高等数学教案

第一讲极限、无穷小与连续性

知识网络图

二、重点考核点

这部分的重点是：

①掌握求极限的各种方法.

②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法.

③判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限).

④复合函数、分段函数及函数记号的运算.

§1极限的重要性质

1.不等式性质

设limx0==8,且/>8,则存在自然数N,使得当时有x”>为.

“TOO"TOO

设limx,=N,limy“=8,且存在自然数N,当〃〉N时有则

»->00”TOO

作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设limx“=N,且4>0,则存在自然数M使得当

M—>00

时有与>0.设limX"=/,且存在自然数M当〃〉N时有则

“TOO

对各种函数极限有类似的性质.例如：设lim/(x)=4,limg(x)=8,且则存在3>o,使

x—>.r0x—>.r0

得当0<卜-/|v6有/(x)>g(X).设Iim/(X)=N,limg(x)=8,且存在6>0,使得当0

XTX()X->X0

<Ix-xoI<8忖/(x)与g(x),则A^B.

2.有界或局部有界性性质

设limx,=/,则数列｛尤“｝有界，即存在M>0,使得lx,"WM(〃=1,2,3,…).

〃一>8

设limf(x)=4则函数/(x)在x=x0的某空心邻域中有界，即存在6>0和河>0,使得当0

<IX—xoI<6时有|/(X)I&M.对其他类型的函数极限也有类似的结论.

§2求极限的方法

1.极限的四则运算法则及其推广设lim/(x)=A,hmg(x)=B，则

X->X0XT'S

lim[/(x)±g(x)]=A+B；lim/(x)g(x)=AB；=—(5^0).

XTX0XfX。XTX«g(x)B

只要设limf(x),limg(x)存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“9"，“巴”,

XfXox»o000

“0・8”，“8—8”四种未定式以外的各种情形.即：1。设lim/a)=8,limg(x)=5,

X—X。X—>%0

则lim[/(x)±g(x)]=co.lim/°)=oo(g(x)W0)又3和,则lim[/(x)g(x)]=oo.2°设

XTXOXT与g(x)X->X0

lim/(x)=oo，当时g(x)局部有界，(即第>0,加>0,使得O<|x-Xo|<5时|g(x)|<M),

x—>x0

则lim"(x)+g(x)]=oo.

XT.%

设lim/(x)=oo,当x-x。时Ig(x)I局部有正下界，(E归8>0,b>0使得OVI%-xI

Xf%0

V6时|g(%)|26>0),则lim[/(x)g(x)]=8.

XfXo

3°设lim/(x)=oo,limg(x)=8,则lim(/(x)g(x))=8,又m8>0使得OVIx—x0I

XfX。X—>x0X—>x0

V5时/(%)g(%)>0,则lim[/(x)+g(x)]=oo.

40设lim/(x)=0,LX。时g(x)局部有界，则lim(/(x)g(x))=O(无穷小量与有界

X—>X°X—>X0

变量之积为无穷小.)

2.基指函数的极限及其推广

设limf(x)=A>0,limg(x)=8则limf(x严)=AB.

XTX。X—>X0X—>X0

(lim/(x)g⑴=limeg(x)ln/w=e-=eB,n^=T)

x—>.r0x—

只要设lim/(x),limg(x)存在或是无穷大量，上面的结果可以推广到除“广”，“0°”及“8。”三

XfX。XT/

种未定式以外的各种情形.这是因为仅在这三个情况下limg(x)In/(x)是“0・8”型未定式.

1。设lim/(x)=0(OVIx—/IV3时/(x)>0),limg(x)=8wO,则

X—>.r0x—>x0

，,o(B〉0)

limf(x)g(x)=<

xfXo4-00(5<0)

0(0</<l)

2°设lim/(x)=A>0,AW1,limg(x)=+则lim/(x严)=.

I%+oo(A>1)

0(B<0)

3。设lim/(x)=+8,limg(x)=5^0,则lim/(x)"*=<

XTX0XT/Xfx(4-oo(5>0)

【例1】设lim」0)=4,又limg(x)=O,则lim/(x)

XT"°g(x)XTX°XTX°

【分析】lim/(x)=lim・g(x))=/X0=0.

