专题4.8 三角形章末十大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）

第=1+1页共sectionpages45页专题4.8三角形章末十大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1确定第三边的取值范围】 1【题型2三角形的三边关系的应用】 3【题型3利用三角形的中线求长度】 5【题型4三角形的高与面积有关的计算】 9【题型5利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】 14【题型6利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】 19【题型7利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】 24【题型8全等三角形在网格中的运用】 29【题型9全等三角形在新定义中的运用】 32【题型10全等三角形的实际应用】 41【题型1确定第三边的取值范围】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（

）A．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】A【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，可得{x+(3x−3)>x+2∴53故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．【变式1-1】（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足b−2+(c−3)2=0，且a为方程a−5=1【答案】9【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b=2、c=3的值，再解绝对值方程可得a=6或a=4，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长．【详解】解：∵b−2+∴b−2=0且c−3=0，∴b=2、c=3，∵a为方程a−5=1∴a=6或a=4，又2+3<6，∴a=4，则△ABC的周长为2+3+4=9，故答案为：9．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．【变式1-2】（2023春·河南郑州·七年级郑州中学校联考期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可．【详解】解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，4+5>8，故能围成三角形；若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，4+5=9，故不能围成三角形；若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，5+8>9，故能围成三角形；若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，4+8>9，故能围成三角形．综上所述，可以围成3种不同形状的三角形．故选：D．【点睛】此题主要考查了构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．【变式1-3】（2023春·河南周口·七年级统考期末）三角形的三边长分别为2，2x−1，5，则x的取值范围是．【答案】2<x<4【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，进而求出x的取值范围．【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和5，∴第三边2x−1的取值范围是：5−2<2x−1<5+2，解得：2<x<4．故答案为：2<x<4．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系和解不等式组，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．【题型2三角形的三边关系的应用】【例2】（2023春·广东深圳·七年级深圳中学校考期末）如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条线段的长来判断三角形的最长边时的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【详解】解：相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5；①选4+5作为三角形的一边、另外的线段构成三角形另外两边，而1+2+3=②选3+4作为三角形的一边，另外的线段构成三角形另外两边为2和6或3和5，而1+2+5=8>3+4，6−2<7，此时最大边长为7；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【变式2-1】（2023春·山东济南·七年级统考期末）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是5km和3km，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【答案】A【分析】根据小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家与学校不共线，两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意知，当小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家的直线距离为5−3=2（km）或5+3=8（km）；当小明家和小亮家与学校不共线，由三角形三边关系可知，小明家和小亮家的直线距离大于2km，小于8km，综上，小明家和小亮家的直线距离不可能是1km，故选：A．【点睛】本题考查了有理数加减运算的应用，三角形三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式2-2】（2023秋·新疆和田·七年级统考期末）已经有两根木条，长分别是2cm和6cm，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】设第三根木条的长度为xcm，根据三角形三边之间的关系列不等式组求出x【详解】设第三根木条的长度为xcm6−2<x<6+2，解得4<x<8.故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键.【变式2-3】（2023春·北京西城·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．【详解】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=1∴AE∴AE=3，∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．∴3≤AD<5，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选C．【题型3利用三角形的中线求长度】【例3】（2023春·云南·七年级云南师大附中校考期末）已知，已知ΔABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=3（1）如图，当AC=10cm时，求BD的长．（2）若AC=12cm，能否求出DC的长？为什么？【答案】（1）4cm；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可；（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．【详解】（1）∵AB=32AC∴AB=15cm，又∵ΔABC的周长是33cm，∴BC=8cm，∵AD是BC边上的中线，∴BD=1（2）不能，理由如下：∵AB=32AC∴AB=18cm，又∵ΔABC的周长是33cm，∴BC=3cm，∵AC+BC=15<AB=18，∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．【点睛】此题考查三角形的中线、高、角平分线，关键是根据三角形中线的性质解答．【变式3-1】（2023秋·全国·七年级期中）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据三角形的中线的定义得到BD=DC，根据三角形的周长公式得到AC-AB=3，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．【详解】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，则AC−AB＝3AC+AB＝13解得，AC＝8AB＝5故选B．【点睛】此题考查三角形的中线的概念，解题关键在于掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式3-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）如图，△ABC的周长为24cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的长．【答案】AF＝4.5(cm)．【分析】此题主要考查三角形的中线，利用三角形的周长求出AB的长度，然后利用中线便可解出答案.【详解】∵AD，BE是△ABC的中线，∴BC＝2BD，AC＝2AE，CF是△ABC的中线，∴AF＝AB.∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，∴BC＝8cm，AC＝7cm.∵△ABC的周长是24cm，∴AB＝24－(BC＋AC)＝24－(8＋7)＝9(cm)，∴AF＝×9＝4.5(cm)．【点睛】此题主要考查三角形的中线特点，需熟练运用三角形的各种定理来解题.【变式3-3】（2023秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面积；(2)AD的长度；(3)△ACE与△ABE的周长的差．【答案】(1)27cm(2)365(3)3cm【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出SΔABC=54cm2，然后利用AE（2）利用面积法得到12AD⋅BC=1（3）由△ACE的周长－△ABE的周长=AC−AB，即可求得答案．【详解】（1）解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴S∵AE是BC上的中线，∴BE=EC，∴S∴S（2）解：∵∠BAC=90°，AD是∴1∴AD=AB⋅ACBC=（3）解：∵AE是BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长－△ABE的周长=AC+AE+CE−(AB+BE+AE)=AC−AB=12−9=3(cm即△ACE和△ABE的周长差是3cm【点睛】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．【题型4三角形的高与面积有关的计算】【例4】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期末）在△ABC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面积为12，则线段BD的长度为．【答案】3或5【分析】根据题意分AD在△ABC内部和AD在△ABC外部两种情况进行讨论，根据三角形的面积公式求得BC长度，再根据边之间的和差关系求解即可．【详解】当AD在△ABC内部时，如下图

