第1章 有理数（易错必刷30题11种题型专项训练）（解析版）

第1章有理数（易错必刷30题11种题型专项训练）一．正数和负数（共5小题）1．（2022秋•定远县校级月考）某品牌大米包装袋上印有【（9±0.10）（kg）】字样．即标准重量为9kg，上下偏差不超过0.1kg就符合标准．则下列不符合标准的是（）A．9.15kg B．8.95kg C．9.05kg D．8.90kg【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．【解答】解：∵9﹣0.1＝8.9（kg），9+0.1＝9.1（kg），∴质量合格的取值范围是8.9kg～9.1kg．所以四个选项中只有9.15kg不合格．故选：A．【点评】本题主要考查了正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，属于基础题．2．（2022秋•怀远县校级月考）在﹣3.5，﹣2.1，0，﹣1，﹣4，5这6个数中，负数有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用负数定义判断即可．【解答】解：在﹣3.5，﹣2.1，0，﹣1，﹣4，5这6个数中，负数有﹣3.5，﹣2.1，﹣1，﹣4，共4个．故选：D．【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握负数的定义是解本题的关键．3．（2022秋•南陵县期中）若a是有理数，则下列叙述正确的是（）A．|a|一定是正数 B．﹣a一定是负数 C．﹣|a|可能是0 D．﹣|a|一定是负数【分析】根据正数和负数的概念及绝对值的性质即可得出答案．【解答】解：A．当a＝0时，|a|＝0，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；B．当a＜0时，﹣a是正数，故本选项不合题意；C．当a＝0时，﹣|a|＝0，故本选项符合题意；D．当a＝0时，﹣|a|＝0，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查有理数的相关概念，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质．4．（2022秋•怀远县校级月考）若规定向东为正，则向东走100m记作+100m，向西走200m记作﹣200m．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：若规定向东为正，则向东走100m记作+100m，向西走200m记作﹣200m．故答案为：+100；﹣200．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．5．（2022秋•颍州区校级期末）2020年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织其中，其中闻名于世的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了5万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日10月8日人数变化+0.6+0.2+0.1﹣0.2﹣0.8﹣1.6﹣0.1（1）10月3日的人数为5.8万人；（2）这八天，游客人数最多的是10月4日，达到5.9万人；游客人数最少的是10月8日，为3.2万人；（3）这8天参观故宫的总人数为39万人；（4）如果你们一家人打算在下一个国庆节参观故宫，请你对你们的出行日期提一个建议．【分析】（1）根据题意计算出10月2日的人数再加上0.6，10月3日的人数再加上0.2即可；（2）分别计算出每天的人数，即可作出判断；（3）根据（1）（2）把8天的人数相加即可；（4）答案不唯一，只要合理即可．【解答】解：（1）2日的人数为：5+0.6＝5.6（万人），3日的人数为：5.6+0.2＝5.8（万人）．故答案为：5.8；（2）4日的人数为：5.8+0.1＝5.9（万人），5日的人数为：5.9﹣0.2＝5.7（万人），6日的人数为：5.7﹣0.8＝4.9（万人），7日的人数为：4.9﹣1.6＝3.3（万人），8日的人数为：3.3﹣0.1＝3.2（万人），所以这八天，游客人数最多的是10月4日，达到5.9万人．游客人数最少的是10月8日，达到3.2万人．故答案为：4，5.9，8，3.2；（3）5+5.6+5.8+5.9+5.7+4.9+3.3+3.2＝39.4≈39（万人）．故答案为：39；（4）为了安全，尽量把参观日期向后安排．【点评】此题考查的是正数和负数及有理数的运算，关键是正确理解表中数据的含义，正确计算出每天的人数．二．有理数（共2小题）6．（2022秋•蚌山区校级月考）下列叙述正确的是（）A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数绝对值越大，离原点越远【分析】分别根据正数和负数的定义，有理数的分类以及绝对值的定义逐一判断即可．【解答】解：A．不是正数的数一定是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；B．正有理数包括正整数和正分数，原说法错误，故本选项不合题意；C．整数不是正整数就是负整数，说法错误，0是整数，但0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D．有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了有理数，正数和负数以及绝对值，掌握有理数的分类是解答本题的关键．7．（2022秋•霍邱县校级月考）在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是（）A．﹣ B． C．﹣π D．﹣4【分析】根据负整数的意义，即可解答．