XfXo

【例2】设{%},{bn},{cn}均为非负数列，且lim=0,limb,,=1,lim%=8,则必有

M—>oo//—>00〃一>+oo

(A)。〃<力〃对任意〃成立.(B)b"Vc〃对任意〃成立.

(C)极限lima〃c〃不存在.(D)lim"7c〃不存在.

w—>oon->oo

用相消法求。或差型极限

0oo

V1+tanx-Vl+sinx

【例。求/=lim

x(l-cosx)

【解】作恒等变形，分子、分母同乘Jl+tanx+Jl+sinx得

tanx-sinx

I=lim

XTOx(l-cosx)V1+tanx+Jl+sinx

..tanx(l-cosx)..1

lim------------------lim]:----/.

I。x(l-cosx)3Jl+tanx+Jl+sinx

-1.V4x2+x—14-x+l

［r例2］求/=hm------/——

\Jx2+sinx

【解】作恒等变形，分子、分母同除得

J■■Vxx2xV4+0-1-0

1=lim-------1--------=----------.----=1

LsinxVI+0

利用洛必达法则求极限

【例1】设/G）在x=0有连续导数，又

求/(0)与/•'(()).

2sinx+x2cos-

［例2］求lim-------------------二

XTO(l+cosx)ln(l+x)

【例3】求/=

X

xsinx

【例4】求/=lim—

XT°x-sinx

6sinx+xf(x)八..6+f(x)

【例5】若hm------,--------=0,则nilhm―=__________

XTO£x->0

【例6】求/=lim(tanx)ln(1-Jt).

【例7】设a>0,仅#0为常数且/=limK/+x"户——]=£,则（«,万）

XT+co

【分析】8—8型极限.

,t=l1

1=limx2[(l+x-a)a-1]=^limk?

2

xf+00/->0+t

1i-1.

(l+/")〃a,尸

=lim---------------

一。+2t

0(a〉2)

1--i1

lim上(l+/")"-ta-2=\-(a=2)

~。+22

+00(0<a<2)

因此（a,B）=（2，；）.

分别求左、右极限的情形，分别求lim/I与Hmx2,7的情形

74-AXQinY

【例。设/(x)——+意，求lim/(x).

|X|—°

1+e'

〃+」1l、（T）”

【例2】求/=lim

利用函数极限求数列极限

【例1】求/=lim3(a〉l).

+00QJ”

12

【例2】求/=lim(wtan—)H.

«->+x〃

12।

--------：——n~Z(ntan——1)

n

"tan——1

【解1】I=lim1+(wtan--l)n

M->+OOln

1

tan—

___n_i

1tanx]

转化为求limn2(ntan--1)=lim——---=lim—三——=lim则二_1

〃->+oo〃1x—>0+x_r—>0+X'

-2

n~

.1-cos2X1!

=ltim----；——=—=>/r=e3

2

XTO+3x3

【解2】用求指数型极限的一般方法.

tan-

n2in-^-

1=lime〃

转化为求

tanx

------1

=lim——(等价无穷小因子替换)，余下同前.

x2

§3无穷小和它的阶

1.无穷小、极限、无穷大及其联系

(1)无穷小与无穷大的定义

(2)极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系

limf(x)=A<^>=4+6r(x)

XT/

其中lima{x)=0(f(x)=A+o(l),xf%).

XfXo

o(1)表示无穷小量.

是无穷大量，则!是无

在同一个极限过程中，〃是无穷小量("WO)是无穷大量.反之若

uII

穷小量.

2.无穷小阶的概念

(1)定义同一极限过程中，a(x),p(x)为无穷小，

7声0为有限数，称a(x)与夕(x)为同阶无穷小

/=1时，称c(x)与夕(x)为等价无穷小，记为

设lim空立=/a(x)~p(x)(极限过程)

/=0时，a(x)是比0(x)高阶的无穷小，记为

a(x)=o(夕(x))(极限过程)

定义设在同一极限过程中a(x),B(x)均为无穷小，a(x)为基本无穷小，若存在正数k

与常数/使得lim华］=/H0称6(x)是a(x)的k阶无穷小，特别有lim*H0,

a(x)1的(工一10)

称x—xo时£(x)是(X—x0)的女阶无穷小.

