信号与线性系统总复习(2014-6-6)

信号与系统总复习考试题型及大纲A卷，六大题判断信号的周期性；(10分)信号的时间变换；(10分)求解连续时间信号的输出(响应)；(20分)用两种方法求解斐波拉契数列的通项；(20分)用傅里叶变换法求解连续时间系统的响应；(20分)用拉氏变换法求解连续时间系统的响应；(20分)周期信号和非周期信号

定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。连续周期信号举例例

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt分析

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。解答解答（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。离散周期信号举例1例判断正弦序列f(k)=sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：

仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。离散周期信号举例2例：

判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解：（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。举例由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。例1例2例3连续周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示例2信号的加法和乘法同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。离散序列相加、乘信号的时间变换1.信号的反转；2.信号的平移；3.信号的展缩（尺度变换）；.4.混合运算举例。1.信号反转将

f

(t)→f

(–t)

，

f

(k)→f

(–k)

称为对信号f(·)

t→-t

没有实现此功能的实际器件，数字信号处理中可的反转或反折。

从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如

以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。

2.信号的平移

将f

(t)→f

(t–t0)

，

f

(k)→f

(k

–k0)称为对信号f(·)的t→t–1右移t→t+1左移雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。平移或移位。若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如：3.信号的展缩(尺度变换）将

f

(t)→f

(at)

，称为对信号f(t)的尺度变换。t→2t

压缩t→0.5t

扩展离散信号：由于f

(ak)仅在为ak

为整数时才有意义，进行尺度如：若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则扩展。变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。4.混合运算举例例1例3平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。例2平移与尺度变换相结合注意：对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；意一切变换都是相对t而言；对逆运算，反之。混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注平移与反转相结合举例例1

已知f(t)如图所示，画出f(2–t)。

解答

法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)

②再反转f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反转f

(t)→f

(–t)②再右移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]平移与展缩相结合举例例2

已知f(t)如图所示，画出f(3t+5)

解答

时移

尺度变换尺度变换时移平移、展缩、反折相结合举例例3

已知f(t)如图所示，画出f(-2t-4)。

解答压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)也可以先压缩、再平移、最后反转。压缩，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等数学中经典解法：完全解=齐次解+特解。

LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程。

齐次解：

满足齐次方程的通解，又叫齐次解。

特解：

满足非齐次方程的解，叫特解。

1.齐次解齐次方程：特征方程：特征根：后由初始条件定特征根λn个单实特征根齐次解r重实根1对共轭复根r重共轭复根齐次解的形式由特征根定:待定系数Ci在求得全解齐次解举例解：系统的特征方程为特征根对应的齐次解为2.特解特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。激励f(t)响应y(t)的特解yp(t)常数常数特征根均不为0α≠特征根α=

特征根α=

r重特征根特征根≠±jβ有r重特征根为0特解举例如果已知：求此方程的特解。

例：给定微分方程式当f(t)=et时

特解为yp(t)=Pet，这里，P是待定系数。代入方程后有：例

描述某系统的微分方程为

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y'(0)=-1时的全解（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y'(0)=0时的全解。解:

(1)

特征方程：λ2+5λ+6=0特解：

yp(t)=e–t其特征根：λ1=–2，λ2=–3齐次解：

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t特解：yp(t)=Pe–t特解带入方程：Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得：P=1全解=齐次解+特解

例题全解：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y(0)=C1+C2+1=2，y'(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重

特解：

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

特解代入方程：P1e-2t=e–2t

得：P1=1但P0未定特解：

yp(t)=(t+P0)e–2t

全解全解：y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入：y(0)=(C1+P0)+C2=1y'(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得：C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解：

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应

一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齐次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)频率响应例1例：某系统的微分方程为解：微分方程两边取傅里叶变换j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y