人教版高中数学选修二专题4.4 数学归纳法（原卷版）

专题4.4数学归纳法*知识储备知识点数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．【名师点津】1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．2．运用数学归纳法时易犯的错误：(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d2．已知f(n)＝，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)时，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＝，等式成立；②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明()A．过程全都正确B．当n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证()A.n=1 B.n=2C.n=3 D.n=47.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到A.1项 B.k项C.2k-1项 D.2k项8．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（）A． B． C． D．二、多选题9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是()A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（）A． B．是等比数列C． D．11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A． B． C． D．三、填空题13．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为__________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.16.用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1四、解答题17．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．19．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.（1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，