【解答】解：在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是﹣4，故选：D．【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．三．数轴（共4小题）8．（2021秋•蚌埠期末）如图，在数轴上有A、B两个动点，O为坐标原点．点A、B从图中所示位置同时向数轴的负方向运动，A点运动速度为每秒2个单位长度，B点运动速度为每秒3个单位长度，当运动0.8秒时，点O恰好为线段AB的中点．【分析】结合数轴判断当点O恰好是线段AB的中点时要满足远动之后AO＝BO，可设时间为x秒，根据题意列一元一次方程进行求解．【解答】解：由数轴可知：A：﹣2，B：6，设运动x秒时，点O恰好是线段AB的中点，由所给数轴知运动前：AO＝|0﹣（﹣2）|＝2，BO＝|6﹣0|＝6，所以运动x秒时，AO＝2+2x，BO＝6﹣3x，当点O在线段AB上时，6﹣3x＞0，得x＜2，因为点O恰好是线段AB的中点，所以令AO＝BO得：2+2x＝6﹣3x，得x＝0.8，此时x＝0.8＜2，符合题意，故答案为：0.8．【点评】本题考查了数轴及一元一次方程的列法，解题的关键在于要认真审题列方程，注意要考虑周全．9．（2021秋•定远县校级期末）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果是﹣2a．【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a，故答案为：﹣2a．【点评】此题考查了数轴以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2021秋•庐阳区期末）如图，点A在数轴上表示的数是﹣9，点D在数轴上表示的数是12，AB＝4（单位长度），CD＝2（单位长度）．（1）则点B在数轴上表示的数是﹣5，点C在数轴上表示的数是10，线段BC的长＝15（单位长度）；（2）若点P是线段BC的中点，则P点在数轴上表示的数是：2.5；（3）若点Q是坐标轴上的点，且QC＝2QB，则Q点在数轴上表示的数是0或﹣20．【分析】（1）根据数轴上两点间距离进行计算即可；（2）根据数轴上两点间距离进行计算即可；（3）分两种情况，点Q在点B的右侧，点Q在点B的左侧．【解答】解：（1）∵﹣9+4＝﹣5，∴点B在数轴上表示的数是﹣5，∵12﹣2＝10，∴点C在数轴上表示的数是10，∵10﹣（﹣5）＝10+5＝15，∴线段BC的长为15（单位长度），故答案为：﹣5，10，15；（2）设P点在数轴上表示的数是x，∵点P是线段BC的中点，∴BP＝CP，∴10﹣x＝x﹣（﹣5），∴10﹣x＝x+5，∴x＝2.5，∴P点在数轴上表示的数是2.5，故答案为：2.5；（3）设Q点在数轴上表示的数是a，分两种情况：当点Q在点B的右侧时，∵QC＝2QB，∴10﹣a＝2[a﹣（﹣5）]，∴10﹣a＝2（a+5），∴a＝0，当点Q在点B的左侧时，∵QC＝2QB，∴10﹣a＝2（﹣5﹣a），∴10﹣a＝﹣10﹣2a，∴a＝﹣20，∴Q点在数轴上表示的数是0或﹣20，故答案为：0或﹣20．【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．11．（2022秋•蜀山区校级月考）我们知道，若有理数x1，x2表示在数轴上得到点A1，A2，且x1＜x2，则点A1与点A2之间的距离为|x2﹣x1|＝x2﹣x1，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：（1）若点C在数轴上表示的数为﹣5，求m+n的值；（2）若m+n＝7，请你直接写出点C表示的数为±3.5；（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m＝n，求点C表示的数．【分析】（1）利用两点间的距离求出m，n即可；（2）分两种情况讨论：点C在点A的左侧，点C在点B的右侧；（3）利用两点间的距离列出方程即可．【解答】解：（1）由题意得：m＝﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2，n＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8，所以：m+n＝10；（2）设点C表示的数为x，分两种情况；当点C在点A的左侧时，∵m+n＝7，∴﹣3﹣x+（3﹣x）＝7，∴x＝﹣3.5，当点C在点B的右侧时，∵m+n＝7，∴x﹣（﹣3）+（x﹣3）＝7，∴x＝3.5，故答案为：﹣3.5或3.5；（3）设点C表示的数为y，∵m＝n，∴y﹣（﹣3）＝（3﹣y），∴y＝﹣1．【点评】本题考查了数轴，解决问题的关键是熟练掌握两点间的距离，同时渗透了分类讨论的数学思想．四．相反数（共1小题）12．（2022秋•鸠江区校级月考）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2022与+（﹣2022） B．﹣（﹣2022）与2022 C．﹣（+2022）与+（﹣2022） D．﹣2022与﹣（﹣2022）【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：因为+（﹣2022）＝﹣2022，所以﹣2022与+（﹣2022）相等；因为﹣（﹣2022）＝2022，所以﹣（﹣2022）与2022相等；因为﹣（+2022）＝﹣2022，+（﹣2022）＝﹣2022，所以﹣（+2022）与+（﹣2022）相等；因为﹣（﹣2022）＝2022，所以﹣2022与﹣（﹣2022）互为相反数．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．五．倒数（共1小题）13．（2022秋•定远县校级月考）﹣2.5的倒数是（）A．﹣2.5 B．2.5 C． D．﹣【分析】根据倒数的定义计算即可解答，求一个数的倒数就是把分子分母颠倒位置．