吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3）4．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．＝26．（3分）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为α，则这枚火箭此时的高度AL为（）A．6sina千米 B．6cosα千米 C．6tanα千米 D．千米7．（3分）若抛物线y＝x2+2x﹣5经过（﹣5，y1）（﹣2，y2），（2，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y38．（3分）对于抛物线y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如下表所示：x…﹣3﹣1034…y…10﹣2﹣5﹣23…下列说法中正确的是（）A．开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．对称轴为直线x＝1 D．函数的最小值是﹣5二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（3分）长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为1：500000的地图上，量得全线长约为6cm，则轨道交通6号线的实际距离约为km．11．（3分）函数y＝﹣（x+3）2+1的图象的顶点坐标为．12．（3分）在一个不透明口袋中装有1个红球和n个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.8，则n的值为．13．（3分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是米．14．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（6，c），点A（x1，y1）B（5，y2）在该函数图象上．当m﹣1≤x1≤m时，若y1≤y2，则m的取值范围是．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：．16．（6分）解方程：2（x﹣5）2﹣8＝0．17．（6分）二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过（4，3）和（0，﹣5）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将这个二次函数的图象向右平移个单位后经过坐标原点．18．（7分）2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为B1、B2）19．（7分）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，当∠BAC＝30°时，桑梯顶端D达到最大高度，求此时D到地面BC的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，精确到0.1米）20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中画∠ABC，使tan∠ABC＝1；（2）在图②中画∠ABD，使；（3）在图③中画∠ABE，使．21．（8分）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．22．（9分）【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图1，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点．AD、CE相交于点G．求证：．证明：连接ED．【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】（1）如图①，若S△CDG＝2，则S△ABC＝；（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交AB、AC于点M、N．若AB＝10，AM＝AC＝6，四边形CDGN的面积为10，则S△ABC＝．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P不与点A、B重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A'；连结A′D、A′P、A′A，设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为；（2）用含t的代数式表示线段CP的长；（3）当点P在边AC上运动时，求A′D与△ABC的一条直角边平行时t的值；（4）当△ADA′为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点Q（4，5），点P在该抛物线上，横坐标为2m﹣1．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）当PQ⊥y轴时，求m的值；（3）将该抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．①当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；②当图象G与直线y＝2m﹣3只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．

2023-2024学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A． B． C． D．【解答】解：在函数y＝﹣，y＝，y＝x，y＝3x2﹣中，二次函数为y＝3x2﹣．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：因为＝2，＝2，＝2，＝2，所以与是同类二次根式，故选：B．3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3）【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于y轴对称点的坐标为（3，﹣5），故选：C．4．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：2x2+x﹣m＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣m，方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+8m＞0，∴m＞﹣．故选：C．5．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．＝2【解答】解：A、与不能合并，不符合题意；B、2﹣＝，不符合题意；C、×＝，符合题意；D÷＝，符合题意．故选：C．6．（3分）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为α，则这枚火箭此时的高度AL为（）A．6sina千米 B．6cosα千米 C．6tanα千米 D．千米【解答】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝α，∴tanR＝，∴AL＝LR•tanR＝6tanα（km）．故选：C．7．（3分）若抛物线y＝x2+2x﹣5经过（﹣5，y1）（﹣2，y2），（2，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【解答】解：y＝x2+2x﹣5的对称轴为x＝﹣1，（﹣5，y1），（﹣2，y2），（2，y3）三点到对称轴的距离分别为4，1，3，∴y1＞y3＞y2，故选：B．8．（3分）对于抛物线y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如下表所示：x…﹣3﹣1034…y…10﹣2﹣5﹣23…下列说法中正确的是（）A．开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．对称轴为直线x＝1 D．函数的最小值是﹣5【解答】解：把（﹣1，﹣2），（0，﹣5），（3，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣6），当x＞1时，y随x的增大而增大，故A，B，D错误，C正确，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．10．（3分）长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为1：500000的地图上，量得全线长约为6cm，则轨道交通6号线的实际距离约为30km．【解答】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：轨道交通6号线的实际距离约为：6×500000＝3000000（cm），3000000cm＝30km．故答案为：30．11．（3分）函数y＝﹣（x+3）2+1的图象的顶点坐标为（﹣3，1）．【解答】解：∵函数y＝（x+3）2+1，∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．12．（3分）在一个不透明口袋中装有1个红球和n个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.8，则n的值为4．【解答】解：根据题意，袋中球的总个数约为1÷（1﹣0.8）＝5（个），所以袋中白球的个数n＝5﹣1＝4，故答案为：4．