°18',cos69°57'3",cos77。17',

cos88°17'25"；

(3)tan27°34',tan43°57'28",tan52018,15\tan67°,tan78。17',

tan85°24'.

【教学说明】学生自主探索，获得结论，在学生各自获得结论后，让他

们相互交流，相互检查，发现问题，及时自纠.教师巡视，可适时予以指导.在完

成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时练习的“课堂演练”部分.

【答案】1.猜想：sina=cos（90°-a）

2.（1）猜想：对于锐角A,它的正弦函数（sinA）的函数值随自变量锐角A

的增大而增大，且sinA必满足0<sinA<1.

（2）猜想：对于锐角A,它的余弦函数（cosA）的函数值随锐角A的增大而

减小，且cosA必满足0（cosA<1.

（3）猜想：对于锐角A,它的正切函数（tanA）的函数随锐角A的增大增大，

且tanA满足0〈tanA

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同总结用计算器计算锐角三角函数值及由锐角三角函数值求锐角

的按键方法.

2.通过本节课的学习，你有哪些新的发现，不妨说说看.

【教学说明】师生共同回顾，以交谈方式对本节课进行回顾，共同提

高认识.

,”课后作业

1.布置作业：从教材P68~70o习题28.1中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

教学反思

本课时教学应突出学生的主体性原则，指引学生自己动手操作，互相交流，

或上台演示自己的操作过程，分享学习收获，从而激发学生的参与热情和学习积

极性.

28.2.5用解直角三角形解方位角、坡角的应用

了教字目标

【知识与技能】

进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯

角、坡度（坡比）的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.

【过程与方法】

通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，

增强分析问题和解决问题的能力.

【情感态度】

渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.

【教学重点】

用三角函数有关知识解决方位角问题.

【教学难点】

学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型.

y教与也曜

一、复习回顾，新知导引

1.仰角、俯角概念；

2.方位角的意义.

【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备.

二、典例精析，掌握新知

例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的

A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B

处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？

分析与解易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中

PC_LAB,若记垂足为C,则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.

而在RtZVlPC中，知AP=80,ZAPC=90°-65°=25°,故可求出线段PC的长，

pr

即由COS/APC=N得PC=AP•cos25°=80•cos25°心72.505,因此在RtA

AP

BPC中，由cosZCPB=—,得PB=PC=72-505x130,从而可得知海轮在B

PBcos56°cos56°

处时距离灯塔P约130海里.

【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直

角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这

正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考.

例2如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD（图中i=l:3是指坡面的铅直高度

DE与水平宽度CE的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求：

（1）坡角a和！3；

（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）.

分析与解由=】：3可知能=?,,•=上

2AF_1„_DE_AF||工七

知mm-I-,又tan§—方正，tana一6不，从而有

br1.5CEnF

191

tana=~~三——，tan/?=可，利用计算器可求得a

1.5o3

心33.7°,4=18.4°；由i=l：l.5及AF=6m,知

BF=9m,从而AB^IO.8m.

【教学说明】本例可由学生独立完成，教师巡视指导，让学生在自主探究中体会

用解直角三角形的知识来解决史记问题的方法，在完成上述例题后，教师引导学

生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

三、师生互动，课堂小结

问题通过学习用解直角三角形知识解决实际问题过程中，你有哪些收获？

【教学说明】师生共同探索，完善知识体系.

,”课后作业

1.布置作业：从教材P"〜79习题28.2中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

:"教学反思

本课时应首先认知“方位角、仰角、俯角、坡度”及其所代表的实际意义，然

后结合解直角三角形的有关知识加以论证，层层展开，步步深入.

用解直角三角形解视角问题

一、教学目标

1、使学生了解什么是仰角和俯角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题.

二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决观测问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

三、教学过程

（-）复习引入

平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?

水平就

（三种，重叠、向上和向下）

结合示意图给出仰角和俯角的概念

（二）教学互动

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o,看这栋离楼

底部的俯角为60o,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精

确到0.1m）?

BBAB

BBs

aQBBQ

IGH

A一B

SEm

fJ

fBs

ls

e型

fEB

fBH

lE

BmH

an里

afB

l

分析：在义山超少中，«=30°,40=120.所以可以利用解直角三角形的知识求

出BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.

解:如图，a=30°,产=60°,工0=120

BD°CD

*.*tanOL=-----,tanD-------

ADAD

BD=ADQana=120xtan30°=120x2^=40^

CD=ADQanB=120xtan60°=120x的=120出

5C=5D+CD=40>/3+120^=160V3«227.1

答:这栋楼高约为277.lm.

A

图6-22

（三）巩固再现

1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角/

ACD=52°,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）.

2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°,

从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高（精确到0.1米）.

3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从。

处向海岛驶来，当时的俯角&=5.71。，经过5分钟后，舰艇到达〃处，测得俯角

尸=7.59。。已知观察所力距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必

须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。

解：在直角三角形48c和直角三角形/被中，我们可以分别求出:

BC=80cotor=80-cot5.71°«80x10=800（米）

BD=80-cot户=80•cot7.59°阳80x7,5=600（米）

CD=BC-BD=200（米）

CD200心

v=-----=-----=40

舰艇的速度为45（米/分）。设我军火力射程为3区班=100米,

空=型=12.5

现在需算出舰艇从〃到后的时间v40（分钟）

我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。

4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？

四、布置作业

P1017、8

28.1.2余弦、正切函数

L教与目标

【知识与技能】

1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；

2.能运用余弦、正切的定义解决问题.