根据题意可知：S△ABC=12S解得：BC=4∵CD=1∴BD=BC−CD=4−1=3当AD在△ABC外部时，如下图

根据题意可知S△ABC=12S解得：BC=4∴BD=BC+CD=4+1=5故答案为：3或5．【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据题意作出相关的图形（AD在△ABC内部和外部)，数形结合进行求解．【变式4-1】（2023春·江苏常州·七年级统考期中）如图，已知△ABC．(1)画出△ABC的三条高AD、(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=3，CF=2，则AD=______．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据三角形的高线的画法画出AD、（2）根据面积相等可得出12AB⋅CF=1【详解】（1）如图，AD、（2）∵CF是AB边上的高，AD是BC边上的高，∴S△ABC∵AB=6，BC=3，CF=2，∴12解得，AD=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了三角形高的画法以及与高有关的面积计算，正确识图是解答本题的关键．【变式4-2】（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如图，在△ABC中，按下列要求画图并填空：

(1)画△ABC边AB上的高CD；(2)E在CD上，连接BE，使得S△ABC=S(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么点C到直线AB的距离为_______，△ADC的面积为_______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4，3【分析】（1）根据画高的方法作图即可；（2）根据平行线的性质只需要令AE∥BC即可得到S△ABC（3）根据点到直线的距离的定义即可求出点C到直线AB的距离；先求出S△BDE=32，根据平行线的性质得到【详解】（1）解：如图所示，CD即为所求；