13．（3分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是4.5米．【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5，∴该古城墙的高度CD是4.5m，故答案为：4.5．14．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（6，c），点A（x1，y1）B（5，y2）在该函数图象上．当m﹣1≤x1≤m时，若y1≤y2，则m的取值范围是2≤m≤5．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（6，c），∴x＝0时，y＝c，x＝6时，y＝c，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∵抛物线开口向上，且y1≤y2，∴A（x1，y1）到对称轴的距离小于或等于点B（5，y2）到对称轴的距离，如图，∴，解得2≤m≤5．故答案为：2≤m≤5．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：．【解答】解：原式＝3+2﹣5＝5﹣5＝0．16．（6分）解方程：2（x﹣5）2﹣8＝0．【解答】解：2（x﹣5）2﹣8＝0，则2（x﹣5）2＝8，∴（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝±2，∴x＝±2+5，∴x1＝3，x2＝7．17．（6分）二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过（4，3）和（0，﹣5）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将这个二次函数的图象向右平移﹣1个单位后经过坐标原点．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过（4，3）和（0，﹣5），∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣5；（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣5＝0，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣5与x轴的交点坐标为（1﹣，0），A（1+，0），∴将这个二次函数的图象向右平移（﹣1）个单位后经过坐标原点，故答案为：﹣1．18．（7分）2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随机事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为B1、B2）【解答】解：（1）由题意得，小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随机事件．故答案为：随机．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有：（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2），共4种，∴小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为．19．（7分）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，当∠BAC＝30°时，桑梯顶端D达到最大高度，求此时D到地面BC的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，精确到0.1米）【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°．∵AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米，∴CD＝AC+AD＝2.8（米）．在Rt△DCE中，∵sinC＝，∴sin75°＝，∴DE＝2.8×sin75°≈2.8×0.97＝2.716≈2.7（米）．答：当∠BAC＝30°时，D到地面BC的距离2.7米．20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中画∠ABC，使tan∠ABC＝1；（2）在图②中画∠ABD，使；（3）在图③中画∠ABE，使．【解答】解：（1）如图1，∠ABC即为所求．（2）如图2，∠ABD即为所求．（3）如图，∠ABE即为所求．21．（8分）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.4，∴球不能射进球门．22．（9分）【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图1，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点．AD、CE相交于点G．求证：．证明：连接ED．【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】（1）如图①，若S△CDG＝2，则S△ABC＝12；（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交AB、AC于点M、N．若AB＝10，AM＝AC＝6，四边形CDGN的面积为10，则S△ABC＝40．【解答】【结论证明】证明：∵D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝，∴＝＝．【结论应用】解：（1）∵＝，S△CDG＝2，∴AD＝3GD，∴S△ACD＝S△CDG＝3S△CDG＝3×2＝6，∵BD＝CD，∴S△ABD＝S△CDG＝6，∴S△ABC＝S△ABD+S△CDG＝6+6＝12，故答案为：12．（2）如图②，作CF∥AB交MN的延长线于点F，CK∥AD交FN于点K，∵AB＝10，AM＝AC＝6，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5，∴EM＝AM﹣AE＝6﹣5＝1，∵EM∥CF，∴△EMG∽△CFG，∴＝＝，∴CF＝2EM＝2×1＝2，∵∠FCN＝∠MAN，∠KCN＝∠GCN，∴∠FCN﹣∠KCN＝∠MAN﹣∠GAN，∴∠FCK＝∠MAG，∵∠F＝∠AMG，∴△FCK∽△MAG，∴＝＝＝，∵CK∥AG，∴△CKN∽△AGN，∴＝＝，∴AC＝4CN，∴S△CAG＝4S△CNG，∵＝，∴S△CDG＝S△CAG＝×4S△CNG＝2S△CNG，∴2S△CNG+S△CNG＝S四边形CDGN＝10，∴S△CNG＝，∴S△CDG＝2S△CNG＝2×＝，S△CAG＝4S△CNG＝4×＝，∴S△ABD＝S△ACD＝S△CDG+S△CAG＝+＝20，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝20+20＝40，故答案为：40．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P不与点A、B重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A'；连结A′D、A′P、A′A，设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为5；（2）用含t的代数式表示线段CP的长；（3）当点P在边AC上运动时，求A′D与△ABC的一条直角边平行时t的值；（4）当△ADA′为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵点D为边AB的中点，∴AD＝AB＝×10＝5，故答案为：5；（2）分两种情况：①当0＜t≤4时，点P在线段AC上运动，CP＝AC﹣AP＝8﹣2t；②当4＜t＜7时，点P在BC上运动，CP＝2t﹣8；综上所述，CP＝；（3）∵点A'是点A关于直线PD的对称点，∴AD＝A′D，∴点A′的运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，分两种情况：①当A′D∥BC时，如图1，延长DP交AA′于点E，AC交A′D于点F，则∠DFE＝∠ACB＝90°，∴∠AFA′＝∠DFP＝90°，∵A′D∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得：AF＝4，DF＝3，∴A′F＝A′D﹣DF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2，∵点A'是点A关于直线PD的对称点，∴DE⊥AA′，∴∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠DFE，∵∠APE＝∠DPF，∴∠A′AF＝∠EDF，∵∠AFA′＝∠DFP，∴△AFA′∽△DFP，∴＝，即＝，解得：PF＝，∴AP＝AF﹣PF＝4﹣＝，∴t＝＝（s）；②当A′D∥AC时，如图2，设AA′交DP于点E，则∠PAE＝∠DA′E，∵点A'是点A关于直线PD的对称点，∴AE＝A′E，在△APE和△A′DE中，，∴△APE≌△A′DE（ASA），∴AP＝A′D，∴AP＝AD＝5，∴此时，t＝（s），综上所述，A′D与△ABC的一条直角边平行时t的值为或；（4）当∠ADA′＝90°时，如图3，延长DP交AA′于点E，连接A′B交AC于点F，∵AD＝A′D，∴△ADA′是等腰直角三角形，∴AA′＝AD＝5，∵点A'是点A关于直线PD的对称点，∴DE⊥AA′，AE＝AA′＝，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∵以D为圆心，AD长为半径的圆