考研数学二(线性方程组)模拟试卷8(题后含答案及解析)

考研数学二（线性方程组）模拟试卷8(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设Q＝方阵P3×3≠0，而PQ＝O，则【】A．t＝6时，必有秩(P)＝1．B．t＝6时，必有秩(P)＝2．C．t≠6时，必有秩(P)＝1．D．t≠6时，必有秩(P)＝2．正确答案：C涉及知识点：线性方程组2．设非齐次线性方程组Aχ＝b有两个不同解，β1和β2其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Aχ＝b的通解为【】A．c1α1＋c2(α1＋α2)＋(β1－β2)B．c1α1＋c2(α1－α2)＋(β1＋β2)C．c1α1＋c2(β1＋β2)＋(β1－β2)D．c1α1＋c2(β1－β2)＋(β1＋β2)正确答案：B涉及知识点：线性方程组3．设α1＝(1，0，2)T及α2＝(0，1，－1)T都是线性方程组Aχ＝0的解，则其系数矩阵A＝【】A．B．C．D．正确答案：A涉及知识点：线性方程组4．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Aχ＝0仅有零解的充要条件是A的【】A．列向量组线性无关．B．列向量组线性相关．C．行向量组线性无关．D．行向量组线性相关．正确答案：A涉及知识点：线性方程组5．设齐次线性方程组的系数矩阵为A．且存在3阶方阵B≠O．使AB＝O，则【】A．λ＝－2且｜B｜＝0．B．λ＝－2且｜B｜≠0．C．λ＝1且｜B｜＝0．D．λ＝1且｜B｜≠0．正确答案：C涉及知识点：线性方程组6．设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m＜n．b为任一m维列向量，则【】A．线性方程组Aχ＝b必无解．B．线性方程组Aχ＝b必有唯一解．C．线性方程组Aχ＝b必有无穷多解．D．A的任意m个列向量都线性无关．正确答案：C涉及知识点：线性方程组7．设矩阵Am×n的秩为r，对于非齐次线性方程组AX＝b，【】A．当r＝m时，Aχ＝b必有解．B．当r＝n时，Aχ＝b必有唯一解．C．当m＝n时，Aχ＝b必有唯一解．D．当r＜n时，Aχ＝b必有无穷多解．正确答案：A涉及知识点：线性方程组8．设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Aχ＝b的3个解向量，且秩(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程绢Aχ＝b的通解χ＝【】A．B．C．D．正确答案：C涉及知识点：线性方程组9．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Aχ＝0和(Ⅱ)：ATAχ＝0，必有【】A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A涉及知识点：线性方程组10．设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A、B均为m×n矩阵，现有4个命题：【】①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(b)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解；③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则秩(A)＝秩(B)；④若秩(A)＝秩(B)，则Aχ＝0与Bχ＝0同解．以上命题中正确的是A．①②B．①③C．②④D．③④正确答案：B涉及知识点：线性方程组11．设A是n阶矩阵，a是n维列向量，且秩＝秩(A)则线性方程组【】A．Aχ＝α必有无穷多解．B．Aχ＝α必有唯一解．C．＝0仅有零解．D．＝0必有非零解．正确答案：D涉及知识点：线性方程组12．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Aχ＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系【】A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B涉及知识点：线性方程组填空题13．设其中a1，a2，a3，a4，a5是两两不同的一组常数，则线性方程组ATX＝B的解是________．正确答案：(1，0，0，0，0)T．涉及知识点：线性方程组14．若方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足的条件是_______．正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0．涉及知识点：线性方程组15．若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ＝______，｜B｜＝_______．正确答案：1，0．涉及知识点：线性方程组16．设n阶方阵A的各行元素之和均为零，且秩(A)＝n－1，则齐次线性方程组AX＝0的通解为_______．正确答案：χ＝kξ，其中k作为任意常数．涉及知识点：线性方程组17．已知线性方程组无解，则a＝_______．正确答案：－1．涉及知识点：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．