(2)重要的等价无穷小

X-0时sinx〜x,tanx〜x,In(1+x)~x,e'-1〜x；，一1〜xlna,arcsi〃x〜x,

,1,

arctanx~x；(1+x)1〜ax,1-cosx〜—x.

2

(3)等价无穷小的重要性质

在同一个极限过程中

1。若a〜0,比y=a〜Y.

2°a-/3oa=+o([)

3。在求“9”型与“0•8”型极限过程中等价无穷小因子可以替换

0

厂1.1(2+cosxYx1

[^J1]^.1=hm-------------1.

A。/I3J

1叩+•〃;)]

【例2】设lim-------迎M工=5,则1而卒=

,io3X-11。X2

【分析】由已知条件及lim(3'—l)=0=>limln(l+42)=0nlim/9L=0.又在x=0

io3。sin2x—。sin2x

某空心邻域/(x)#0=ln(l+」9L)~」91~/3(xf0),又3"—1〜xln3.于是

sin2xsin2x2x

f(x)/2xf(x)/(x)々

hm-----=lim；=5=>hm=i1n0l1n3.

x-oxln3XTO2Xln3―。x

【例3】设x-*a时a(x),分(x)分别是x—a的〃阶与〃7阶无穷小，又lim〃(x)=4w0,则x

K—>a

f4时

(1)a(x)h(x)是4一夕的阶无穷小.

(2)a(x)(3(x)是x—〃的阶无穷小.

(3)〃<加时，a(x)±〃(x)是x一夕的阶无穷小.

(4)时是x—a的阶无穷小.

夕⑴----------

(5)人是正整数时，〃是x—。的阶无穷小.

以上结论容易按定义证明。例如，已知lim/(Y)=A^0，

u(x-a)n

咧#=B'°n四此需=理号.'".BHORG)g⑴是x

~a的勿+〃7阶无穷小.

【例4】设/(%)连续，x-p时f(x)是x—a的n阶无穷小，求证：，f(t}dt是x—。的〃+1

阶无穷小.

【例5】x~0时，是*的阶无穷小；值―五是x的阶无穷小;

"1"+xx'2D--------

--------是x的----------阶无穷小，|sin广力是x的阶无穷小.

ln(l+x)小

【例6】xf0时，下列无穷小中()比其他三个的阶高,

(A)x2(B)1—cosx(C)\l\-x2—1(D)X—tanx

【例7】当x-0时，/(x)=£sin广成与g(x)=/+工4比较是()的无穷小.

(A)等价(B)同阶非等价

(C)高阶(D)低阶

§4连续性及其判断

i.连续性概念

(1)连续的定义：

函数/(x)满足limf(x)=f(x),则称/(x)在点x=x()处连续;/(x)满足lim/(x)=/'(x)

xfo0XT/+0

(或limf(x)=/(x0)),则称/(x)在x=x()处右(或左)连续.

若/(x)在(a,b)内每一点连续，则称/(x)在(a,b)内连续；若/(x)在(a,b)内连续，

且在x=。处右连续，在点x=b处左连续，则称/(x)在口，勾上连续.

(2)单双侧连续性

f(X)在X=Xo处连续旬(X)在X=Xo处既左连续，又右连续.

(3)间断点的分类：

设/.(X)在点x=xo的某一空心邻域内有定义，且我是/G)的间断点.

若/(x)在点x=xo处的左、右极限/(加一0)与/(必+0)存在并相等，但不等于函数值/(xo)

或/(X)在Xo无定义，则称点X。是可去间断点；若/(X)在点X=Xo处的左、右极限/(Xo—0)

与/(xo+O)存在但不等，则称点Xo是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点.

若/(x)在点x=x()处的左、右极限)(x()—0)与/(xo+0)至少有一个不存在，则称点沏为第

二类间断点.

2.函数连续性与间断点类型的判断：

若/(X)为初等函数，则/(x)在其定义域区间D上连续，即当开区间(a,b)uD,则/(x)

在(a,b)内连续；当闭区间［c,旬uD,则/(x)在［c,山上连续.若/(x)是非初等函数或不

清楚它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算，反函数运算与复合运算)

来判断.当/(x)为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性.

