专题1.2定义命题与证明-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.2定义命题与证明姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•鄞州区期中）说明“若a是实数，则a2＞a”是假命题，可以举的反例是（）A．a＝﹣2 B．a＝﹣0.5 C．a＝0 D．a=【分析】根据有理数的乘方法则求出a2，判断即可．【解析】当a＝0时，a2＝0，此时a2＝a，则“若a是实数，则a2＞a”是假命题，故选：C．2．（2021春•西湖区校级期中）下列命题中正确的是（）A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行【分析】根据直线平行的判定和性质，一一判断即可．【解析】A、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，这个点，不能在直线上．本选项不符合题意．C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，假命题，也可能互补，本选项不符合题意．D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3．（2021•鄞州区模拟）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（）A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°【分析】要说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题，则两个角的和为180°，且这两个角不是一个是锐角，另一个是钝角，然后根据此分别对四个选项进行判断．【解析】∵90°+90°＝180°，而这两个角都是直角，所以D选项可能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题．故选：C．4．（2020秋•织金县期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线【分析】找出已知条件的部分即可．【解析】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线．故选：D．5．（2021春•江北区期中）下列命题中，真命题是（）A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．同旁内角互补【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解析】A、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；B、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；C、正确，必须强调在同一平面内；D、错误，两直线平行同旁内角才互补．故选：C．6．（2020•浙江自主招生）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据题意，分情况讨论：①假设甲最好；②假设乙最好；③假设丁最好；④假设丙最好，判断与老师说的无矛盾即可得到答案．【解析】假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；因此丙的成绩最好，故选：C．7．（2020秋•玉门市期末）在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A+∠B＝180°﹣∠C，由∠A＝∠B﹣∠C变形得∠A+∠B＝∠C，则180°﹣∠C＝∠C，解得∠C＝90°，即可判断△ABC的形状．【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A，而∠A﹣∠C＝∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴180°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：D．8．（2020秋•济南期末）适合条件∠A=12∠B=13∠CA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．【解析】∵∠A=12∠B=1∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：B．9．（2020春•昌图县期末）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（）A．30° B．50° C．70° D．90°【分析】构建方程组求解即可．【解析】由题意∠A+∠B+∠C=180°∠B=3∠A解得∠A=30°∠B=90°故选：A．10．（2020秋•芜湖期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27° B．59° C．69° D．79°【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•宁波模拟）写出一个能说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例a＝﹣5，b＝1．【分析】写出a、b的值满足|a|＞|b|，不满足a＞b即可．【解析】因为a＝﹣5，b＝1时，满足|a|＞|b|，不满足a＞b，所以a＝﹣5，b＝1可作为说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例．故答案为a＝﹣5，b＝1．12．（2021春•海淀区校级月考）请举反例说明命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题，反例可举：当a＝﹣2，b＝2时，a2＝b2，此时a＝﹣b．【分析】代入数据a＝﹣2，b＝2说明即可；【解析】当a＝﹣2，b＝2时，a2＝b2，此时a＝﹣b；故“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题，故答案为：当a＝﹣2，b＝2时，a2＝b2，此时a＝﹣b13．（2020秋•长春期末）写出“对顶角相等”的逆命题相等的角是对顶角．【分析】将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．【解析】∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．14．（2020秋•慈溪市期中）写出一个能说明命题“如果ab＞0，则a＞0且b＞0”是假命题的反例：a＝﹣2，b＝﹣3（答案不唯一）．【分析】根据有理数的乘法法则解答即可．【解析】当a＝﹣2，b＝﹣3时，ab＞0，但a＜0、b＜0，所以命题“如果ab＞0，则a＞0且b＞0”是假命题，故答案为：a＝﹣2，b＝﹣3（答案不唯一）．15．（2020秋•松山区期末）在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则∠B＝【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设∠A为X，然后根据三角形内角和为180°的等量关系求解即可．