【解答】解：﹣2.5＝﹣，因为（﹣）×（﹣）＝1，所以﹣的倒数是﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了倒数．解题的关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．求一个分数的倒数就是把分子分母颠倒位置．六．有理数大小比较（共5小题）14．（2022秋•蒙城县期中）用“＞”或“＜”填空：﹣＜．【分析】两个负数比大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵||＝，|﹣|＝，而，∴：﹣＜．故答案为：＜．【点评】本题主要考查了有理数大小的比较．正确进行有理数大小的比较是解题的关键，有理数大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小．15．（2022秋•霍邱县期中）比较两数大小：﹣＞﹣（用“＜”或“＝”或“＞”填空）．【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝，而，∴，故答案为：＞．【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握两个负数比较大小的方法是解答本题的关键．16．（2022秋•亳州期末）在﹣1，1.2，﹣2，0四个数中，最小的数是（）A．﹣1 B．1.2 C．﹣2 D．0【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵|﹣2|＞|﹣|，∴﹣2＜＜0＜1.2，∴在﹣1，1.2，﹣2，0四个数中，最小的数是﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．17．（2022秋•淮北月考）在下列四个数中，比﹣2023小的数是（）A．﹣2024 B．﹣2022 C．﹣2022.5 D．0【分析】根据有理数的大小比较法则：正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小即可求解．【解答】解：∵|﹣2024|＝2024，|﹣2023|＝2023，|﹣2022|＝2022，|﹣2022.5|＝2022.5，∴﹣2024＜﹣2023＜﹣2022.5＜﹣2022＜0，∴比﹣2023小的数是﹣2024．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．18．（2022秋•无为市月考）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．（1）比大小：|c|＞|b|，﹣a＞b；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）化简：|2b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号，进而可得出结论；（2）根据（1）中a，b，c的符号去绝对值符号即可．【解答】解：（1）由图可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞b，∴|c|＞|b|，﹣a＞b．故答案为：＞，＞；（2）∵c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞b，∴2b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴|2b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝2b+b﹣c﹣（a﹣c）＝3b﹣c﹣a+c＝3b﹣a．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点和绝对值的性质是解题关键．七．有理数的减法（共2小题）19．（2021秋•长丰县期末）已知|a|＝5，b＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．2或﹣8 D．2【分析】根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：由|a|＝5，b＝3，且满足a+b＜0，得a＝﹣5，b＝3．∴a﹣b的值为﹣5﹣3＝﹣8，故选：A．【点评】本题考查了有理数的加减法，求出a、b的值是解答本题的关键．20．（2022秋•淮北月考）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1）问题（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝10；（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝3；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m．【分析】（1）根据点M、N代表的数分别为﹣9和1，可得线段MN＝1﹣（﹣9）；（2）根据点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，可得线段EF＝﹣3﹣（﹣6）；（3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为m，即可得到|m﹣2|＝5．【解答】解：（1）∵点M、N代表的数分别为﹣9和1，∴线段MN＝1﹣（﹣9）＝10；故答案为：10；（2）∵点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，∴线段EF＝﹣3﹣（﹣6）＝3；故答案为：3；（3）由题可得，|m﹣2|＝5，解得m＝﹣3或7，∴m值为﹣3或7．【点评】此题考查了有理数的减法，数轴以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键．