2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习二（含答案）

2024年中考数学二轮复习二次函数压轴题专项练习二LISTNUMOutlineDefault\l3如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；(3)如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知直线y＝﹣eq\f(1,2)x＋1与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．(1)求抛物线的解析式；(2)若正方形以每秒eq\r(5)个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝x2＋bx＋12(b＜0)与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图(1)，D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图(2)，F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线y＝eq\f(1,a)(x﹣2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．(1)若抛物线过点M(﹣2，﹣2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(eq\f(3,2)，0)，且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求∠ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，经过点B(3，6)的抛物线y=-eq\f(1,2)x2+bx与x轴的正半轴交于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，且点P在抛物线对称轴的右侧，连接OP，AP，设点P的横坐标为t，△OPA的面积为S，求S与t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)如图2，在(2)的条件下，当S=17.5时，连接BP，点C为线段OA上的一点，过点C作x轴的垂线交BP的延长线于点D，连接OD，BC，若∠ODB-eq\f(1,2)∠CBD=∠AOP，求点C的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图(2)，△DEF从图(1)的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(cm2)，试探究y的最大值；(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(﹣1，0)、B(3，0)两点，∴，解得．∴二次函数的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．(2)∵y=x2﹣2x﹣3，∴点C的坐标是(0，﹣3)，∴BC=3eq\r(2)，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，则，解得．∴BC所在的直线的解析式是：y=x﹣3，∵经过t秒，AP=t，BQ=eq\r(2)t，∴点P的坐标是(t﹣1，0)，设点Q的坐标是(x，y)，∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，则y=eq\r(2)t×sin45°=t，∴BP=eq\r(2)t×eq\f(\r(2),2)=t，∴x=3﹣t，∴点Q的坐标是(3﹣t，t)，①如图1，当∠QPB=90°时，点P和点Q的横坐标相同，∵点P的坐标是(t﹣1，0)，点Q的坐标是(3﹣t，t)，∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形．②如图2，当∠PQB=90°时，∵∠PBQ=45°，∴BP=eq\r(2)BQ，∵BP=3﹣(t﹣1)=4﹣t，BQ=eq\r(2)t，∴4﹣t=eq\r(2)×eq\r(2)t即4﹣t=2t，解得t=eq\f(4,3)，即当t=eq\f(4,3)时，△BPQ为直角三角形．综上，可得当△BPQ为直角三角形，t=eq\f(4,3)或2．(3)如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，设PQ所在的直线的解析式是y=cx+d，∵点P的坐标是(t﹣1，0)，点Q的坐标是(3﹣t，t)，∴，解得．