（2）解：如图所示，点E即为所求；

（3）解：∵CD⊥AB，CD=4，∴点C到直线AB的距离为4；∵BD=3，DE=1，∴S△BDE∵AE∥BC，∴S△ABC∴S△ACD【点睛】本题主要考查了画三角形的高，画平行线，三角形面积，平行线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格．图中各点均在格点上，请按以下要求画图．①所画顶点必须在格点上；②标清指定的字母；③不得出格．(1)在图甲中面出△ABC中BC边上的高AD；(2)在图乙中画出一个Rt△EBC，且△EBC的面积是图甲中△ABC(3)在图丙中画出一个锐角三角形△MBC，且面积为15．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）延长CB，过点A垂直CB的延长线的线段即所求；（2）根据S△ABC=5，可得S△EBC=10，即可求出△EBC中BC的高，即可确定点E，再分别连接（3）根据锐角三角形△MBC的面积可求△MBC中BC上的高为6，即可确定点M，再连接MB、MC即可．【详解】（1）解：如图，线段AD即为△ABC中BC边上的高；（2）解：由（1）可得：S△ABC=5，∵△EBC的面积是图甲中△ABC面积的2倍，∴S△EBC=2×5=10，如图，（3）解：∵锐角三角形△MBC的面积为15，BC=5，∴△MBC中BC上的高为：15×25∴点M距离BC边为6，如图，△MBC即所求．【点睛】本题考查网格画三角形的高，三角形高的有关计算及利用网格求三角形的面积，熟练掌握三角形面积求出三角形的高是解题的关键．【题型5利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】【例5】（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于点M．

(1)△ABC与△DCB全等吗？为什么？(2)过点C作CE∥BD，过点B作BF∥AC，试判断【答案】(1)△ABC≌△DCB，理由见解析(2)∠DCE=∠ABF，理由见解析【分析】（1）根据SAS，直接可得△ABC≌△DCB；（2）根据△ABC≌△DCB，可得∠A=∠D，根据平行线的性质可得∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，等量代换即可得出结论．【详解】（1）△ABC≌△DCB，理由如下，在△ABC和△DCB中，AB=DC∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（2）∵CE∥BD，∴∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，∵△ABC≌△DCB，∴∠A=∠D，∴∠DCE=∠ABF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式5-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，BD,CE都是△ABC的角平分线，BD交CE于点F，其中∠A=60°．(1)求∠BFC的度数；(2)求证：DF=EF.【答案】(1)120°(2)见解析【分析】1首先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义得到∠DBC+∠ECB的度数；再次利用三角形内角和定理可求出∠BFC的度数；2结合1根据平角定义得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，连接GF，利用SAS可证得△BFE与△BFG全等，则EF=GF，∠BFE=∠BFG=60°；再利用ASA可证得△CFG与△CFD全等，则GF=DF，至此即可证得结论．【详解】（1）解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC+∠ECB=1∴∠BFC=180°−60°=120°；（2）证明：如图，在BC上截取BG=BE，连接GF，∵∠BFC=120°，∴∠BFE=∠CFD=60°，∵BF=BF，BE=BG，∠EBF=∠GBF，∴△BFE≌△BFGSAS∴∠BFE=∠BFG=60°，FE=FG，∴∠CFG=60°，∵∠CFG=∠CFD=60°，CF=CF，∠FCG=∠FCD，∴△CFG≌△CFDASA∴FG=FD，∴DF=EF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到△BFE≌△BFG是解题的关键．【变式5-2】（2023春·广西北海·七年级统考期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F．

