2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习10（含答案）

2024年中考数学二轮复习二次函数压轴题专项提升练习10LISTNUMOutlineDefault\l3有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．(1)如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；(2)如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A(12，0)，B(0，9)两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；(3)如图3，抛物线y＝ax2＋eq\f(2\r(3),3)x＋2(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C(1，0)，点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，求m的取值范围．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=x2＋bx＋c的图象经过A(﹣1，0)，C(0，﹣2)两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．(1)求抛物线C1与C2的函数表达式；(2)若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数)经过A(4，0)和B(0，4)两点，其顶点为C．(1)求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；(2)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；②若S为整数，则这样的M点有个．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1，0)，(3，0)，(0，6)三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．(1)求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．(2)将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，①当点C首次落在抛物线上，求h的值．②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．LISTNUMOutlineDefault\l3我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，﹣3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A，点B重合)，点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°.(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；(2)求系数a的取值范围；(3)设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值.(4)设E(﹣eq\f(1,2)，0)，当∠ACB＝90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，经过点A(0,﹣4)抛物线y=0.5x2＋bx＋c与x轴相交于B(﹣2，0),C两点,O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y=0.5x2＋bx＋c向上平移3.5个单位长度，再向左平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的长．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为“和睦四边形”；(2)解：∵A(12，0)，B(0，9)，∴OB＝9，OA＝12，∴AB＝15，由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝15﹣5t，OP＝12﹣4t，连接PQ，，，∴，又∵∠BAO＝∠QAP，∴△AQP∽△ABO，∴∠APQ＝∠AOB＝90°，∴QP＝3t，∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，①当OB＝OP时，9＝12﹣4t，∴；②当OB＝BQ时，9＝15﹣5t，∴；③当OP＝PQ时，12﹣4t＝3t，∴；④当BQ＝PQ时，15﹣5t＝3t，∴，综上所述，t的值为或或或；(3)解：由题意可得：顶点D的坐标为，C(0，2)，∵CD＝OC，∴CD2＝OC2，∴，化简得：，∵a＜0，∴a=﹣eq\f(1,3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直线y＝kx＋3交y轴于点B，∴B(0，3)，∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点B(0，3)，点C(1，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，令y＝0，得﹣x2﹣2x＋3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A(﹣3，0)，把点A的坐标代入y＝kx＋3，得﹣3k＋3＝0，解得：k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x＋3；(2)∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，∴P(m，m＋3)，且﹣3≤m≤0，∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，∴M(m，﹣m2﹣2m＋3)，∴PM＝﹣m2﹣2m＋3﹣(m＋3)＝﹣m2﹣3m，∵PB2＝(m﹣0)2＋(m＋3﹣3)2＝2m2，且﹣3≤m≤0，∴PB＝﹣eq\r(2)m，∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B(0，3)，∴MP＝PB或MP＝MB，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PM∥OB，∴∠BPM＝45°，①当MP＝PB时，∴﹣m2﹣3m＝﹣eq\r(2)m，解得：m＝0(舍去)或m＝﹣3＋eq\r(2)，∴P(﹣3＋eq\r(2)，eq\r(2))；②当MP＝MB时，则∠PBM＝∠BPM＝45°，∴∠BMP＝90°，∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，∴﹣m2﹣2m＋3＝3，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，∴P(﹣2，1)，综上所述，点P的坐标为(﹣3＋eq\r(2)，eq\r(2))或(﹣2，1)；(3)∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，∴抛物线的顶点D(﹣1，4)，设经过点D(﹣1，4)且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x＋n，如图2，则﹣1＋n＝4，解得：n＝5，∴y＝x＋5，联立，得x＋5＝﹣x2﹣2x＋3，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴点G的横坐标为﹣2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵y＝x2＋bx＋c的图象经过C(0，﹣2)，∴c＝﹣2，将A(﹣1，0)代入y＝x2＋bx﹣2中，解得b＝﹣1，∴抛物线C1的函数表达式为y=x2﹣x﹣2=(x﹣eq\f(1,2))2﹣eq\f(9,4)，∵将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，∴抛物线C2的函数表达式为y=x2-5x+4；(2)存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，理由如下：∵点A(﹣1，0)向右平移2个单位得到点B，∴B(1，0)，∴AB＝2，由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则MN∥AB，MN＝AB，AB边上的高为4，∵抛物线C1：y=x2﹣x﹣2的顶点为(eq\f(1,2),﹣eq\f(9,4))，而4>eq\f(9,4)，∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N；在C1：y=x2﹣x﹣2中，令y＝4，即x2﹣x﹣2＝4，解得x＝﹣2或x＝3，∴M1(﹣2，4)或M2(3，4)，在C2：y=x2﹣5x+4中，令y＝4，即x2﹣5x＋4＝4，解得x＝0或x＝5，∴N1(0，4)或N2(5，4)．