2021-2022学年广东省名校联盟高二下学期6月联考数学试题(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat6页2021-2022学年广东省名校联盟高二下学期6月联考数学试题一、单选题1．过点且与直线垂直的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直求出直线斜率，再由点斜式即可求出方程.【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，则所求直线方程为，即.故选：C.2．已知等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，则a10的值是（）A．16 B．14 C．6 D．5【答案】D【分析】用等比数列的性质求解．【详解】∵是等比数列，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查等比数列的性质，灵活运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题．在等比数列中，正整数满足，则，特别地若，则．3．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得到，，解得答案.【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.4．已知，若，则（

）A．1 B．-1 C．-81 D．81【答案】B【分析】先令，求得，再令求得，然后令求得所求表达式的值.【详解】令，得；令，得，所以，即；令，得.故选B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力.属于基础题.5．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（

）A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003【答案】A【分析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解【详解】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.故选：A6．已知数列满足，，数列满足，，则（

）A．64 B．81 C．80 D．82【答案】A【分析】根据已知条件，结合目标数列的定义中的条件，探究数列的递推关系，得到，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，进而利用累加法求得.【详解】数列满足，可得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以，数列满足，，，，则.故选：.7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意计算出总情况数和符合要求的情况数，利用古典概型概率公式即可得解.【详解】将这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动共有种情况；每个宣传小组至少选派1人分为以下几种情况：①可回收物或餐厨垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有种情况；②有害垃圾或其他垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有种情况；故所求概率.故选：C.【点睛】本题考查了计数原理的应用与古典概型概率的求解，考查了分类讨论思想，属于中档题.8．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【分析】求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，又由函数在上有两个极值点，则，即在上有两解，即在在上有不等于2的解，令，则，所以函数在为单调递增函数，所以且，又由在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由函数在为单调递增函数，所以，综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、多选题9．记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．的最大值为C． D．【答案】AC【分析】设等差数列的公差为，由，求得，结合等差数列的通项公式和求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由，所以，所以A正确；因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；由，所以，所以C正确；因为，所以，即，所以D错误.故选：AC.10．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D正确．故选：ABD．11．圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为【答案】ABD【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD12．已知曲线：，以下判断正确的是（

）A．曲线与轴交点为B．曲线关于原点对称C．曲线上的点的纵坐标的取值范围是D．曲线上点到原点的距离最小值为【答案】BCD【分析】根据所提供的解析式，逐项分析即可.【详解】对于A，令y=0，有，即与x轴的交点为，故A错误；对于B，若（x,y）满足，将(-x,-y)代入得：，即曲线C是关于原点对称的，故B正确；对于C，欲求y的范围，只需令x=0即可，有或（舍），，即y的取值范围是，故C正确；对于D，设曲线C上的点的坐标为（x,y），到原点的距离的平方为，由解析式：得，，如欲r尽可能地小，则，解得，，故D正确；故选：BCD.三、填空题13．已知抛物线上一点与焦点的距离为，则的横坐标是___________.【答案】【分析】利用抛物线的定义可求得点的横坐标.【详解】设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，故.故答案为：.14．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.【答案】【解析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【详解】的二项展开式的通项公式：，令，解得.∴，解得.故答案为：-2.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.15．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为.乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中次，则甲命中目标的概率为__________.【答案】【分析】计算得到目标至少被命中次的概率、目标至少被命中次且甲命中目标的概率，由条件概率公式可求得结果.【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中次”，则，，.故答案为：.16．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.【详解】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.又，.故答案为：2023四、解答题17．设数列满足.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用数列通项和前n项和的关系求解；（2）根据，利用裂项相消法求解.【详解】(1)解：数列满足，当时，得，时，，两式相减得：，∴，当时，，上式也成立.∴；(2)因为，，∴，.18．已知函数.(1)求函数在区间上的最大值；(2)过原点作曲线的切线，求切线的方程.【答案】(1)最大值为2(2)或【分析】（1）求导，求得极值和端点值求解；（2）令切点为，求得切线方程，然后由切线过原点求解.【详解】(1)解：由题意得，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数在区间上的最大值为2；(2)令切点为，因为切点在函数图象上，所以，，所以在该点处的切线为因为切线过原点，所以，解得或，当时，切点为，，切线方程为，当时，切点为，，切线方程为，所以切线方程为或.19．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌名相互独立，猜对两首歌曲､歌名的概率分别为0.8､0.5，且猜对两首歌曲､歌名分别可得奖金为元，元（）.规则规定：只有在猜对第一首歌名的情况下，才有资格猜第二首歌名.(1)若，，该嘉宾选择先猜，再猜，求他得到奖金的分布列及均值；(2)从得到奖金的均值的角度，该嘉宾应选择怎样的猜歌顺序，才能得更多的奖金？【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：(2)答案见解析【分析】（1）的可能取值为0，1000，3000，分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望；（2）设先猜，再猜得到奖金为，先猜，再猜得到奖金为，得到的可能取值为0，，，的可能取值为0，，，分别求得其均值判断.【详解】(1)的可能取值为0，1000，3000，，所以分布列为x010003000p0.20.40.4∴(2)设先猜，再猜得到奖金为，先猜，再猜得到奖金为则的可能取值为0，，，的可能取值为0，，，，，，，，当时，即，即，先猜与先猜一样当时，即，即，应先猜当时，即，即，应先猜20．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的余弦值；（2）计算出平面的一个法向量的坐标，假设存在点，设，其中，求出的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解.【详解】(1)解：，，，得，由题意，因为，所以，，又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的余弦值为.(2)解：由（1）得，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，假设存在点，设，其中，，由已知可得，得，即，解得或，因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.21．已知椭圆方程为（），其右焦点与抛物线的焦点重合，过且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于､两点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与（1）中椭圆相交于､两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），且，，成等比数列；设的面积为，以､为直径的圆的面积分别为，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和求解；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据，，构成等比数列，结合韦达定理求得k,再由，得到m的范围，进而求得,得到求解.【详解】(1)解：椭圆方程为，，即，由抛物线方程得，∴，解得，故而，所以椭圆方程为；(2)设直线的方程为，，，因为，，三点不共线，所以，由，得，由韦达定理得：由，得到，∵，，构成等比数列，∴，即：，由韦达定理代入化简得：.∵，∴，故，，∵，，则，为定值.∴，又，当且仅当时等号成立.当时，直线和一条斜率不存在，一条斜率为0，故，综上：的取值范围是.22．已知函数（1）当时，判断函数的单调性；（2）讨论零点的个数.【答案】（1