判断了(x)的间断点的类型，就是求极限lim/(x).

x—>xo±0

3.有界闭区间［a,加上连续函数的性质：

最大值和最小值定理：设/(X)在闭区间口，仪上连续，则存在f和〃b］,使得

/(Ug(x)W/("),(aWxWb)

有界性定理：设/(x)在闭区间口，句上连续，则存在M>0,使得

If(x)IWA/,(aWxWb)

介值定理：设函数/(x)在闭区间［。，与上连续，且/(a)刊(b),则对/Q)与/(b)之间的

任意一个数c,在(a,b)内至少存在一点己，使得=c

推论1(零值定理)：设/'(x)在闭区间口，b］上.连续，且/(a)/(/>)<0,则在(a,b)内至

少存在一点使得/(&)=0

推论2：设/(x)在闭区间［a,b］上连续,且加和“分别是/G)在［a,句上最小值和最大值，

若m<M,则/(x)在口，回上的值域为阿，M\.

【例1】函数/(%)=,⑻s:、二2)在下列।那个区间内有界.

x(x-l)(x-2)2

(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).

【分析一】这里二有界.只须考察g(x):sin(x-2)是初等函数，它在定义域(x

|x|S(x-l)(x-2)2

#1,x/2)上连续，有界闭区间上连续函数有界，［-1,0］u定义域，g(x)在［一1,0］有界，选

(A).

【分析二】设〃(x)定义在(a,b)上，若lim〃(x)=oo或limh{x)=oo,则〃(x)在(a,b)

x—>a+0x->h-Q

无界.因lim/(x)=oolim/(x)=oo=>/(x)在(0,1),(1,2),(2,3)均无界.选(A).

x->\x->2

X，xW2

x2XW1

【例2】设/(x)=〈g(x)=<2(x-l)2<xW5

1-xX>1

x+35<x

讨论y=/(g(%))的连续性，若有间断点并指出类型.

【分析与解法1】先求/(g(x))的表达式.

gXx)(g(x)Wl)

/(g(x))=«

l-g(x)(g(x))>1)

x2(xWl)

1-x(Kx^2)

n/(g(x))=,

l-2(x-l)(2<xW5)

1—(x+3)(5<x)

在(一8,1),(1,2),(2,5),(5,+8),/(四))分别与初等函数相同，故连续.x=2或

5时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右连续=/(g(x))在x=2或5连续.x=l时

lim/(g(x))=lim(1-x)=0

x->l+0x->l+0

2

Alim/(g(x))=Hmx=l

nx=l是/(g(x))的第一类间断点(跳跃间断点).

【分析与解法2】不必求出/(g(x))的表达式.

g(x)的表达式中，x=2或5处可添加等号，左、右连接起来=>g(x)在(-8,+co)处处连续.

/(")=<""、1,"W1时连续.

1-wu>\

u=g(x)=l=x=1

因此，xWl时由连续函数的复合函数是连续的R(g(x))连续x=1时

lim/(g(x))=lim/(x)=lim(1-x)=0

X->l+OXTl+OX-»l+O

lim/(g(x))=Hm/(x)=Hmx21

n工=1是/(8(工))的第•类间断点.

第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用

一、知识网络图

定义

导数，可微性与微分概念

一相互联系可微=可导:连续

一

元

函［奇偶函数与周期函数的导数性质

数

微

分

学

的

概求导方法导数与微分的四则运算法则

念

计」复合函数求导当与一阶微分形式不变困

算

-微分法则-「嘉指斐函数『口”6求导法

与

简

由复合函数_反函数求导法

单

应一求导法导出

隐函数求导法

用的微分法则

校限积分求导法I

-分段函数求导法

参数式求导法（数三，数四不要求）

求n阶导数表达式的方法

二、重点考核点

这部分的重点是

①导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导

与连续的关系.

②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，基指数函数，反

函数，隐函数，变限枳分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求〃阶导数

表达式.

③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率.

④导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）.

§1一元函数微分学中的基本概念及其联系

1.可导与可微的定义及其联系

/(X)在X。可导：

lim~~~~~—•lim/-/(’Q)—/'(X。)

XTX。X—玉)—Ax

/(4.卜彳)二,(&)=〃+0(1)(Axfo),。⑴即无穷小量

0

/(X)在/可微：

/(x0-FAx)-/(x0)=Atsx+o(Ar)(Ax—>0)

/(刈邑=Xo的微分"(x)[f=NAr=/'(Xo)Ax=/'(%)小

U

〃x)在x=x。连续

2.几何意义与力学意义----------------

/'(Xo)是曲线产/(X)在点(劭，<xo))处切线的斜率.