【解析】设∠A为x．x+2x+3x＝180°⇒x＝30°．∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．故填60．16．（2020秋•海宁市期中）已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，则∠BAC＝60或100°．【分析】如图1，根据垂直的定义得到∠AEB＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠ADE＝80°，根据三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，根据角平分线的定义即可得到结论，如图2，由垂直的定义得到∠AED＝90°，求得∠ADE＝80°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，根据角平分线的定义得到结论．【解析】如图1，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝10°，∴∠ADE＝80°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，如图2，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∵∠DAE＝10°，∴∠ADE＝80°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，综上所述，∠BAC＝60°或100°，故答案为：60或100．17．（2020秋•拱墅区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为85°．【分析】根据角平分线定义求得∠BAD=12∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠【解析】∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，∴∠BAD=12∠BAC＝25°，∠ABE＝∵∠EBC＝20°，∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．故答案为：85°．18．（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形∠BAC的角平分线，若∠EAD＝5°，∠B＝50°，则∠C的度数为60°．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解析】∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，∴∠AED＝85°，∵∠B＝50°，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案为60°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•拱墅区校级期中）判断下列命题的真假，并给出证明（1）两个锐角的和是钝角；（2）若a＞b，则a2＞b2；【分析】（1）根据锐角和钝角的概念，举一个反例即可；（2）根据有理数的乘方法则证明；【解析】（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，例如，一个角是30°，另一个是40°，则这两个角的和是70°，70°不是钝角，∴两个锐角的和是钝角，是假命题；（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：a＝﹣1，b＝﹣2，a2＝1，b2＝4，则a2＜b2，∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．20．（2018秋•西湖区校级月考）指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果……那么……”的形式．（1）绝对值相等的两个数相等．（2）直角三角形的两个锐角互余．【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，进而得出答案即可．【解析】（1）条件：绝对值相等的两个数，结论：两个数相等；改写成：”如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”；（2）条件：直角三角形，结论：两个锐角互余；改写成：”如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”．21．（2020春•椒江区期末）如图，在三角形ABC中，AB∥DE，∠BDE＝2∠A，求证∠A＝∠C．证明：作∠BDE的角平分线交AB于点F．∵DF平分∠BDE，∴∠1＝∠2．∵∠BDE＝2∠A，∴∠1＝∠2＝∠A，∵AB∥DE，∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），∴∠3＝∠A＝∠1，∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠2＝∠C，∴∠A＝∠C＝∠2．【分析】作∠BDE的角平分线交AB于点F．证明DF∥AC可得结论．【解答】证明：作∠BDE的角平分线交AB于点F．∵DF平分∠BDE，∴∠1＝∠2．∵∠BDE＝2∠A，∴∠1＝∠2＝∠A，∵AB∥DE，∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），∴∠3＝∠A＝∠1，∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠2＝∠C，∴∠A＝∠C＝∠2．故答案为：∠A，两直线平行，同位角相等，∠1，内错角相等，两直线平行，∠C．22．（2021春•萧山区月考）如图，在四边形ABCD中，AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，点E在CD上，∠1+∠2＝90°（1）完成下面的说理过程解：解：∵AE平分∠BAD（已知），∴∠BAD＝2∠1（角平分线的定义），∵BE平分∠ABC（已知），∴∠ABC＝2∠2（角平分线的定义），∴∠BAD+∠ABC＝2∠1+2∠2（等量代换），∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．（2）若AE平分∠DEF，试说明BE平分∠CEF．【分析】（1）根据题目中的证明过程很容易能补全括号内的理由；（2）利用等角的余角相等证明∠BEF＝∠CEB即可．【解析】（1）∵AE平分∠BAD（已知），∴∠BAD＝2∠1（角平分线的定义），∵BE平分∠ABC（已知），∴∠ABC＝2∠2（角平分线的定义），∴∠BAD+∠ABC＝2∠1+2∠2（等量代换），∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；角平分线的定义；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．（2）∵∠1+∠2+∠AEB＝180°，∠1+∠