(1)求证：△ACE≌△CBF；(2)线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)BF=EF+AE，证明见解析【分析】（1）利用垂线和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF，再利用“AAS”，即可证明△ACE≌△CBF；（2）根据全等三角形的性质可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+CF，即可求出线段AE、BF、EF之间的数量关系．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠E=∠BFC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCF，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠BFC∠CAE=∠BCF∴△ACE≌△CBFAAS（2）解：BF=EF+AE，理由如下：由（1）可知△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴CE=EF+CF=EF+AE=BF，即BF=EF+AE．【点睛】本题考查了垂线，余角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【变式5-3】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）如图1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DE相交于点(1)证明：AE⊥DE；(2)如图2，过点E作直线AB，AD，DC的垂线，垂足分别为F，G，H，证明：EF=EG=EH；(3)如图3，过点E的直线与AB，DC分别相交于点B，C（B，C在AD的同侧）求证：E为线段BC的中点；【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，再根据（2）先证明△AEF≌△AEG，即有EF=EG，同理可证：EH=EG，则问题得解；（3）在AD上取一点M，使得AM=AB，连接ME，先证明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已证明∠AED=90°，即有∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°−∠AED=90°，即可得∠DEM=∠DEC，再证明△DME≌△DCE，即有ME=CE，问题得解．【详解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∵AB∥∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠ADE+∠DAE=1∴∠E=180°−∠ADE+∠DAE∴AE⊥DE；（2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAD，∴∠EFA=∠EGA=90°，∠BAE=∠DAE=1∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，同理可证：EH=EG，∴EF=EG=EH；（3）在AD上取一点M，使得AM=AB，连接ME，如图，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∵AE=AE，AM=AB，∴△AME≌△ABE，∴ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已证明∠AED=90°，∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°−∠AED=90°，∴∠DEM=∠DEC，∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC∴△DME≌△DCE，∴ME=CE，∴ME=BE=CE，∴E为线段BC的中点．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【题型6利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】【例6】（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB∥DE，

(1)试说明：△ABC≌(2)若BE=10m，BF=3m，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE，∠A=∠D，即可根据全等三角形的判定定理“（2）根据全等三角形的性质得BC=EF，则BF=CE=3m，即可求得FC=BE−BF−CE=4【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠ABC=∠DEF在△ABC和△DEF中∠A=∠D∴△ABC≌△DEFASA（2）∵△ABC≌∴BC=EF∴BC−FC=EF−FC，即BF=CE∵BE=10m，∴BF=CE=3cm∴FC=4【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明∠ABC=∠DEF是解题的关键．【变式6-1】（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，若CD=3，则AB=【答案】6【分析】根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形全等的判定与性质得到AB=2CD即可得到答案．【详解】解：根据题意，作出Rt△ABC，连接CD并延长，使DE=CD，连接BE

∵点D是斜边AB的中点，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，AD=BD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△BDESAS∴AC=EB,∠A=∠ABE，∴AC∥EB，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=90°，在△ACB和△EBC中，AC=BE∠ACB=∠EBC=90°∴△ACB≌△EBCSAS∴AB=CE=2CD,∵CD=3,∴AB=2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查利用三角形全等的判定与性质求线段长，涉及倍长中线方法作辅助线、平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【变式6-2】（2023春·陕西延安·七年级陕西延安中学校考期中）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠AHE的度数为°．【答案】130【分析】先判断出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠EBC，从而利用三角形内角定理可得出∠ACB=∠AHB=50°，再由平角可得∠AHE的度数．【详解】∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠DAC=∠EBC由三角形内角定理可得：∠DAC+∠ACB=∠EBC+∠AHB∴∠ACB=∠AHB=50°∴∠AHE=180°−∠AHB=130°故答案为：130．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能求出△ACD≌△BCE是解此题的关键．【变式6-3】（2023春·广东梅州·七年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，则AB=．

【答案】6【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，证明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠BEA=∠AEF，再证明△DEF≌△DEC，得CD=DF，进而可求出AB的长；方法二：延长DE、AB交于点G，证明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=EG，再证明△BEG≌△CEDSAS得BG=CD=2AB，进而可求出AB【详解】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△ABE≌△AFE∴BE=EF，∠BEA=∠AEF又∵∠BEA+∠DEC=90°，∠AEF+∠FED=90°∴∠DEC=∠FED∵E是边BC的中点，∴CE=BE=FE∵ED=ED∴△DEF≌△DEC∴CD=DFAD=AB+CD=AB+2AB=3AB=18∴AB=6方法二：延长DE、AB交于点G