#(x)|v=jro=/'(X。)Ax是相应于At该切线上纵坐标的增量・

质点作直线运动，/时刻质点的坐标为x=x。)，x'«o)是/=如

时刻的速度.

3.单侧导数与双侧导数

f(X)在X=Xo可导。/'+X0),/_(工0)均存在且相等.

此时/'(%)=/'+(/)=(%)

/(/)=lime+—"),/<。)=lim八通十竺)一八陶.

Ax-->o+AxAXT(TAX

【例。说明下列事实的几何意义(1)/(xo)=g(xo),f'(x0)=g'(x0).

(2)/(x),蛉)在AXo处有连续二阶导数，f(x0)=g(x°),/(X。)=g'(x0),

f(x0)=g"(xo)^O.

(3)Ax)在X=Xo处存在/+(Xo),/'_(Xo),但/+(Xo)H/'_(Xo).

(4)y=fix')在x=xo处连续且lim―'"。)=oo.

・f%x-x0

e(x)x-d<x^x,,

【例2】/(x)=:nnB>0为某常数.设8(/)=〃(/)这_(%)，3(/)均存

h{x)x0<x<x0+o

在且g'_(Xo)=〃：(Xo).

求证：/'(X。)存在且广(X。)=g'.(x0)=h+(x0).

【例3】请回答下列问题：

(1)设y=/(x)在x=xo可导，相应于Ar有

r

Ay=/(xo+Ar)—f(xo),dy—/(x0)Ax

Ar-O时它们均是无穷小.试比较下列无穷小：

Ay是Ax的无穷小；\y-dy是Ar的无穷小；

/'(%())，。时W与均是无穷小•

(2)龙/与A〃是否相等？

【例4】设/(x)连续，试讨论/'(%)的存在性与|/(8)|'|旧()的存在性之间的关系.

(1)考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析/'(%)存在与存在之间的

关系.

(2)/(x0)¥0时，求证：/'(x。)存在o|/(x)L%存在.

【证明】因/(x0)W0,由连续性，^35>0,使得当Ix-xoI<6时有/(x)>0或/(x)<0,

于是在劭该邻域内必有If(x)I=/x)或"(x)I=—危)之一成立，故在点％=劭处两个

函数的可导性是等价的.

(3)/(x0)=0时，求证：=存在.

【证明】设/(xo)=0.

存在。liml/(Xo+Ar)|-|/(xo)LHm1/(…)T/(x0)l

Ar—o+©-o-Ax

lim0)=lim，您+人旬於0)

6->0+AXAr-。-Ax

Olimn鱼但1:liml/(Xo+Ax)|=o

A-0+AxAsO-Ax

olim/(x°+Ax)-/(X。)=oQ0

aAr

综合可得，题目中结论(2)和(3)成立.也可以概括为：点x=均是可导函数/(x)的绝对值

函数I/(x)I的不可导点的充分必要条件是它使得/(m)=0但/,'(Xo)。。.

【评注】论证中用到显然的事实：lim/'(x)=0olim|/(x)|=0.

xTax->a'

【例5】设函数<x)连续，且/'(0)>0,则存在Q0,使得

(A)/(x)在(0,J)内单调增加.(B)/(x)在(-50)内单调减少.

(C)对任意的xe(0,3)有/(x)>/(0).(D)对任意的xe(-J,0)有/(x)>/(0).

§2一元函数求导法

反函数求导法:

设/(X)在区间可导，/'(x)#0,值域区间为/,,,则它的反函数x=9⑶)在4可导且

C\

夕，8)=」_|虫

Idx>

d~x

【例】设y=y(x)满足y'=2e、，求它的反函数的二阶导数「•・

的

dr1I-d-xd(1-1dr1_2x

dyy(x)2dy-dr12Jdy4

变限积分求导法：

设函数/(x)在［。，切上连续，则/(x)=(/⑺也在［a,6］上可导，且

F\x)-/(X),

设/(x)在［a包上连续,当xw［a,句时函数〃(x),v(x)可导,且〃(x)和v(x)的值域不超出

［c,d］,则尸(x)=「'7(/)d/在®a上可导，且

F\x)=f(u(x))ur(x)-f(y{xy)u\x)，(a4Wb)

【例1】设/(X)在(-8,+OO)连续且

。(*)=］：―/(》"-5")由，

求0'(x).