设向量α1＝(1，0，2，3)，α2＝(1，1，3，5)，α3＝(1，－1，a＋2，1)，α4＝(1，2，4，a＋8)，β＝(1，1，b＋3，5)．问：a，b为何值时，β不能用α1，α2，α3，α4线性表示；a，b为何值时，β能用α1，α2，α3，α4线性表示，并写出该表达式．正确答案：当a＝－1，b≠0时，β不能用α1，α2，α3，α4线性表示；当a≠－1时，有唯一的线性表示：β＝当＝－1，b＝0时，有β＝(－2c1＋c2)α1＋(1＋c1－2c2)α2＋c1α3＋c2α4(c1，c2为任意常数)．涉及知识点：线性方程组19．问a、b为何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?并求有无穷多解时的通解．正确答案：当a≠1时有唯一解；当a＝1且b≠－1时，无解；当a＝1且b＝－1时，通解为χ1＝－1＋c1＋c2，χ2＝1－2c1－2c2，χ3＝c1，χ4＝c2(c1，c2为任意常数)．或涉及知识点：线性方程组20．λ为何值时，线性方程组有解?并求其全部解．正确答案：当λ≠1时无解；当λ＝1时，通解为χ1＝1－c，χ2＝－1＋2c，χ3＝c(c为任意常数)．涉及知识点：线性方程组21．设4元线性方程组(Ⅰ)为，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)＋k2(－1，2，2，1)．(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由．正确答案：(1)由系数矩阵的初等行变换：令χ3＝1，χ4＝0，得ξ1＝(0，0，1，0)T；令χ3＝0，χ4＝1，得ξ2＝(－1，1，0，1)T，则ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一个基础解系．(2)若χ是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，则存在常数λ1，λ2，λ3，λ4，使由此得λ1，λ2，λ3，λ4满足齐次线性方程组解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为λ1＝C，λ2＝C，λ3＝C，λ4＝C，其中C：为任意常数．故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解为C(0，0，1，0)T＋C(－1，1，0，1)T＝C(－1，1，1，1)T，其中C为任意非零常数．涉及知识点：线性方程组22．已知线性方程组的一个基础解系为：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．正确答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是的n个行向量的转置向量．因此，由(Ⅰ)的基础解系可知ABT＝O转置即得BAT＝0因此可知AT的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量．由于B的秩为n(B的行向量组线性无关)，故(Ⅱ)的解空间的维数为2n－r(B)＝2n－n＝n，所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系．已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量，即2n－r(A)＝n，故r(A)＝n，于是可知A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此(Ⅱ)的通解为y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T其中c1，c2，…，cn为任意常数．涉及知识点：线性方程组23．设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础解系．正确答案：由Aχ＝0的解的线性组合都是解知，β1，β2，…，βs都是Aχ＝0的解向量．由于已知Aχ＝0的基础解系含s个向量，所以，只要β1，β2，…，βs线性无关，就可作为基础解系，否则不能作为基础解系．由于β1，β2，…，βs由线性无关向量组α1，α2，…，αs线性表示的系数矩阵为s阶方阵故β1，β2，…，βs线性无关｜P｜＝t1s＋(－1)1+st2s，即当t1，t2满足t1s＋(－1)1+st2s≠0(s为偶数时，t1≠±t2；s为奇数时，t1≠－t2)时，β1，β2，…，βs也是Aχ＝0的一个基础解系．涉及知识点：线性方程组24．设有3维列向量问λ取何值时(1)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一?(2)β可由α1，α2，α3线性表示，但表达式不唯一?(3)β不能由α1，α2，α3线性表示?正确答案：(1)λ≠0且λ≠＝－3；(2)λ＝1；(3)λ＝－3．涉及知识点：线性方程组25．已知线性方程组(1)a、b为何值时，方程组有解?(2)当方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系．(3)当方程组有解时，求出方程组的全部解．正确答案：(1)a＝1，b＝3；(2)ξ1＝(1，－2，1，0，0)T，ξ2＝(1，－2，0，1，0)T，ξ3＝(5，－6，0，0，1)T；(3)(－2，3，0，0，0)T＋c1(1，－2，1，0，0)T＋c2(1，－2，0，1，0)T＋c3(5，－6，0，0，1)T，其中c1，c2，c3为任意常数．涉及知识点：线性方程组26．k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解．