∵AE平分∠BAD且∠AED=90°∴∠GAE=∠DAE,∠GEA=∠DEA=90°∵AE=AE∴△AEG≌△AED∴AG=AD=18，ED=EG∵BE=CE，∠BEG=∠DEC∴△BEG≌△CED∴BG=CD=2AB∴AG=BG+AB=AB+2AB=3AB=18∴AB=6【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【题型7利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】【例7】（2023春·河北石家庄·七年级统考期中）如图，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD交AC于点

(1)求证：ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)BD⊥CE，理由见解析．【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔAB=AC∠BAD=∠CAE∴Δ（2）猜想：BD⊥CE，理由如下：由（1）知ΔBAD≌∴BD=CE,∠ABD=∠ACE，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=45∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∴∠BDC=180∴BD⊥CE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．【变式7-1】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求证：△ABC≌△EDB；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC∥BD，理由见解析【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行可得结论．【详解】（1）在ΔABC和ΔBD=BCBE=AC∴ΔABC≅ΔEDB（2）AC和BD的位置关系是AC∥BD，理由如下：∵Δ∴∠DBE=∠BCA，∴AC∥BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·江苏南通·七年级校联考期中）如图，△ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，BP=AC∠ABD=∠ACQ∴△APB≌△QAC（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，∵∠CQA+∠QAE＝90°，∴∠BAP+∠QAE＝90°．即AP⊥AQ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式7-3】（2023春·甘肃陇南·七年级统考期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接BE和CF，求证：BE=CF．(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接CF，他们发现了BE和CF之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)BE=CF，BE⊥CF，理由见解析．【分析】（1）证明△BAE≌△CAF，即可得证；（2）证明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠ACF,BE=CF，进而求出∠BCF=90°，得到BE⊥CF，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAE=90°−∠EAC，∠CAF=90°−∠EAC，∴∠BAE=∠CAF．在△BAE和△CAF中，BA=CA∠BAE=CAF∴△BAE≌△CAF(SAS∴BE=CF．（2）BE=CF,BE⊥CF．理由如下：∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAE=90°+∠EAC,∠CAF=90°+∠EAC，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中BA=CA∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF(SAS∴∠ABE=∠ACF,BE=CF．∵∠ABE+∠ACB=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∴BE⊥CF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．【题型8全等三角形在网格中的运用】【例8】（2023春·广西崇左·七年级统考期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=．

