高考数学二轮复习 规范解答集训1 三角函数和解三角形 理-人教版高三数学试题

规范解答集训(一)三角函数和解三角形(建议用时：40分钟)1．(2019·昆明模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA－bcosC＝ccosB.(1)求角A；(2)若a＝eq\r(3)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),4)，求△ABC的周长．[解](1)∵2acosA－bcosC＝ccosB，∴2sinAcosA－sinBcosC＝sinCcosB.∴2sinAcosA＝sinA，∵0＜A＜π，sinA≠0，可得cosA＝eq\f(1,2).∴A＝eq\f(π,3).(2)由题意及(1)得，sinA＝eq\f(\r(3),2)，S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4)，∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝2eq\r(3).∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3eq\r(3).2．(2019·郑州三模)在△ABC中，AB＝2eq\r(3)，AC＝eq\r(3)，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.(1)求eq\f(BD,DC)的值；(2)求角A的大小．[解](1)在△ABD中，由正弦定理得：eq\f(BD,sin\f(A,2))＝eq\f(AB,sin∠ADB)，在△ACD中，由正弦定理得：eq\f(CD,sin\f(A,2))＝eq\f(AC,sin∠ADC)，因为sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝eq\r(3)，AB＝2eq\r(3)，∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC)＝2.(2)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcoseq\f(A,2)＝16－8eq\r(3)coseq\f(A,2).在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcoseq\f(A,2)＝7－4eq\r(3)coseq\f(A,2).又eq\f(BD2,CD2)＝4＝eq\f(16－8\r(3)cos\f(A,2),7－4\r(3)cos\f(A,2))，解得coseq\f(A,2)＝eq\f(\r(3),2).又eq\f(A,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(A,2)＝eq\f(π,6)，A＝eq\f(π,3).3.如图，在平面四边形中，AB＝14，cosA＝eq\f(3,5)，cos∠ABD＝eq\f(5,13).(1)求对角线BD的长；(2)若四边形ABCD是圆的内接四边形，求△BCD面积的最大值．[解](1)在△ABD中，sin∠ADB＝sin[π－(A＋∠ABD)]＝sin(A＋∠ABD)＝sinAcos∠ABD＋cosAsin∠ABD＝eq\f(56,65)，由正弦定理得eq\f(BD,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即BD＝eq\f(AB·sinA,sin∠ADB)＝13.(2)由已知得，C＝π－A，所以cosC＝－eq\f(3,5)，在△BCD中，由余弦定理可得BC2＋DC2－2BC·DCcosC＝BD2＝169，则169＝BC2＋DC2＋eq\f(6,5)·BC·DC≥eq\f(16,5)·BC·DC，即BC·DC≤eq\f(5,16)×169，所以S△BCD＝eq\f(1,2)·BC·CD·sinC≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,16)×169))×eq\f(4,5)＝eq\f(169,8)，当且仅当BC＝DC＝eq\f(13\r(5),4)时取等号．所以△BCD面积的最大值为eq\f(169,8).4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab.(1)求角C的值；(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b的取值范围．[解](1)由题意知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可知，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理可知，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(2,sin\f(π,3))＝eq\f(4\r(3),3)，即a＝eq\f(4\r(3),3)sinA，b＝eq\f(4\r(3),3)sinB，∴a＋b＝eq\f(4\r(3),3)(sinA＋sinB)＝eq\f(4\r(3),3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))))＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，又∵△ABC为锐角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜A＜\f(π,2)，,0＜B＝\f(2π,3)－A＜\f(π,2)，))即eq\f