∴PQ所在的直线的解析式是y=x+，∴点M的坐标是(0，)∵，，∴PQ的中点H的坐标是(1，)假设PQ的中点恰为MN的中点，∵1×2﹣0=2，=，∴点N的坐标是(2，)，又∵点N在抛物线上，∴=22﹣2×2﹣3=﹣3，解得t=或t=﹣(舍去)，∵＞，∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上不存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直线y＝﹣eq\f(1,2)x＋1，∴当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，∴OA＝1，OB＝2，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，∴∠ABO＋∠CBZ＝90°，∠OAB＋∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBZ，在△AOB和△BZC中，，∴△AOB≌△BZC(AAS)，∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，∴C(3，2)，同理可求D的坐标是(1，3)；设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线过A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)，则，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋1；(2)∵OA＝1，OB＝2，∴由勾股定理得：AB＝eq\r(5)，①当点A运动到x轴上点F时，t＝1，当0＜t≤1时，如图1，∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝，∴tan∠GFB′＝＝＝，∴GB′＝t，∴S△FB′G＝eq\f(1,2)FB′×GB′＝eq\f(5,4)t2；②当点C运动x轴上时，t＝2，当1＜t≤2时，如图2，∵AB＝A′B′＝eq\r(5)，∴A′F＝eq\r(5)t﹣eq\r(5)，∴A′G＝eq\f(\r(5),2)(t﹣1)，∵B′H＝eq\f(\r(5),2)t，∴S四边形A′B′HG＝eq\f(1,2)(A′G＋B′H)A′B′＝eq\f(5,2)t﹣eq\f(5,4)；③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2＜t≤3时，如图3，∵A′G＝eq\f(\r(5),2)(t﹣1)，∴GD′＝eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(\r(5),2)t，∵S△AOF＝eq\f(1,2)×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，∴△AOF∽△GA′F，∴＝()2，∴S△GA′F＝()2，则S五边形GA′B′CH＝﹣eq\f(5,4)t2＋eq\f(15,2)t﹣eq\f(25,4)；综上，S＝；(3)设平移后点E和点C对应的点为E′、C′，则抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，联立y＝﹣eq\f(1,2)x＋1与y＝﹣x2＋x＋1并解得，∴E(4，﹣1)，∴BC＝BE，CE＝eq\r(10)，当顶点D落在x轴上时，抛物线向下平移了3个单位长度，向右平移了6个单位长度，此时点E′的坐标为(10，﹣4)，∴EE′＝3eq\r(5)，∴抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积为S＝EE′BC＝3eq\r(5)×eq\r(5)＝15．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根据题意，设A(m，0)，B(3m，0)，∴y＝(x﹣m)(x﹣3m)＝x2﹣4mx＋3m2，∴3m2＝12，解得：m＝±2，∵m＞0，∴m＝2，3m＝6，∴b＝﹣4m＝﹣8，A(2，0)，B(6，0)，故答案为：﹣8，(2，0)，(6，0)；(2)由(1)知，抛物线解析式为y＝x2﹣8x＋12，OB＝6，令x＝0，得y＝12，∴C(0，12)，∴OC＝12，设D点运动时间为t秒，则OD＝2t，①当t≤6时，点D在线段OC上，如图(1)，过点E作EK∥x轴交y轴于点K，∵EK∥OB，∴＝＝，∵BE＝5DE，∴BD＝DE＋BE＝6DE，∴＝＝，∴OD＝6DK，EK＝1，∴DK＝eq\f(1,3)t，∴OK＝OD﹣DK＝2t﹣eq\f(1,3)t＝eq\f(5,3)t，∴E(1，eq\f(5,3)t)，∴eq\f(5,3)t＝12﹣8×1＋12，∴t＝3，②当t＞6时，点D在线段OC的延长线上，如图(1′)，过点E作EK∥OB交y轴于点K，∵BE＝5DE，∴BD＝BE﹣DE＝4DE，∵EK∥OB，∴＝＝，即＝＝＝，∴EK＝eq\f(3,2)，DK＝eq\f(1,2)t，∴OK＝OD＋DK＝2t＋eq\f(1,2)t＝eq\f(5,2)t，∴E(﹣eq\f(3,2)，eq\f(5,2)t)，∴eq\f(5,2)t＝(﹣eq\f(3,2))2﹣8×(﹣eq\f(3,2))＋12，解得：t＝eq\f(21,2)，综上所述，D点运动时间为3秒或eq\f(21,2)秒；(3)∵y＝x2﹣8x＋12＝(x﹣4)2﹣4，∴顶点F(4，﹣4)，∵MN∥x轴且经过点F(4，﹣4)，∴直线MN为y＝﹣4，∵P点在直线MN上运动，∴设P(t，﹣4)，∵△PAC为直角三角形，∴∠APC＝90°或∠PAC＝90°或∠ACP＝90°，①当∠APC＝90°时，设点C(m，n)，如