高考数学二轮复习 规范解答集训（一） 三角函数和解三角形 文-人教版高三数学试题

规范解答集训(一)三角函数和解三角形(建议用时：40分钟)1．(2019·东莞模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq\f(b,sinB)＝eq\f(2c,\r(3)).(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为eq\r(3)，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(3)，求c的值．[解](1)由题意知eq\f(b,sinB)＝eq\f(2c,\r(3))，根据正弦定理得eq\f(sinB,sinB)＝eq\f(2sinC,\r(3))，得sinC＝eq\f(\r(3),2).∵C是锐角三角形的内角，∴C＝eq\f(π,3).(2)因为S△ABC＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC，∴ab＝4，又∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\r(3)，∴a＋b＝4eq\r(3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝48－12＝36，∴c＝6.2．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若其面积S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)．(1)求角B；(2)若b＝2eq\r(3)，a＋c＝6，求△ABC的面积．[解](1)∵三角形的面积S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，∴eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)．即eq\f(1,2)sinB＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(a2＋c2－b2,ac)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)cosB，即tanB＝eq\r(3)，即B＝eq\f(π,3).(2)∵B＝eq\f(π,3)，b＝2eq\r(3)，a＋c＝6，∴b2＝a2＋c2－2accosB，即12＝(a＋c)2－2ac－2ac×eq\f(1,2)＝36－3ac，得3ac＝24，得ac则三角形的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).3．(2019·郑州模拟)如图，四边形ABCD中，AC＝eq\r(3)BC，AB＝4，∠ABC＝eq\f(π,3).(1)求∠ACB；(2)若∠ADC＝eq\f(2π,3)，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．[解](1)设BC＝a，则AC＝eq\r(3)a，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即3a2＝42＋a2－2×4×a×eq\f(1,2)，可得a2＋2a－8＝0，解得a＝2，或a＝－4(舍去)，所以AB2＝AC2＋BC2，即∠ACB＝eq\f(π,2).(2)由(1)得S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BC＝2eq\r(3).因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝2eq\r(3)，∠ADC＝eq\f(2π,3)，所以AD＋CD＝4，又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即12＝AD2＋DC2＋AD·DC＝(AD＋CD)2－AD·DC，所以AD·DC＝4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DC·sineq\f(2π,3)＝eq\r(3)，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).4．(2019·荆州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB(acosC＋ccosA)＝b.(1)求B；(2)若b＝2，设A＝α，△ABC的周长为l，求l＝f(α)的解析式并求f(α)的最大值．[解](1)由2cosB(acosC＋ccosA)＝b，可得2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)＝2cosBsin(A＋C)＝2cosBsinB＝sinB，由于sinB≠0，得cosB＝eq\f(1,2).又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)b＝2，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，及A＝α，C＝π－(A＋B)＝eq\f(2π,3)－α，得：eq\f(a,sinα)＝eq\f(2,sin\f(π,3))＝eq\f(c,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))，∴a＝eq\f(4,\r(3))sinα，c＝eq\f(4,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，∴△ABC周长l＝f(α)＝a＋b＋c＝eq\f(4,\r(3))sinα＋2＋eq\f(4,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝eq\f(4,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋\f(\r(3),2)cosα＋\f(1,2)sinα))＋2＝eq\f(4,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinα＋\f(\r(3),2)cosα))＋2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＋2＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋2，∵0＜α＜eq\f(2π,3)，∴当α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,3)时，lmax＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝4＋2＝6.所以△ABC周长的最大值为6.5．(2019·汕头模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b，c,2acosB成等差数列．(1)求角A；(2)若a＝eq\r(13)，b＝3，D为BC中点，求AD的长．[解](1)∵b，c,2acosB成等差数列，则2c＝b＋2acosB由正弦定理得：2×2RsinC＝2RsinB＋2×2RsinAcosB(R为△ABC外接圆半径)，∴2sinC＝sinB＋2sinAcosB，∴2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB＝sinB＋2sinAcosB，即2cosAsinB＝sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴13＝9＋c2－2×3×c×eq\f(1,2)，即c2－3c－4＝0，∴c＝4，或c＝－1(舍去)，故c＝4.在△ABC中，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(13＋9－16,2×\r(13)×3)＝eq\f(\r(13