课件第2部分专题4理第1讲概率随机变量及其分布列

第二部分专题篇•素养提升(文理)专题四概率与统计(理科)第1讲概率、随机变量及其分布列1解题策略·明方向2考点分类·析重点3易错清零·免失误4真题回放·悟高考5预测演练·巧押题01解题策略·明方向1．古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度．2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，常考查独立事件的概率、正态分布，超几何分布和二项分布的期望等．(理科)年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷19独立事件、对立事件的概率求法及其应用12Ⅱ卷3概率的应用5Ⅲ卷18(1)古典概型4年份卷别题号考查角度分值2019Ⅰ卷6、5、21古典概型，独立重复试验，随机变量的分布列、等比数列22Ⅱ卷18互斥事件、独立事件、离散型随机变量的分布列12Ⅲ卷

年份卷别题号考查角度分值2018Ⅰ卷10,20几何概型，二项分布，随机变量的数学期望，决策性问题17Ⅱ卷8古典概型5Ⅲ卷8相互独立事件及二项分布502考点分类·析重点考点一古典概型与几何概型 (1)(2020·江苏省南京市高三联考)现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_____.(2)(2020·南通模拟)已知区域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率为_____.典例11．古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．2．解决几何概型问题的关键寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．A

B

考点二互斥事件、相互独立事件和独立重复试验典例2C

C

D

求相互独立事件的概率的两种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．A

(2)(2020·长春四模)田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是

(

)A．0.832

B．0.920

C．0.960

D．0.992D

1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为实数)．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．考点三随机变量的分布列、均值与方差典例3C

(2)(2020·江苏模拟)五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．①求2和4不相邻的概率；②定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E(X)．当且仅当a＝b时取等号，∵a≠b，∴c＞2，∴D(X)＝c－1＞2－1＝1，故选C．随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．3．(2020·北京房山区期末)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：A：41.3,47.3,48.1,49.2,51.2,51.3,52.7,53.3,54.2，55.3，56.4,57.6,58.9,59.3,59.6,59.7,60.6,60.7,61.1,62.2；B：46.3,48.2,48.3,48.9,49.2,50.1,50.2,50.3,50.7,51.5,52.3,52.5,52.6,52.7,53.4,54.9,55.6,56.7,56.9,58.7．(1)从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；(2)从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及数学期望；(3)根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．考点四正态分布(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．3．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974．

从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量其尺寸(单位：cm)，得到如下频数分布表：典例4分组[67.5，72.5)[72.5，77.5)[77.5，82.5)[82.5，87.5)[87.5，92.5)[92.5，97.5)[97.5，102.5)频数2922332482由正态分布可知，每生产一件该种产品，尺寸在(72.8,97.2]内的概率P≈0.9545，即每生产一件该种产品，该产品是正品的概率是0.9545．设该企业每生产一件该种产品的利润为Y，则Y的可能取值为100，－40，则P(Y＝100)＝0.9545，P(Y＝－40)＝1－0.9545＝0.0455，则该企业每生产一件该种产品的利润的期望为E(Y)＝100×0.9545－40×0.0455＝93.63．该企业生产1000件该种产品的利润X＝1000Y，则X的数学期望E(X)＝1000E(Y)＝93630．正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1．(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．4．(2020·武汉模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于 (

)A．0.3

B．0.35

C．0.5

D．0.7B

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03易错清零·免失误典例1【剖析】Si≥0且S8＝2是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件．Si≥0对S8＝2的概率是有影响的，所以解答应为：典例22．混淆“互斥”与“独立”出错

甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？【剖析】本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．典例33．混淆有放回与不放回致错

某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：(1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；(2)恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值．【剖析】错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)．04真题回放·悟高考A

2．(2018·全国Ⅰ，理，3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是

(

)A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A

【解析】设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：

新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入60%a37%×2a＝74%a增加A错其他收入4%a5%×2a＝10%a增加了一倍以上B对养殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C对养殖收入＋第三产业收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超过经济收入2a的一半D对3．(2019·全国Ⅰ，理，15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4︰1获胜的概率是_______.【解析】记事件M为甲队以4︰1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18．0.18

5．(2019·课标全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10︰10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10︰10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解析】(1)X＝2就是10