综上所述，点M、N的坐标分别为M(﹣2，4)，N(0，4)或M(3，4)，N(5，4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为A(4，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2，0)，设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣4)，把B(0，4)代入得a×2×(﹣4)=4，解得a=﹣eq\f(1,2)，∴抛物线的解析式为y=﹣eq\f(1,2)(x+2)(x﹣4)，即y=﹣eq\f(1,2)x2+x+4；∵y=﹣eq\f(1,2)(x﹣1)2+eq\f(9,2)，∴抛物线的顶点C的坐标为(1，eq\f(9,2))；(2)①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，设AB的解析式为y=mx+n，把B(0，4)、A(4，0)代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，设M(t，﹣eq\f(1,2)t2+t+4)，则N(t，﹣t+4)，∴MN=﹣eq\f(1,2)t2+t+4﹣(﹣t+4)=﹣eq\f(1,2)t2+2t，∴S=S△BMN+S△AMN=eq\f(1,2)×4×MN=eq\f(1,2)×4×(﹣eq\f(1,2)t2+2t)=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4，∴当t=2时，S有最大值，最大值为4；②∵0＜t＜4，∴当t=1、2、3时，S为整数，即这样的M点有3个．故答案为3．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x＋6，由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2，﹣2)，当x＝﹣1时，y＝2x2﹣8x＋6＝16，故当﹣1≤x≤4时，x＝﹣1时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值﹣2，∴y的最大值与最小值的差为16﹣(﹣2)＝18；(2)①当点C首次落在抛物线上，yC＝4＝2x2﹣8x＋6，解得x＝2±eq\r(3)，因为点C首次落在抛物线上，x＝2＋eq\r(3)舍弃，则h＝x＝2﹣eq\r(3)；②当点C首次落在抛物线上，h＝2﹣eq\r(3)，当h＞2﹣eq\r(3)时，抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，当h＝3时，即正方形运动到点(3，0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，当h＞3时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故h≤3；故2﹣eq\r(3)＜h≤3．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．∴A(﹣1，0)，B(3，0)，设抛物线为y＝a(x＋1)(x﹣3)，∵抛物线过D(0，﹣3)，∴﹣3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得a＝1，y＝(x＋1)(x﹣3)，即y＝x2﹣2x﹣3(﹣1≤x≤3)；连接AC，BC，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵CO⊥AB，∴∠ACO＋∠OCB＝∠OCB＋∠OBC＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴△ACO∽△CBO，∴，∴CO2＝AOBO＝3，∴CO＝eq\r(3)，∴CD＝CO＋OD＝3＋eq\r(3)；(2)假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E(m，n)，则点F的坐标为(m，﹣n)．EF与x轴交于点H，连接EM．∴HM2＋EH2＝EM2，∴(m﹣1)2＋n2＝4，…①；∵点F在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，∴m2﹣2m﹣3＝﹣n，…②；解由①②组成的方程组得：；．(n＝0舍去)由对称性可得：；．∴E1(1＋eq\r(3)，1)，E2(1﹣eq\r(3)，1)，E3(1＋eq\r(3)，-1)，E4(1﹣eq\r(3)，-1)．(3)如图4，∵∠BPC＝60°保持不变，因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心(K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°)，BK为半径．当BP为直径时，BP最大．在Rt△PCR中可求得PR＝1，RC＝eq\r(3)．所以点P的坐标为(1，2eq\r(3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(﹣3，0)，B(1，0)，∴消去b，得c＝﹣3a.∴点C的坐标为(0，﹣3a)，答：点C的坐标为(0，﹣3a).(2)当∠ACB＝90°时，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠OBC＋∠BCO＝90°，∠ACO＋∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴△AOC∽△COB，，即OC2＝AO•OB，∵AO＝3，OB＝1，∴OC＝eq\r(3)，∵∠ACB不小于90°，∴OC≤eq\r(3)，即﹣c≤eq\r(3)，由(1)得3a≤eq\r(3)，∴a≤eq\f(\r(3),3)，又∵a＞0，∴a的取值范围为0＜a≤eq\f(\r(3),3)，答：系数a的取值范围是0＜a≤eq\f(\r(3),3).(3)作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图.∵抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(﹣3，0)，B(1，0).∴抛物线的对称轴为x＝﹣1.即﹣＝﹣1，所以b＝2a.又由(1)有c＝﹣3a.∴抛物线方程为y＝ax2＋2ax﹣3a，D点坐标为(﹣1，﹣4a).于是CO＝3a，GC＝a，DG＝1.∵DG∥OH，∴△DCG∽△HCO，∴，即，得OH＝3，表明直线DC过定点H(3，0).过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM＝h，∴h＝HBsin∠OHC＝2sin∠OHC.∵0＜CO≤eq\r(3)，∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤eq\f(1,2).∴0＜h≤1，即h的最大值为1，答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1.(4)由(1)、(2)可知，当∠ACB＝90°时，a=eq\f(\r(3),3)，CD=eq\r(3)，设AB的中点为N，连接CN，则N(﹣1，0)，CN将△ABC的面积平分，连接CE，过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF，因为NP∥CE，所以S△CEF＝S△CEN，由已知可得NO＝1，OE=eq\f(1,2)，而NP∥CE，∴OP=2OC=2eq\r(3)，得P(0,﹣2eq\r(3))，设过N、P两点的一次函数是y＝kx＋b，则，解得：k=b=﹣2eq\r(3)，即y=﹣2eq\r(3)(x＋1)，①同理可得过A、C两点的一次函数为x＋eq\r(3)y＋3=0，②解由①②组成的方程组得x=﹣eq\f(3,5)，y=﹣eq\f(4,5)eq\r(3)，故在线段AC上存在点F(﹣eq\f(3,5)，﹣eq\f(4,5)eq\r(3))满足要求.答：当∠ACB＝90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是(﹣eq\f(3,5)，﹣eq\f(4,5)eq