1e

【例2】设)(X)在(-8,+8)连续，又。(x)=5，(x—7)2八/)由，求“(X),0"(x).

【例3】设0(x)='(『言5山)的，求0〃(x).

【例4】设/(x)为连续函数，F(/)=Jdyji/(x)dx,则歹'(2)等于

(A)If(2).(B)f(2).(C)~f(2).(D)0.

【分析一】先用分部积分法将产(/)化为定积分.

E")=f/(x)dx)U=(yf/(x)dx),-{yd(f/(x)dx)

=-1/(x)dx+J#(y)dy=](x-1)/(x)dr

nF(f)=(1)/«),/(2)=/(2),选(B).

【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形.

，⑺=J(1/(x)*)dy+J(]/(x)dx)dy=[(]/(x)dx)dy+(/—1)J/(x)dr

=/⑺=J7(x)及+J/(x)dr+(-1)/(。=(/—1)/(。

F\2)=/(2).选(B).

【分析三】交换积分顺序化为定积分.

勺)=JJ7(x)dxd湍伸./(9

D

=J(xT)/(x)dr

【分析四】特殊选取法.取/(X)=1(满足条件)

nF(t)=[d“/(x)dx=Jd“ldx=J(Z=-1(/-y)2=1(/-1)

力，2y=l2

F(/)=/—1,尸⑵=l=/(2).选(B).

隐函数求导法：

【例。y=y(x)由sinQ?+y2)+e*—町之=0所确定，则包=

dr

【例2】y=y(x)山下列方程确定，求史,金?.

--drdx2

(1)x+arctany=y；

【解】对X求导=1+—=

1+厂

解出yWy=l+-L.再对X求导得y"=-^-y'=_2(1+尸).

yyy

(2)xefM=ey,其中/〃(x)存在，/'(x)Hl.

【解】对X求导得

f(y)y

e〃，)+xef'(y)y'^ey'

利用方程化简得

-+rw]

XMl—/'。))

再将y的方程对X求导得

-^+ny)y,2+f'(y)y"-yn

X

解出并代入二表达式ny"=

若先取对数得

Inx+/(y)=y

然后再求导，可简化计算.

d2y

【列3】设y=y(x)由方程y—xe「=1确定,求看的值.

x=0

【解】原方程中令x=0=y(0)=1.将方程对x求导得—xe'»'=0

令x=0=>V(0)=e.将上述方程两边再对x求导得

y"-2eyy'-x(e>“=0ny"(0)=2e2

分段函数求导法：

【歹！)1】设/(x)=x2lxl,则使/5)(x)处处存在的最高阶数〃为—

—ln(l+x3)sin—,x>0

xx

【例2】设/(x)=<0,x=0,则f(x)在x=0处

—fsintdt,x<0

x』

(A)不连续(B)连续，但不可导(C)可导但导函数不连续(D)可导且导函数连续

【分析】先按定义讨论/(x)在x=0的可导性问题.

/仆1./⑴一八。)..1.3、・1八

/+(0)=hm=hm—ln(Zl1+x)sin—=0

l

x->0+xx->0+xX

[./(X)-/(0)1r2.sinx2-2x

/z_(0)=hm----------=hm—Isintdt=hm---------=0

x->0-%x->0-JQ1J0x->0-2x

=>/+(0)=/'.(0)=0=>r(0)=0.

进一步考察/'(x)在X=0的连续性.