【过程与方法】

逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力.

【情感态度】

在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快

乐.

【教学重点】

掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.

【教学难点】

灵活运用三角函数的有关定义进行计算.

敦孚12睚

一、情境导入，初步认识

问题我们知道，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管

三角形的大小如何，NA的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：ZA

的邻边与斜边的比、NA的对边与邻边的比是否分别

也是一个固定值呢？为什么？

【教学说明】这种设置问题的方式既是对上节课重

要知识的回顾，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方

法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相

互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获

取正确认知.

二、思考探究，获取新知

问题如图，在Rt△ABC和Rt△A6'C,

中，NC=NC'=90°NA=NA'.

4p/八ACA'C'“、BCB'C

求证：(1)——=----；(2)——=----

ABA'B'ACA'C

【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过

程中，提出问题NA确定后，NA的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与

邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳.

余弦：在Rt^ABC中，ZC=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比

叫做/A的余弦’记作COSA,即cosA二受普干

正切：在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比

NA的对边_a

叫做NA的正切，记作tanA,tanA=

NA的邻边—7

锐角A的正弦、余弦、正切叫做NA的锐角三角函数.

三、典例精析，掌握新知

7

例1在RtAABC中，ZC=900,BC=6,sinA=-，求

cosA,tanB的值.

3BC3

分析与解由正弦函数定义及sinA=二知，sinA=又

5Afi5

BC=6,故AB=10,所以AC=\lAB2-BC2=8,从而cosA=,=

AB10

4AC84

—,tanBn

5BC63

【教学说明】本题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关注学生

解题时是否能紧扣定义，即sinA=生，cosA=生，tanB=9的运用是

ABABBC

否得当，有没有出现混淆情形.

例2在AABC中，AB=AC=20,BC=30,试求tanB,sinC的值.

【分析】由于NB和NC都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求

出tanB,sinC的值，这样迫使我们要将NB,NC放到直角三角形中去，这时,

过A作AD_LBC于D可达到这一目的，问题可逐步解决.

解过A作AD_LBC于D.AB=AC,BD=CD=，BC

2

=-x30=15.XAB=AC=20,.*.AD=55，因止匕tanB=—

2AC

红=旦,sinC=处=①且

153AC204

四、运用新知，深化理解

1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

Z?

(1)

2.如图，在Rt^ABC中,ZC=90°，AC=8,tanA=,求cosB,sinA,tanB

的值.

3.在RMABC中，ZC=90°,cosB=

(1)求cosA和tanA的值；

(2)若AB=5,求BC和AC的长.

4.在R3BC中,ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c.

(1)sinA与cosB的关系如何？为什么？

(2)sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由(sin2A=(sinA)2).

(3)找出tanA与tanB的关系；

(4)由(1),(2),(3),你能发现什么有趣的结论？

【教学说明】让学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强

运用解决问题的能力.其中第2题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让

学生的分析能力和解决问题能力得到进一步发展.在完成上述题目后，教师

引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

51?175

【答案】1.(1)sinA=—，sinB=—,cosA=一,cosB=一,tanA

13131313

=5

12

_12

tanBn——.

5

3_3>/13225/13cosA=A"cosB

⑵sinA=sinB=

V131313V1313

3_3V13

71313

32

tanA=—,tanB=—.

23

opq

2.解：tanA=—=-,AC=8./.BC=6,在4ABC中，AB=

AC4

VAC2+BC2

=10.cosB=—=—，tanB=—.

10563

RC11

3.解：（1）由于cosB=-=—,设BC=x,则AB=3x.

AB3

.'.AC=^AEr-BC'=7（3X）2-X2=2V2X.

cosA="迪,tanA=里V2

AB3AC4

（2）若AB=5,即3x=5,/.x=-,/.BC

3

4.解：(1)sinA=cosB(2)sin'A+cos'A=1(3)tanA,tanB=1(4)

略

五、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流.

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清例题

思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

,'课后作业

1.布置作业:从教材P68~7。习题28.1中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

教学反思

本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余

弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联系生活实际的问题，

让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用自己的语言归

纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好

的反思习惯，掌握高效的学习方法.

28.1.1正弦函数

"教字目标

【知识与技能】

1.让学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值

是一个定值的事实；

2.掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算.

【过程与方法】

通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间

关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个

锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的

演绎推理能力.

【情感态度】

在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新

意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力.

【教学重点】

了解正弦函数定义，理解当锐角一定时，它所对的直角边与斜

边的比固定不变这一事实.

【教学难点】

加深“直角三角形中，当它的某一锐角固定时，这角的对边与斜

边的比是个定值”的理解.

“型教学过程

一、情境导入，初步认识

问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房

沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿

地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为

使水管出水口到水平面的高度为35m,那么需准备多长的管？

【教学说明】对所提示的问题，教师应引导学生如何将这

一实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论.

教师应重点关注学生获取结论的过程，即是否运用

30。的对边1

“斜边=5”这一结论。

二、思考探究，获取新知

探究1如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为

50m,那么需准备多长的水管？

思考1通过对前面问题和探究的思考，你有什么发

现？

【教学说明】在学生自主探究，获得结论后，让他们相互

交流各自体会，为掌