八．非负数的性质：偶次方（共1小题）21．（2021秋•霍邱县期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．九．有理数的混合运算（共7小题）22．（2022秋•南陵县期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0．乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0．丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16．丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】按照有理数的混合运算顺序，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝9﹣＝，故甲做错了；乙：24﹣（4×32）＝24﹣（4×9）＝24﹣36＝﹣12，故乙做错了；丙：（36﹣12）÷＝（36﹣12）×＝36×﹣12×＝24﹣8＝16；故丙做对了；丁：（﹣3）2÷×3＝9÷×3＝9×3×3＝81，故丁做错了；综上所述，我认为做对的同学是丙，故选：C．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．23．（2022秋•芜湖期中）a，b互为相反数，且都不为0，c，d互为倒数，|m﹣1|＝2，则的值为﹣55或﹣3．【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，m＝3或m＝﹣1，然后分两种情况代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：∵a，b互为相反数，且都不为0，c，d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，∵|m﹣1|＝2，∴m﹣1＝±2，∴m＝3或m＝﹣1，当m＝3时，＝3（a+b）﹣cd+×|m3|＝3×0﹣1+（﹣2）×|33|＝0﹣1+（﹣2）×27＝0﹣1﹣54＝﹣55；当m＝﹣1时，＝3（a+b）﹣cd+×|m3|＝3×0﹣1+（﹣2）×|（﹣1）3|＝0﹣1+（﹣2）×1＝0﹣1﹣2＝﹣3；综上所述：的值为﹣55或﹣3，故答案为：﹣55或﹣3．【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数，绝对值的意义是解题的关键．24．（2022秋•安徽期末）计算：5÷[（﹣1）3﹣4]﹣|﹣1|．【分析】先算乘方，再算除法，有括号先算括号里，即可解答．【解答】解：5÷[（﹣1）3﹣4]﹣|﹣1|＝5÷（﹣1﹣4）﹣1＝5÷（﹣5）﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．25．（2022秋•蚌山区月考）计算：．【分析】先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答．【解答】解：＝﹣1+（﹣2）×（﹣3）﹣9＝﹣1+6﹣9＝5﹣9＝﹣4．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．26．（2022秋•颍州区校级期末）（1）计算：（）×30；（2）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．【分析】（1）用乘法分配律计算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加法．【解答】解：（1）原式＝×30﹣×30+×30＝15﹣20+6＝1；（2）原式＝1×8+（﹣8）×＝8+（﹣2）＝6．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化是结题关键．27．（2022秋•龙子湖区校级月考）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，其中正确的序号是③④．【分析】根据0的相反数是0判断①；对条件进行变形，根据绝对值的性质判断②；根据乘法和加法法则确定a＜0，b＜0，由负数的绝对值等于它的相反数判断③；通过分类讨论可判断④．【解答】解：①若a＝b＝0，则没有意义，故①错误；②∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴b≥a，故②错误；③∵a+b＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴3a+4b＜0，∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故③正确；④若|a|＞|b|，∴a和b分三种情况，a和b同号时，假设a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝﹣1，则（a+b）•（a﹣b）＝3×1＝3或（﹣3）×（﹣1）＝3＞0，a和b异号时，假设a＝﹣2，b＝1或a＝2，b＝﹣1，则（a+b）•（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3或1×3＝3＞0，故④正确；故答案为：③④．【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的加法，减法，乘法，除法，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．28．（2022秋•庐江县期中）小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]；（3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运