当x>0时，

/,(x)=(-ln(l+x3)siniy

XX

ln(l+x3).13x2.1ln(l+x3)1

=---------sin—+-------sm-----------cos—

xxx(l+x)xxx

由此可知,1而一(、)不三=/(、)在二=0不连续.因此，选(C).

x->0+

r2x23

【例3】求常数a,6使函数/(x)=《处处可导，并求出导数.

ax+b,x<3

【分析与求解】对V常数。，b,xH3时/(x)均可导.现要确定a,6使/'⑶存在./(x)在

x=3必须连续且/'(3)=/'(3),由这两个条件求出a与A

由lim/(x)=limx2=9,limf(x)=lim(ax+b)=3a+b

xf3+0x-»3+0A->3-0xf3-0

/(x)在x=3连续，a,6满足/(3+0)=/(3—0)=/(3)即3a+b=9

x2x23

在此条件下，/(»=

ax+bx<3

n/，(x)=2x(x>3),/，(x)=a(x<3)f+(3)=2x|=6/(3)=a

/(3)3=f+⑶=f'_(3)即a=6代入3a+6=9=-9.

2x(xN3)

因此，仅当。=6,6=—9时■/(x)处处可导且/'(x)=,

6(x<3)

【评注】求解此类问题常犯以下错误

1°没说明对V常数a,b,xW3时/(x)均可导.

2°先由x=3处可导求出。值，再由连续性求出6值.请看以下错误表达:

“因/'+(3)=2x=6,/'_(3)=(ax+6)'=a

x=3x-3

由/+(3)=/1⑶得a=6.再由连续性/(3+0)=/(3-0)

即9=3。+"4一9"

错误在于①当3a+b/9时/'_(3)不存在，也不可能有/1(3)=(ax+/>)'.

x=3

②/'(3+0)=/(3-0)不能保证/(X)在x=3连续.仅当/(3+0)=/(3-0)=/(3)时才

能保证x=3连续.

必须先由连续性定出3a+6=9,在此条件下就可得/'_(3)=a

高阶导数与〃阶导数的求法

常见的五个函数的n阶导数公式：

(e@+b)(“)=q"e""+"

(sin3+6))(w)二八in(ar+力+?777r

(COS(QX+力))(")=ancos(ax+6+—)

(—1)"T(〃—l)!a"

(In|ax+61严=

(ax+b)n

((ax+6/)(B)=夕(6—1)…(£—〃+1)/(改+6产”

§3一元函数导数（微分）概念的简单应用

【例1】设〃x）=x",在点（1,1）处的切线与X轴的交点为©,0）,则吧/（4）=

【例2】若周期为4的函数/（x）可导且

如川）一

io2x

则曲线y=/（x）在点（5,/（5））处的切线斜率上=.

【例3】设y=/（x）由方程/”'一cos（孙）=e—1所确定，贝I］曲线y=/（x）在点（0,1）处的

法线方程为.

7T

【例4】已知曲线/的极坐标方程为o=2sin。，点帆的极坐标为（1,一），则点择处厂的切

6

线的直角坐标方程为.

【分析一】（数学一，二）点加0在厂上，直角坐标为：

A石-n1

x0=/?cost）=——,=psin6/=—.

（吟）2（唠2

x=2sincos=sin20

，’的参数方程为

y=2sin。sin。二1-cos2。

「在”点处的切线的斜率：关噫=tan—=V3

3

66

〃在坏处的切线方程

y=g+V3(x——^),即y=y/3x—1.

【分析二】〃的方程可化为夕2=22sin。，于是厂的隐式方程为/+丁=2V.由隐函数求导法,

得2x+29'=2y'，y'=X.

i-y

(x0,%)=(等，；)代入得了(?)=百，于是切线方程为

第三讲一元函数积分学

一、知识网络图

rWI

」不审和分卜|几何意义与物理意义

原函数的存在怛

T基本概念I|^wL_几何意义与物理意义

U函数的可枳因

，反常积分H无穷积分与暇积分（收敛与发散的定义）

等式表不的与不等式表不的I

卜定积分的性质卜~1积分中值定理I

T奇函数与周期函数的积分性质I

一

一-I非负连续函数的积分性质I

元

函

数口变限积分所定义的函数的连续性，可导性及求导网

积

m分H基本积分表

J分项积分法I

」分段积分法I

」常用的凑微分法I

一换元积分法

积（不定积分的第一、第二换常用的变量代换

分

法元法与定积分的换元法）（三角函数代换、黑函数代换、

则指数函数代换、倒数代换）

一

-4分部积分法H微分符号内外函数的选择，连续使用,递推使用，导出方程等I

积

三角函数代换：

分有理函数

三角函数有理式的积分

计的积分（待