2021年中考数学专题练习：三角形综合

2021年中考数学专题练习：三角形综合1．如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．2．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．（1）如图1，求证：AD＝AE；（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．3．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣3，0），点B（0，）．以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第二象限．（Ⅰ）如图①，求点C的坐标；（Ⅱ）将△AOB绕点B顺时针旋转得△A′O′B，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．①如图②，当旋转角为30°时，A′B，A′O′与AC分别交于点E，F，A′O′与AB交于点G，求△A′O′B与△ABC公共部分面积S的值；②若P为线段CO′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．（1）求证：CD⊥AB证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）∴∠ADC＝90°（）（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．①求S△CEF﹣S△ADF的值；②四边形BDFE的面积是．5．[教材呈现]如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．[方法运用]在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D在边AC上．（1）如图①，当点D是边BC中点时，AD的取值范围是．（2）如图②，若BD：DC＝1：2，求AD的取值范围．[拓展提升]如图③，在△ABC中，点D、F分别在边BC、AB上，线段AD、CF相交于点E，且BD：DC＝1：2，AE：ED＝3：5．若△ACF的面积为2，则△ABC的面积为．6．已知：如图，点B在线段AD上，△ABC和△BDE都是等边三角形，且在AD同侧，连接AE交BC于点G，连接CD交BE于点H，连接GH．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AG＝CH；（3）求证：GH∥AD．7．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝3，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．（1）求证：AB•CF＝BD•CD；（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；（3）若CD＝2BD，求．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．9．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．10．问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．参考答案1．解：（1）连接AC，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，FH＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，FH＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴＝；②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴＝；综上所述，当α＝120°，tan∠DAB＝时，的值为或．2．（1）证明：∵AB＝AC，∵∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；（2）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵BF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝45°，∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．3．解：（Ⅰ）如图①中，∵点A（﹣3，0），点B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝2，∴∠CAO＝90°，∴C（﹣3，2）．（Ⅱ）①如图②中，过点G作GH⊥BC于H，设AC交O′A′于F．∵△AOB绕点B顺时针旋转30°得到△A′BO′，∴A′B＝AB＝2，∠A′＝∠BAO＝30°，∠A′BA＝30°，∴∠A′＝∠A′BA＝30°，∴GA′＝GB，∵GH⊥BA′，∴A′H＝BH＝，在Rt△A′HG中，∵tan∠BA′G＝，∴GH＝•tan30°＝1，∴S△A′BG＝•BA′•GH＝，∵∠CAB＝60°，∠A′BG＝30°，∴∠A′EA＝90°，∴BE＝AB•sin60°＝2×＝3，∴A′E＝A′B﹣EB＝2﹣3，∴EF＝A′E•tan30°＝2﹣，∴S△A′EF＝•A′E•EF＝﹣6，∴S＝S△A′BG﹣S△A′EF＝6﹣．②如图③中，取BC的中点N，连接PN，AN．∵PC＝PO′，CN＝NB，∴PN＝BO′＝，∵△ABC是等边三角形，CN＝BN，∴AN⊥BC，∴CN＝BN＝，AN＝BN＝3，∵AN﹣PN≤PA≤AN+PN，∴3﹣≤AP≤3+．4．（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）∴∠ADC＝90°（三角形内角和定理）故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∴∠AEC＝∠CFE；（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，∴S△ACD＝S△ABC＝9，S△ACE＝S△ABC＝12，∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；②连接BF，设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x，∵AB＝4AD，∴S△BDF＝3x，∵BC＝3CE，∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，∴x+3+2x+6+3x＝×36，解得，x＝3，∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21，故答案为：21．5．解：[方法运用]（1）延长AD至点E，使得DE＝AD，连接CE，∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE，∵△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴2＜AE＜6，∴1＜AD＜3．故答案为：1＜AD＜3．（2）如图2，过点C作CM∥AB，交AD的延长线于点M，∴△ABD∽△MCD，∴，∵BD：DC＝1：2，AB＝4，∴CM＝8，AD＝AM，在△AMC中，∵CM＝8，AC＝2，∴6＜AM＜10，∴2＜AD＜．[拓展提升]解：如图3，过点A作AM∥BC交CF的延长线于点M，∴△AME∽△DCE，∴，∵，∴，∴，同理△AMF∽△BCF，∴，∴．∴，∵△ACF的面积为2，∴△ABC的面积为7．故答案为：7．6．证明：（1）∵△ABC、△BDE均为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴180°﹣∠EBD＝180°﹣∠ABC，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE与△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAG＝∠BCH，∵∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠CBH＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ABC＝∠CBH＝60°，在△ABG与△CBH中，，∴△ABG≌△CBH（ASA），∴AG＝CH；（3）由（2）知：△ABG≌△CBH，∴BG＝BH，∵∠CBH＝60°，∴△GHB是等边三角形，∴∠BGH＝60°＝∠ABC，∴GH∥AD．7．（1）证明：如图1中，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，∴∠BAD＝∠FDC，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△CDF，∴＝，∴AB•CF＝BD•CD．（2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H．∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝3，∴BC＝AB＝6，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，AH＝BH＝CH＝3，∵AD⊥DE，∠AED＝75°，∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，∴∠DAH＝30°，DH＝AH•tan30°＝，∴BD＝3+，CD＝3﹣，∵AB•CF＝BD•CD，∴3•CF＝（3+）（3﹣），∴CF＝．（3）如图2﹣1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AH＝HB＝HC＝1.5a，DH＝0.5a，∠C＝∠B＝45°，∵∠AHD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，∴∠ADH+∠EDG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠ADH＝∠DEG，∴△ADH∽△DEG，设EG＝CG＝y，则DG＝a﹣y，∴＝，∴＝，解得y＝a，∴CG＝EG＝a，EC＝a，∵CF＝＝＝a，∴AF＝AC﹣CF＝a﹣a＝a，EF＝CF﹣CE＝a﹣a＝a，∴＝＝2．8．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如图1，当∠AFE＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；如图2，当∠EAF＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．9．解：（1）四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH