2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习九（含答案）

2024年中考数学二轮复习二次函数压轴题专项练习九LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧)，点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线y=0.5x2﹣1.5x﹣2图象与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)．若C(m，1﹣m)是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．(1)求点A和点B的坐标；(2)求证：四边形DECF是矩形；(3)连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线y＝mx2﹣2mx＋3(m＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；(3)若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝eq\f(1,3)OC，求点P的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y=eq\f(1,4)x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．(3)过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN＋3MP的长度最大？最大值是多少？LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1，0)，且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知二次函数y=ax2+1.5x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC．(1)求二次函数的解析式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点H的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，﹣2)，且过点C(2，﹣2)．(1)求二次函数表达式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA=4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(﹣4，0)，B(0，4)抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4.令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，∴C(1，0).(2)如答图1所示，设D(t，0).∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴E(t，t+4)，P(t，﹣t2﹣3t+4).PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4=﹣t2﹣4t=﹣(t+2)2+4，∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P(﹣2，6).(3)存在.如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H.设OH=m(m＞0)，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m.又M为OA中点，∴MH=2﹣m.△MON为等腰三角形：①若MN=ON，则H为底边OM的中点，∴m=1，∴yQ=4﹣m=3.由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，∴点Q坐标为(，3)或(，3)；②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=(4﹣m)2+(2﹣m)2，化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4(不合题意，舍去)∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，∴点Q坐标为(，2)或(，2)；③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=(4﹣m)2+m2，化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.所求Q点的坐标为(，3)或(，3)或(，2)或(，2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)当y=0时，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，解方程，得x1=﹣1，x2=4．∵点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别是(﹣1，0)，(4，0)；(2)证明：把C(m，1﹣m)代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，解方程，得m=3或m=﹣2．∵点C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C的坐标为(3，﹣2)．过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．由A(﹣1，0)，B(4，0)，C(3，﹣2)得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，∴AH：CH=CH：BH=2．又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴平行四边形DECF是矩形；(3)存在．理由如下：连接CD．∵平行四边形DECF是矩形，∴EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小．∵C(3，2)，∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)设A(x1，0)，B(x2，0)，∵OB＝3OA，∴x2＝﹣3x1，令y＝0，则mx2﹣2mx＋3＝0，∵x1与x2是方程的两根，∴x1＋x2＝2，又x2＝﹣3x1，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，将x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，∴C(0，3)，设直线BC解析式为y＝kx＋3，代入点B的坐标得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，设M(a，﹣a2＋2a＋3)，如图1，过M作MG∥y轴交直线BC于G点，则G(a，﹣a＋3)，∴MG＝﹣a2＋3a，∴S△MBC＝S△MGC＋S△MGB＝＝，当a＝eq\f(3,2)时，△MBC面积最大，此时△BCN的面积总小于△BCM的面积，∴M(eq\f(3,2),eq\f(15,4))；(3)如图2，由(1)可得，OC＝3，∴EF＝eq\f(1,3)OC=1，设P(t，﹣t2＋2t＋3)，∵B(3，0)，∴直线BP的解析式为y＝﹣(t＋1)(x﹣3)，∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，∴D(1，4)，过D作y轴的平行线交直线BP于Q点，∴Q(1，2t＋2)，∴DQ＝2﹣2t，∵DQ∥y轴，∴△PEF∽△PQD，∴，∴，∴P()．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y=eq\f(1,4)×(﹣2)2=1，A点的坐标为(﹣2，1)，设直线的函数关系式为y=kx＋b，将(0，4)，(﹣2，1)代入得，解得，∴直线y=eq\f(3,2)x＋4，∵直线与抛物线相交，∴eq\f(3,2)x＋4=eq\f(1,4)x2，解得：x=﹣2或x=8，当x=8时，y=16，∴点B的坐标为(8，16)；(2)如图1，连接AC，BC，∵由A(﹣2，1)，B(8，16)可求得AB2=325．