高考数学二轮复习 规范解答集训（三） 概率与统计 文-人教版高三数学试题

规范解答集训(三)概率与统计(建议用时：40分钟)1．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．图1(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；图2(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．[解](1)∵获数学二等奖的考生有12人，∴该考场考生的总人数为eq\f(12,1－0.40－0.26－0.10)＝50，故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为eq\x\to(x)1，seq\o\al(2,1)，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,2).eq\x\to(x)1＝eq\f(81＋84＋92＋90＋93,5)＝88，eq\x\to(x)2＝eq\f(79＋89＋84＋86＋87,5)＝85，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，∵88＞85,11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大，稳定性较差．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人．把两科均获一等奖的3人分别记为A1，A2，A3，仅数学获一等奖的2人分别记为B1，B2，仅语文获一等奖的1人记为C，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，记“这2人两科均获一等奖”为事件M，则事件M包含的基本事件有A1A2，A1A3，A2∴P(M)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，故这2人两科均获一等奖的概率为eq\f(1,5).2．(2019·唐山模拟)最近青少年的视力健康问题引起人们的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：年级号x12345近视率y0.050.090.160.200.25根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．附：回归直线eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(x)).参考数据：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xiyi＝2.76，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝55.[解](1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a1，a2，b1，b2，c，从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10种，设事件A表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A包含的基本事件为(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4种，故P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)由题中表格数据得eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝0.15,5eq\o(\x\to(x))eq\o(\x\to(y))＝2.25,5eq\x\to(x)2＝45，且由参考数据：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xiyi＝2.76，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝55，得eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(2.76－2.25,55－45)＝0.051，eq\o(a,\s\up9(^))＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回归方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝0.051x－0.003.当x＝6时，代入得eq\o(y,\s\up9(^))＝0.051×6－0.003＝0.303，所以六年级学生的近视率在0.303左右．3．(2019·昆明模拟)《中国大能手》是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类的节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加《中国大能手》职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：序号123456789101112131415甲×9693×92×9086××8380787775乙×95×93×92×8883×8280807473表1据表1中甲、乙两位选手完成该项关键技能挑战所用时间的数据，应用统计软件得表2：均值/秒方差甲8550.2乙8454表2(1)在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；(2)若该公司只有一个参赛名额，以完成该项关键技能挑战所用时间为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．[解](1)选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，其中低于80秒的成绩有3个，分别记为A1，A2，A3，其余的3个分别记为B1，B2，B3，从6个成绩中任取2个的所有取法有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15种，其中2个成绩都低于80秒的有A1A2，A1A3所以所取的2个成绩都低于80秒的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战的次数都为10，挑战失败的次数都为5，所以只需要比较他们完成关键技能挑战的情况即可，其中eq\x\to(x)甲＝85(秒)，eq\x\to(x)乙＝84(秒)，seq\o\al(2,甲)＝50.2，seq\o\al(2,乙)＝54.答案①：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，乙选手平均用时更短．答案②：选手甲代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，虽然eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，但两者相差不大，水平相当，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，表明甲选手的发挥更稳定．答案③：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但eq\x\to(x)乙＜eq\x\to(x)甲，乙选手平均用时更短，从表1中的数据整体看，甲、乙的用时都逐步减少，seq\o\al(2,乙)＞seq\o\al(2,甲)，说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好．(答案不唯一)4．(2019·昆明模拟)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单x/百单529811外卖乙日接单y/百单2310515(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；②经计算求得y与x之间的回归方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)．相关公式：r＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))yi－\x\to(y)2)).参考数据：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝66，eq\r(\o(∑,\s\up9(5),\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)2)eq\r(\o(∑,\s\up9(5),\s\do6(i＝1))yi－\x\to(y)2)≈77.[解](1)由题可知eq\x\to(x)＝eq\f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7(百单)，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7(百单)．外卖甲的日接单量的方差seq\o\al(2,甲)＝10，外卖乙的日接单量的方差seq\o\al(2,乙)＝23.6，因为eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．(2)①计算可得，相关系数r＝eq\f(66,77)≈0.857＞0.75，所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，又20.02×100×3＝6006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6006元.5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))wi.(1)根据散点图判断，eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(\o(b,\s\up9(^)))eq\o(\x\to(x))与eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(c,\s\up9(^))＋eq\o(d,\s\up9(^))eq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq\o(v,\s\up9(^))＝eq\o(α,\s\up9(^))＋eq\o(β,\s\up9(^))eq\x\to(u)的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(β,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up9(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up9(^))eq\o(\x\to(u)).[解](1)由散点图可以判断，eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(c,\s\up9(^))＋eq\o(d,\s\u