正确答案：(1)当k≠1且k≠4时，有唯一解：(2)当k＝－1时，方程组无解；(3)当k＝4时，有无穷多解，通解为χ＝(0，4，0)T＋c(－3，－1，1)T．涉及知识点：线性方程组27．设有线性方程组(1)证明：当a1，a2，a3，a4两两不等时，此方程组无解；(2)设a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)时，方程组有解β1＝(－1，1，1)T，β2＝(1，1，－1)T，写出此方程组的通解．正确答案：(1)此时，增广矩阵的行列式是一个4阶范德蒙行列式，不等于零，故r()＝4，而r()≤3．故方程组无解；(2)r(A)＝r()＝2＜3，方程组有无穷多解．导出组Aχ＝0的基础解系含3－r(A)＝3－2＝1个解向量．可取其基础解系为β1－β2＝(－2，0，－2)T．故此方程组的通解为χ＝β1＋c(β1－β2)＝(－1，1，1)T＋c(－2，0，2)T．涉及知识点：线性方程组28．设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX＝B有解的充分必要条件是r(A)＝r(AB)．正确答案：设B、X按列分块分别为B＝[b1b2…bp]，X＝[χ1χ1…χp]，则AX＝B即[Aχ1Aχ2…Aχp]＝[b1b2…bp]，故AX＝B有解线性方程组Aχj＝(j＝1，2，…，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得AN＝B有解r(A)＝r[Abj](j－1，2，…，p)A的列向量组的极大无关组也是矩阵[Ab](j＝1，2，…，p)的列向量组的极大无关组r(A)＝r[Ab1b2…bp]＝r(AB)．涉及知识点：线性方程组29．设矩阵X＝(χij)3×3为未知矩阵，问a、b、c各取何值时，矩阵方程Aχ＝B有解?并在有解时，求出其全部解．正确答案：由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)＝a＝1，b＝2，c＝1，于是由上题知Aχ＝B有解a＝1，b＝2，C＝1．此时，对矩阵D作初等行变换：于是若将矩阵B按列分块为B＝[b1b2b3]，则得方程组Aχ＝b1的通解为：η1＝(1－l，－l，l)T；方程组Aχ＝b2的通解为：η2＝(2－m，2－m，m)T；方程组Aχ＝b3的通解为：η3＝(1－n，－1－n，n)T，所以，矩阵方程Aχ＝B的通解为χ＝[η1η2η3]＝，其中l，m，n为任意常数．涉及知识点：线性方程组30．已知齐次线性方程组其中ai≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．正确答案：方程组的系数行列式｜A｜＝bn-1(b＋ai)，故当｜A｜≠0，即b≠0且b＋ai≠0时，方程组只有零解．当b＝0或b＋ai＝0时，方程组有非零解．当b＝0时，设a1≠0，由系统矩阵A的初等行变换：得方程组的基础解系可取为：当b＋ai＝0时，有b＝－ai≠0，由系数矩阵的初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为：χ2＝χ1，χ3＝χ1，…，χn＝χ1(χ1任意)，令自由未知量χ1＝1，则方程组的基础解系可取为ξ＝(1，1，…，1)T．涉及知识点：线性方程组31．设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：正确答案：当秩(A)＝n时，｜A*｜＝｜A｜n-1≠0，故秩(A*)＝n．当秩(A)＝n－1时，｜A｜＝0且A中至少有某个元素的代数余子式不等于零，A*≠O，秩(A*)≥1，再由A*A＝｜A｜E＝O知，A的列向量均为方程组A*χ＝0的解向量，n－秩(A*)≥秩(A)＝n－1，秩(A*)≤1，综合前已证过的秩(A*)≥1，得秩(A*)＝1．若秩(A)≤n－2，则A的每个元素的代数余子式都为零，A*＝O，秩(A*)＝0．涉及知识点：线性方程组32．设α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋26)T，β＝(1，3，－3)T，试讨论当a，b为何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求表示式．正确答案：设有一组数χ1，χ2，χ3，使得χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β(*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当a＝0，b为任意常数时，有可知r(A)≠r()，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)＝r()＝3，方程组(*)有唯一解：，χ3＝0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β＝(3)当a＝b≠0时，对施行初等行变换：可知r(A)＝r()＝2，故方程组(*)有无穷多解，通解为，χ3＝c，其中c为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β＝α2＋cα3．涉及知识点：线性方程组33．已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．正确答案：将解向量χ＝(1，－1，1，－1)T代入方程组，得λ＝μ．对方程组的增广矩阵施行初等行变换：(1)当λ≠时，有因r(A)＝r()＝3＜4，故