【答案】180°【分析】根据三角形全等求出∠1和∠4的数量关系以及∠2和∠3的数量关系，即可求出四个角之和．【详解】解：如图所示，在Rt△ABC中和Rt△BED中，∴△ABC≌△DBESAS∴∠4=∠BED，∵∠1+∠BED=90°，∴∠1+∠4=90°．同理可证：∠2+∠3=90°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的性质以及观察图形分析出相等的边长和角度．【变式8-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可．【详解】解：如图所示，以BC为公共边的全等三角形有三个分别为△A1BC，△以AB为公共边的全等三角形有一个为△ABC∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等．故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【变式8-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=．【答案】45°【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2即可得出答案．【详解】解：如图所示，由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，∵{AB=EF∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）∴∠3=∠1∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案为：45°【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．【变式8-3】（2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学校考期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=．【答案】90°【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F，在△DCE和△ABD中，∵{CE=BD=1∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案为：90度．【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．【题型9全等三角形在新定义中的运用】【例9】（2023春·河北沧州·七年级统考期末）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=1【答案】（1）平行四边形，等腰梯形，矩形等；（2）与∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四边形BDEC是等对边四边形；（3）存在等对边四边形，是四边形BDEC，见解析．【分析】（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形，矩形就是；（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．【详解】解：（1）如：平行四边形，等腰梯形，矩形等．（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），∵∠A＝60°，∠DCB=∠EBC=1∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，∴与∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），猜想：四边形BDEC是等对边四边形，（3）存在等对边四边形，是四边形BDEC，证明：如图作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延长线于F，在△BCF和△CBG中，∠DCB=∠EBC∠BFC=∠CGB∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，∴∠BDF=∠BEC，在△BDF和△CEG中，∠BDF＝∠CEB∴△BDF≌△CEG（AAS），∴BD＝CE∴四边形BDEC是等对边四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD＝CE的问题转化为证明三角形全等的问题．【变式9-1】（2023春·福建南平·七年级统考期中）定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝DE；②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为．（2）猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．【答案】（1）①AM＝12DE；②3；（2）AM＝1【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性质可得BC=DE，即可求解；②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）过点A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性质可得∠DAN=12∠DAE，ND=1【详解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°；∴∠EAD=90°∵AB=AC，∠BAC＝90°∴△ABC为等腰直角三角形∵AM⊥BC∴AM=12在△ABC与△AED中，∵{∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC=ED∴AM＝12②∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°；∴∠EAD=60°∵AD=AE∴△AED为等边三角形即：ED=AE=6∴AB=AC=AE=6∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC∴∠ABM=30°∴AM＝12（2）猜想：结论AM＝12理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N∵AE＝AD，AN⊥ED∴∠DAN＝12∠DAE，ND＝1同理可得：∠CAM＝12∵∠DAE+∠CAB＝180°，∴∠DAN+∠CAM＝90°，∵∠CAM+∠C＝90°∴∠DAN＝∠C，∵AM⊥BC∴∠AMC＝∠AND＝90°在△AND与△AMC中，{∴△AND≌△AMC（AAS），∴ND＝AM∴AM＝12【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键．【变式9-2】（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．则①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）②连接线段BD和CE，则BD___________CE（填>、＜或=）(2)如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，则线段BD、CE还满足以上数量关系吗？请说明理由【答案】(1)①=，②=(2)BD=CE，见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义可知两个三角形的顶角相等，利用角的和差即可得到①的结论；再结合“SAS”即可得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到∠BAD=∠CAE，再结合“SAS”即可得到△BAD≌【详解】（1）①∠BAD=∠CAE；∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE；②BD=CE；在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE．（2）满足以上关系证明：如图②，∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，根据题目信息识别出来全等三角形是解题的关键．【变式9-3】（2023春·山东淄博·七年级统考期中）根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形ABCD．下列四个条件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的条件是．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形ABCD．【答案】（1）①②④；（2）选④，证明见解析【分析】（1）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）符合要求的条件是①②④，当选择①A=A时，证明：连接AC、AC，在△ABC与△ABC中，{AB=AB∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，∵BAD=BAD，∴BADBAC=BADBAC，∴DAC=DAC，在△ACD和△ACD中，{∠DAC=∠DAC∴△ACD≌△ACD(ASA)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四边形ABCD和四边形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四边形ABCD≌四边形ABCD；当选择②D=D时，证明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，∵D=D，在△ACD和△ACD中，{∠D=∠D∴△ACD≌△ACD(AAS)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四边形ABCD和四边形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四边形ABCD≌四边形ABCD；当选择③AD=AD时，在△ACD和△ACD中，AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，不符合全等的条件，不能得到△ACD≌△ACD；（2）选④CD=CD，证明：连接AC、AC，在△ABC与△ABC中，{AB=AB∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，在△ACD和△ACD中，{AC=AC∴△ACD≌△ACD(SAS)，∴D=D'，DAC=DAC，DA=DA，∴BACDAC=BACDAC，即BAD=BAD，∴四边形ABCD和四边形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四边形ABCD≌四边形ABCD．【点睛】本题考查了多边形的全等，全等三角形的判定和性质，多边形的全等可以通过作辅助线转化为证明三角形全等问题．关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【题型10全等三角形的实际应用】【例10】（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）小明沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD=165米．请根据上述信息求标语AB的长度为米．

【答案】165【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．【详解】解：∵AB∥PM∥CD，PD⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠ABP=∠CDP=90°，根据题意可知：相邻两平行线间的距离相等，∴BP=DP，在△ABP和△CDP中，∠ABP=∠CDP=90°BP=D