图(2)，过点A作AG⊥MN，过点C作CH⊥MN，∴∠AGP＝∠CHP＝∠APC＝90°，AG＝4，CH＝n＋4，PH＝m﹣t，PG＝t﹣2，∴∠GAP＋∠APG＝∠APG＋∠CPH＝90°，∴∠GAP＝∠CPH，∴△APG∽△PCH，∴＝，即＝，整理得：t2﹣(m＋2)t＋2m＋4n＋16＝0，∵恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，而当∠PAC＝90°或∠ACP＝90°时，均有且仅有一个点P存在，∴当∠APC＝90°时，有且只有一个点P存在，即关于t的一元二次方程有两个相等实数根，∴△＝(m＋2)2﹣4(2m＋4n＋16)＝0，∴n＝，又∵点C(m，n)是对称轴右侧的抛物线上的一定点，∴n＝m2﹣8m＋12，∴m2﹣8m＋12＝，整理得15m2﹣124m＋252＝0，解得：m1＝eq\f(14,3)，m2＝eq\f(18,5)，∵eq\f(18,5)＜4，m2＝eq\f(18,5)不符合题意，舍去，∴m＝eq\f(14,3)，此时n＝(eq\f(14,3))2﹣8×eq\f(14,3)＋12＝﹣，∴C(eq\f(14,3)，﹣)，将m＝eq\f(14,3)，n＝﹣，代入t2﹣(m＋2)t＋2m＋4n＋16＝0，整理得：t2﹣eq\f(20,3)t＋eq\f(100,9)＝0，解得：t1＝t2＝eq\f(10,3)，∴P(eq\f(10,3)，﹣4)；②当∠PAC＝90°时，如图(2)②，过点C作CT⊥x轴于点T，过点P作PR⊥x轴于点R，则AT＝eq\f(14,3)﹣2＝eq\f(8,3)，CT＝，PR＝4，AR＝2﹣t，∠ATC＝∠PRA＝∠PAC＝90°，∴∠PAR＋∠APR＝∠PAR＋∠CAT＝90°，∴∠APR＝∠CAT，∴△APR∽△CAT，∴＝，即＝，解得：t＝﹣eq\f(10,3)，∴P(﹣eq\f(10,3)，﹣4)；③当∠ACP＝90°时，如图(2)③，过点C作KH⊥x轴于点H，交直线MN于点K，则∠AHC＝∠CKP＝∠ACP＝90°，CH＝，AH＝，CK＝4﹣＝，PK＝﹣t，∵∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠PCK＝90°，∴∠CAH＝∠PCK，∴△CAH∽△PCK，∴＝，∴AH•PK＝CK•CH，即(﹣t)＝×，解得：t＝，∴P(，﹣4)；综上所述，C点坐标为(，﹣)，P点的坐标为(，﹣4)或(﹣，﹣4)或(，﹣4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点A(﹣2，0)、B(6，0)、C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，得，解得，∴y＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3；(2)如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx＋d，∴，∴，∴y＝eq\f(1,2)x﹣3，设P(t，eq\f(1,4)t2﹣t﹣3)，则F(t，eq\f(1,2)t﹣3)，∴PF＝eq\f(1,2)t﹣3﹣eq\f(1,4)t2＋t＋3＝﹣eq\f(1,4)t2＋eq\f(3,2)t，∵A(﹣2，0)，∴E(﹣2，﹣4)，∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2＋t＝﹣(t﹣3)2＋，∴当t＝3时，有最大值，∴P(3，﹣eq\f(15,4))；(3)∵P(3，﹣eq\f(15,4))，D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG＋∠GDB＝90°，∠DBG＋∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D(3，6)；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D(3，﹣9)；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T(3，﹣eq\f(3,2))，BC＝3eq\r(5)，设D(3，m)，∵DT＝eq\f(1,2)BC，∴|m＋eq\f(3,2)|＝eq\f(3,2)eq\r(5)，∴m＝eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2)或m＝﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2)，∴D(3，eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))或D(3，﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3，6)或(3，﹣9)或(3，﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))或(3，eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将M(﹣2，﹣2)代入抛物线解析式得：﹣2＝eq\f(1,a)(﹣2﹣2