17.1 第3课时 勾股定理 教学设计

人教版八下17.1.3勾股定理（第3课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，搭建起了几何图形与数量关系之间的桥梁，是平面几何最重要的定理之一，在实际生活与数学学科中都有着广泛的应用.本节课应用勾股定理解决简单的实际问题，进一步培养学生数学建模的核心素养.概念解析应用勾股定理解决实际问题，需先从实际问题中抽象出直角三角形，再利用勾股定理已知两边求出第三条边的长，最后将数学问题的解转化为实际问题的解.思想方法应用勾股定理解决实际问题的过程体现出了数学建模的思想，可以锻炼学生分析问题和解决问题的能力.知识类型应用勾股定理解决实际问题属于原理和规则性知识，使用勾股定理的前提是在直角三角形中，因此从实际问题中抽象出直角三角形是关键步骤.教学重点应用勾股定理解决实际问题．教学目标解析教学目标能从实际问题中抽象出直角三角形，并运用勾股定理进行简单的计算或证明．目标解析目标达成的标志是对于问题情境中已经给出直角三角形的情况，能根据给定的两条边的长度求出第三条边的长度；如果问题情境中没有给出直角三角形，能正确理解实际问题的情境，抽象出直角三角形，利用勾股定理求出未知边的长度，最终转化为实际问题的解.教学问题诊断分析具备的基础学生已经经历探索勾股定理的全过程，能利用勾股定理在直角三角形中已知两条边的长求出第三条边的长度.与本课目标的差距分析本节课是利用勾股定理解决简单的实际问题，学生需要在理解问题情境的基础上使用勾股定理.存在的问题有些实际问题中并没有直接给出直角三角形，需要在正确理解问题情境的基础上进行抽象或构造，学生可能在抽象的过程中存在障碍.应对策略注重对实际情境的分析，可以从问题出发，组织学生小组合作交流，正确理解实际问题的情境.教学难点从实际问题情境中抽象出直角三角形.教学支持条件分析本节课涉及较多的实际问题，包含文字、图形等信息，在PPT演示的基础上，可以印制学生活动方案便于学生审题和分析.在应用勾股定理解决实际问题的过程中，学生应准备三角板以便于作图.教学过程设计课前检测1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.2.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.3.若一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为__________.设计意图：检测学生对直接应用勾股定理求直角三角形未知边长的掌握情况，包括已知两直角边和已知一直角边一斜边两种情况.复习引入问题1：我们已学习完勾股定理，勾股定理是如何表述的？师生互动设计：文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

.符号语言：如图，在Rt△ABC中，

BC2+AC2

=AB2

或

a2＋b2

＝

c2

.设计意图：回顾勾股定理的内容和表述方式，为应用勾股定理解决实际问题做铺垫.实际应用归纳总结勾股定理建立起了几何图形与数量关系之间的联系，是数学中最重要的定理之一，在实际生活中也有广泛的应用.【例题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？师生互动设计：学生审题，小组内交流对问题的理解.教师巡视，参与学生的交流讨论.若存在困难的学生较多，教师展开追问；若大部分学生能找到解决问题需要的直角三角形ABC，则请小组代表进行展示、讲解.设计意图：根据大部分学生的理解水平设计两种应对方案，教师进行启发性追问或学生代表展示解题思路.追问1：薄木板可以竖着通过门框吗？横着呢？师生互动设计：学生经过审题可以发现，木板的宽为2.2m，大于门框的长，因此无论竖着或横着都不能通过.只能尝试倾斜着通过门框.设计意图：帮助学生理解问题情境，根据题中数据发现木板只能尝试倾斜着通过门框.追问2：若木板倾斜着通过门框，门框能通过的最大长度是多少？师生互动设计：学生观察后发现对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，可以在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度.，

，设计意图：引导学生发现对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，找到Rt△ABC，进而使用勾股定理求出AC的长度.追问3：木板能斜着通过门框吗？师生互动设计：因为AC大于的木板的宽度，所以木板能从门框内通过.设计意图：将数学问题的解转化为实际问题的解，体会数学建模的全过程.【例题2】如图，一架2.6米长的梯子AB

斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO

为2.4米．（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？师生互动设计：对于第（1）问，学生易于发现在Rt△AOB中，直接利用勾股定理求出OB的长度即可.

，则OB=1，即梯子的底端B距墙角O为1米.设计意图：在题中给定的直角三角形中直接使用勾股定理求出线段的长度，从而将实际问题解决.追问1：对于第（2）问，在梯子下滑的过程中，有没有什么不变量？你能画出示意图表示下滑0.5米之后的状态吗？师生互动设计：在梯子下滑过程中，梯子的长度始终不变，由此作出示意图，顶端A下滑至C，底端B外移至D，构成Rt△COD，AC=0.5米，CD=AB=2.6米，求出BD的长度就能求出底端外移的长度.设计意图：引导学生把握变化过程中的不变量，画出示意图，构造直角三角形，将实际问题转化为几何问题.追问2：如何求出BD的长度？师生互动设计：在Rt△COD中，OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9，根据勾股定理得，，因此

所以梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子底端B不是外移0.5米，而是约为0.77米.设计意图：在构造出的直角三角形中使用勾股定理，求出未知线段的长，最终将实际问题解决.

培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活．【例题3】我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？问题可以翻译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与芦苇的长度分别是多少？师生互动设计：在前两个例题的基础上，学生进行小组合作探究，交流讨论自己的想法和解法，教师参与学生的讨论，最终请学生代表进行展示.如图，根据题意，BC=5，AB的长度即为水深，AC的长度为芦苇的长度，因为拉动芦苇的过程中芦苇的长度保持不变，因此AC=AB+1.在Rt△ABC中，可设AB=x,则AC=x+1，根据勾股定理得：，可列方程

，解得x=12，即水深为12尺，芦苇高13尺.设计意图：培养学生阅读提取信息的能力，感受我国古代的数学文化.根据题意抽象出直角三角形后，是已知一边长和另外两边的数量关系，根据勾股定理可以列出方程求解.本题由学生小组探究完成，培养学生分析和解决问题的能力以及合作交流的精神.归纳