设点C(m，0)，同理可得AC2=(m＋2)2＋12=m2＋4m＋5，BC2=(m﹣8)2＋162=m2﹣16m＋320，①若∠BAC=90°，则AB2＋AC2=BC2，即325＋m2＋4m＋5=m2﹣16m＋320，解得：m=﹣eq\f(1,2)；②若∠ACB=90°，则AB2=AC2＋BC2，即325=m2＋4m＋5＋m2﹣16m＋320，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，则AB2＋BC2=AC2，即m2＋4m＋5=m2﹣16m＋320＋325，解得：m=32；∴点C的坐标为(﹣eq\f(1,2)，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)(3)设M(a，eq\f(1,4)a2)，如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==eq\f(1,4)a2＋1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴eq\f(3,2)x＋4=eq\f(1,4)a2，∴x=，∴点P的横坐标为，∴MP=a﹣，∴MN＋3PM=eq\f(1,4)a2＋1＋3(a﹣)=﹣eq\f(1,4)a2＋3a＋9，∴当a=6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是18．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；(2)①设BC的解析式为y＝kx＋b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M(n，n﹣3)，P(n，n2﹣2n﹣3)，PM＝(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)＝﹣n2＋3n＝﹣(n﹣eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)，当n＝eq\f(3,2)时，PM最大＝eq\f(9,4)，∴线段PM的最大值eq\f(9,4)；②当PM＝PC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n2﹣2n﹣3＋3)2，解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P(2，﹣3)．当PM＝MC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n﹣3＋3)2，解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3﹣eq\r(2)，n3＝3＋eq\r(2)(不符合题意，舍)，n2﹣2n﹣3＝2﹣4eq\r(2)，P(3﹣eq\r(2)，2﹣4eq\r(2))．综上所述：P(3﹣eq\r(2)，2﹣4eq\r(2))或(2，﹣3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵B点坐标为(1，0)，∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，将A，B，C三点代入解析式得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2＋2x﹣3；(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋2x﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝(﹣1)2＋2×(﹣1)﹣3＝﹣4，∴D点的坐标为(﹣1，﹣4)，∴|AD|＝2eq\r(5)，|AC|＝3eq\r(2)，|CD|＝eq\r(2)，∵|AD|2＝|AC|2＋|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝eq\f(1,2)|AC||CD|＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(2)＝3；(3)设直线AC的解析式为y＝sx＋t，代入A，C点坐标，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，设点P(x，x2＋2x﹣3)，则点H(x，﹣x﹣3)，∴PH＝﹣x﹣3﹣(x2＋2x﹣3)＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PHsin∠PHE＝(﹣x2﹣3x)×eq\f(\r(2),2)＝﹣eq\f(\r(2),2)(x＋eq\f(3,2))2＋eq\f(9,8)eq\r(2)，∴当x＝﹣eq\f(3,2)时，PE有最大值为eq\f(9,8)eq\r(2)，此时P点的坐标为(﹣eq\f(3,2)，﹣eq\f(15,4))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函数y=ax2+eq\f(3,2)x+c(a≠0)的图象过点A(0，4)，C(8，0)，∴，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵y=﹣eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4，∴当y=0时，﹣eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为(﹣2，0)．在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=42+22=20，在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=42+82=80，∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中，AB2+AC2=20+80=100=102=BC2，∴△ABC是直角三角形；(3)设点H的坐标为(n，0)，则AC2=80，AH2=n2+16，HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64．当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，可分三种情况：①如果AH=AC，那么n2+16=80，解得n=±8(正值舍去)，此时点H的坐标为(﹣8，0)；②如果HC=AC，那么(n﹣8)2=80，解得n=8±4eq\r(5)，此时点H的坐标为(8+4eq\r(5)，0)或(8﹣4eq\r(5)，0)；③如果AH=HC，那么n2+16=n2﹣16n+64，解得n=3，此时点H的坐标为(3，0)；综上所述，若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点H的坐标分别为(﹣8，0)、(8﹣4eq\r(5)，0)、(3，0)、(8+4eq\r(5)，0)；(4)设点N的坐标为(t，0)，则BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．∵MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵NM∥AC，∴=，∴=，∵AO=4，BC=10，BN=t+2，∴MD=eq\f(2,5)(t+2)，∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=eq\f(1,2)BN×OA﹣eq\f(1,2)BN×MD=eq\f(1,2)×(t+2)×4﹣eq\f(1,2)×(t+2)×eq\f(2,5)(t+2)=﹣eq\f(1,2)t2+eq\f(6,5)t+3.2=﹣eq\f(1,2)(t﹣3)2+5，∴当t=3时，△AMN面积最大，此时点N的坐标为(3，0)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函数的图象经过点A(3，0)、B(0，﹣2)、C(2，﹣2)∴

解得：∴二次函数表达式为y=eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x﹣2(2)如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P(t，eq\f(2,3)t2﹣eq\f(4,3)t﹣2)(t＞3)∴OD=t，PD=eq\f(2,3)t2﹣eq\f