)(﹣2＋a)，解得：a＝4；(2)①由(1)抛物线解析式y＝eq\f(1,4)(x﹣2)(x＋4)，当y＝0时，得：0＝eq\f(1,4)(x﹣2)(x＋4)，解得：x1＝2，x2＝﹣4，∵点B在点C的左侧，∴B(﹣4，0)，C(2，0)，当x＝0时，得：y＝﹣2，即E(0，﹣2)，∴S△BCE＝eq\f(1,2)×6×2＝6；②由抛物线解析式y＝eq\f(1,4)(x﹣2)(x＋4)，得对称轴为直线x＝﹣1，根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx＋b，将B(﹣4，0)与E(0，﹣2)代入得：，解得：，∴直线BE解析式为y＝﹣eq\f(1,2)x﹣2，将x＝﹣1代入得：y＝eq\f(1,2)﹣2＝﹣eq\f(3,2)，则H(﹣1，﹣eq\f(3,2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)当x＝0，y＝3，∴C(0，3).设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x﹣eq\f(3,2)).将C(0，3)代入得：﹣eq\f(3,2)a＝3，解得：a＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋x＋3.(2)过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N.∵OC＝3，AO＝1，∴tan∠CAO＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.∵AC⊥BM，∴BM的一次项系数为﹣eq\f(1,3).设BM的解析式为y＝﹣eq\f(1,3)x＋b，将点B的坐标代入得：﹣eq\f(1,3)×eq\f(3,2)＋b＝0，解得b＝eq\f(1,2).∴BM的解析式为y＝﹣eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2).将y＝3x＋3与y＝﹣eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2)联立解得：x＝﹣eq\f(3,4)，y＝eq\f(3,4).∴MC＝BM＝eq\f(3,4)eq\r(10).∴△MCB为等腰直角三角形.∴∠ACB＝45°.(3)如图2所示：延长CD，交x轴与点F.∵∠ACB＝45°，点D是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD＞45°.又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC＝∠DEC＝90°，∴∠CAO＝∠ECD.∴CF＝AF.设点F的坐标为(a，0)，则(a＋1)2＝32＋a2，解得a＝4.∴F(4，0).设CF的解析式为y＝kx＋3，将F(4，0)代入得：4k＋3＝0，解得：k＝﹣eq\f(3,4).∴CF的解析式为y＝﹣eq\f(3,4)x＋3.将y＝﹣eq\f(3,4)x＋3与y＝﹣2x2＋x＋3联立：解得：x＝0(舍去)或x＝eq\f(7,8).将x＝eq\f(7,8)代入y＝﹣eq\f(3,4)x＋3得：y＝.∴D(，).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根据题意得：6＝﹣eq\f(1,2)×32＋3b，解得：b＝eq\f(7,2)，∴抛物线的解析式为：y＝﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(7,2)x；(2)过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，如图：∵点P在抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(7,2)x上，点P的横坐标为t，∴P(t，﹣eq\f(1,2)t2＋eq\f(7,2)t)，∴PE＝﹣eq\f(1,2)t2＋eq\f(7,2)t，在y＝﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(7,2)x中，令y＝0，得﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(7,2)x＝0，解得x1＝0，x2＝7，∴点A的坐标为(7，0)，∴S＝eq\f(1,2)OAPE＝eq\f(1,2)×7(﹣eq\f(1,2)t2＋eq\f(7,2)t)＝﹣eq\f(7,4)t2＋12.25t；答：S与t的函数解析式为S＝﹣eq\f(7,4)t2＋12.25t；(3)过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，过点B作FG⊥y轴，垂足为点F，FG交EP的延长线于点G，取OD的中点M，连接BM，CM，延长BM交x轴于点N，延长CM至点H，如图：，当S＝17.5时，17.5＝﹣t2＋12.25t，解得t1＝2，t2＝5，∵抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(7,2)x的对称轴为直线x＝eq\f(7,2)，点P在对称轴